1.6位置、動量和平移1）連續譜：展開、歸一化；2）位置本征矢和位置測量3）平移：操作、算符4）動量：平移生成元/坐標動量對易關系算符函數以其泰勒級數展開理解動量本征矢是平移算符的本征矢5）正則對易關系

狄拉克規則1.6位置、動量和平移1）連續譜：展開、歸一化；2）位置本§1.7坐標與動量空間的波函數一、坐標空間波函數以坐標本征矢為基[,],得:展開系數的物理解釋：是在x’處dx’范圍內找到粒子的幾率（屬于矢量空間的自然特性）。內積就是通常所指的態的波函數：因,在找到態的幾率振幅常被稱為與的交疊積分。一般態以算符本征態展開在坐標表象中可理解為其中是A的本征值為a’的本征波函數。（這種展開在理論和計算中廣泛使用）

§1.7坐標與動量空間的波函數一、坐標空間波函數二、算符在坐標空間的表示

是x’和x’’的函數。若A是坐標算符的函數，則于是注：上面的記號中，在方程左邊的A是算符，而右邊是數

二、算符在坐標空間的表示三、坐標空間中的動量算符1.由

得或即p在坐標表象的矩陣元為且

可見動量算符在坐標表象的表示不是假定，而是可從動量算符的基本性質中推導出來的類似可證；三、坐標空間中的動量算符1.由四、動量空間的波函數

，，

展開系數具有與類似的幾率解釋，即

是在處范圍內粒子出現的幾率，或者說是測得粒子動量為附近范圍內的幾率。

常被稱為動量空間波函數：

若歸一，則

四、動量空間的波函數

五、x表象與p表象的聯系

由x-表象到p-表象的變換函數而聯系

由得是動量本征態在x-表象的波函數。可見動量本征態波函數是一平面波，這一結論無需通過求解方程。除相位因子處，歸一常數c可定出為，即因，可知坐標空間波函數與動量空間波函數的關系為，類似有

與前面的關系互為付氏變換五、x表象與p表象的聯系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢為k的平面波受中心位于原點的高斯輪廓調制而得的函數，粒子出現于距原點大于d處的幾率以高斯形式衰減。高斯波包是滿足最小測不準原理的波包:

；x的色散為類似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

動量空間的高斯波包為即動量空間的高斯波包波函數也具有高斯函數的形式，只是展開與坐標空間的展寬成反比。在x空間的展寬越大則在p空間展寬越小,反之亦然。在x空間無限延展的平面波具有確定的動量值，而具有確定位置的態則在p空間是無限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

動量空間的高斯波包為七、對三維的推廣

上面一維空間的表達式很容易推廣到三維，需要的變動包括：七、對三維的推廣上面一維空間的表達式很容易推廣到三維，需要第二章：量子動力學

(物理狀態和觀測量隨時間的變化)2.1時間演化和方程時間在量子力學中是參量而非算符，不是可觀測量。相對性量子理論通過將位置作為參量而將時空對等處理一、時間演化算符第二章：量子動力學

二、時間演化算符的性質

1.(時間的)連續性

2.幺正性（幾率守恒）

即對，

有

3.結合性：

二、時間演化算符的性質

1.(時間的)連續性三、時間演化算符的表達

與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算符：算符的連續性、幺正性和組合性可由且為厄米算符來滿足。考慮到的量綱與頻率相同和經典力學中Hamiltonian是時間演化的生成元，可合理地將寫為，即這里的與坐標平移算子中的相同，否則將推不出量子力學的經典極限即牛頓運動定律三、時間演化算符的表達與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算四、薛定諤方程

1.時間演化算符的薛定諤方程由((t-t0)不必為無窮小)有即2.態矢時間演化的薛定諤方程對態矢，有或當然，若知，并知其對初態的作用，則無需解此方程。四、薛定諤方程1.時間演化算符的薛定諤方程五、時間演化算符的形式解

H與t無關，如穩恒磁場與磁矩的相互作用此時容易解得2.

，但，如方向恒定的交變磁場。則：

容易驗證該滿足方程：3.不同時的H不對易，如磁場方向隨時間而變的自旋磁場作用此時的解為

在這一章中我們主要討論第一種情形。五、時間演化算符的形式解H與t無關，如穩恒磁場與磁矩六、能量本征矢

知道時間演化算符隨時間變化，還需知它如何作用于一態矢才能求出態矢的時間變化。如果選用能量本征態矢為基，則時間演化算符對態的作用可輕易求得。；有；即展開系數的模不變，但相位變化了。由于不同分量的相對相位發生變化，與可以是完全不同的。對，則，態保持為H與A的共同本征態。六、能量本征矢知道時間演化算符隨時間變化，還需知它如何作六、能量本征矢（續）

由上討論可見量子力學的基本任務是找出與H對易的觀測量及其本征態。將初態由這個觀測量的本征態展開，便可求出態隨時間的變化。對有簡并情形，我們需要找出一組完整的相互對易且與H對易的算符,并用它們的共同本征態為基。該基一般用組合指標表征，這樣,將任意態以展開將可求得其時間的演化了。

六、能量本征矢（續）七、期望值的時間演化

1.由于：即任何觀測量對能量本征態的期望值都不隨時間變化。因此,能量本征態被稱為定態。2.對一般態：

可見期望值一般是隨時間變化的。3.對也是B的本征態之特例（B與H對易），則不隨時間變化

（與H對易的觀測量是運動的常數）七、期望值的時間演化1.由于：八、自旋進動

考慮電子與磁場作用：若，，。對態，設，若，則仍為態。八、自旋進動考慮電子與磁場作用：八、自旋進動（續）

若時為態，，則t時處于態的幾率為：可見在磁場作用下,原處于的自旋產生轉動而處于的混和態，而且以角頻率ω振蕩，且等于兩態的能量差。類似可得,即自旋在xy平面內進動。八、自旋進動（續）若時為態，九、關聯振幅和能量一時間測不準關系

態隨時間變化仍保留原態成份的多少可用關聯振幅描述：1.若是H本征態。則，其模總為1。2.對一般，由于振蕩項的作用，一般隨時間而變小。原則上，態消亡后仍有可能復活。對準連續譜，，為能量本征態的態密度，，有，其中。九、關聯振幅和能量一時間測不準關系

態隨時間變化仍保留原態成九、關聯振幅和能量一時間測不準關系（續）

3.若初態近似為能量為的本征態，能量展寬為。則，積分貢獻主要來源于。即當時間大于特征時間后，將與