§2實際問題中的函數模型2.1實際問題的函數刻畫§2實際問題中的函數模型1課標要求素養要求1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要工具.2.在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.3.比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”、“直線上升”、“指數爆炸”等術語的現實含義.通過本節內容的學習，使學生體會常見函數的變化異同，提升學生數學抽象、數學建模、數據分析等素養.課標要求素養要求1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規2新知探究澳大利亞兔子數“爆炸”：1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子的數量在不到100年內達到75億只，喂養牛羊的牧草幾乎被兔子們吃光，直至二十世紀五十年代，科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣.兔子為什么會如此快地從幾只增長到75億只呢？原來在理想的環境中，種群數量呈指數增長；在有限制的環境中，種群數量的增長為對數增長.新知探究澳大利亞兔子數“爆炸”：1859年，有人從歐洲帶進澳3問題指數函數、對數函數底數大于1時增長快慢有什么規律？提示都是增函數，而y＝ax(a>1)時增長速度越來越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增長速度非常緩慢.問題指數函數、對數函數底數大于1時增長快慢有什么規律？41.在現實世界里，事物之間存在著廣泛的聯系，當面對的實際問題中存在幾個變量，并且它們之間具有依賴關系時，我們往往用函數對其進行刻畫，函數刻畫的方法可以使用圖象，但常見的還是使用解析式.1.在現實世界里，事物之間存在著廣泛的聯系，當面對的實際問題52.常見的函數模型2.常見的函數模型6北師大版高中數學必修第一冊第五章《函數應用》§2《實際問題中的函數模型》課件7拓展深化[微判斷]判斷下列說法的正誤.1.某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.(

)2.某種產品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售出20件，如果售出件數是定價的一次函數，則這個函數解析式為y＝－4x＋200.(

)××拓展深化××83.在函數建模中，散點圖可以幫助我們選擇恰當的函數模型.(

)提示1.100×(1＋10%)×0.9－100＝－1.√3.在函數建模中，散點圖可以幫助我們選擇恰當的函數模型.(9[微訓練]1.某人從2015年1月1日到銀行存入a元，若年利率為x，按復利計算，則2020年1月1日到期時可取款________元(

)

A.a(1＋x)5

B.a(1＋x)6

C.a＋(1＋x)5

D.a(1＋x5)

答案A[微訓練]102.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營，據市場分析，每輛客車營運的利潤y與營運年數x(x∈N)為二次函數關系，則客車有營運利潤的時間不超過(

)A.4年

B.5年

C.6年

D.7年答案D2.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營，據市場分析，113.某種動物繁殖數量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，若這種動物第一年繁殖數量為100只，則到15年繁殖數量為________只.

解析f(1)＝100，∴a＝100， ∴f(15)＝100log216＝400.

答案4003.某種動物繁殖數量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alo12題型一實際問題的函數刻畫【例1】

18世紀70年代，德國科學家提丟斯發現金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離(天文單位)如下表：他研究行星排列規律后預測在火星與木星之間應該有一顆大的行星，后來果然發現了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產物，請你推測谷神星的位置，在土星外面是什么星？它與太陽的距離大約是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)4(

)5(木星)6(土星)7(

)距離0.71.01.6

5.210.0

題型一實際問題的函數刻畫他研究行星排列規律后預測在火星與木13解由數值對應表作散點圖如圖.由圖采用指數型函數作模型，設f(x)＝a·bx＋c.解由數值對應表作散點圖如圖.由圖采用指數型函數作模型，設f14(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合對應表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，所以谷神星大約在離太陽2.8天文單位處.在土星外面是天王星，它與太陽距離大約是19.6天文單位.(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合對應表值，∴15規律方法建立模擬函數解應用題的一般步驟為：(1)作圖：根據已知數據作出散點圖；(2)選擇函數模型：根據散點圖，結合基本初等函數的圖象形狀，找出比較接近的函數模型；(3)求出函數模型：選出幾組數據代入，求出函數解析式；(4)利用所求得的函數模型解決問題.規律方法建立模擬函數解應用題的一般步驟為：16【訓練1】某個體經營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51【訓練1】某個體經營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月17解由圖表可知A種商品符合二次函數模型，B種商品符合一次函數模型.設二次函數的解析式為y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；一次函數的解析式為y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六個月所獲純利潤關于月投資A種商品的金額的函數關系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示.經檢驗，前六個月符合所求函數關系式.該經營者準備下月投入12萬元經營這兩種商品，但不知投資A、B兩種商品各多少才最合算.請你幫助制訂一個資金投入方案，使得該經營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經營者下月可獲得的最大純利潤(結果保留兩個有效數字).解由圖表可知A種商品符合二次函數模型，B種商品符合一次函數18把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六個月所獲純利潤關于月投資B種商品的金額的函數關系可近似地用y＝0.25x表示.經檢驗，前六個月符合所求函數關系式.令下月投入A，B兩種商品的資金分別為xA萬元、xB萬元，總利潤為W萬元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12.把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，19即投資A商品3.2萬元，投資B商品8.8萬元時，下月可獲得的最大純利潤4.1萬元.即投資A商品3.2萬元，投資B商品8.8萬元時，下月可獲得的20題型二由函數圖象解決應用題【例2】甲、乙兩人連續6年對某縣農村甲魚養殖業的規模(產量)進行調查，提供了兩個方面的信息如圖所示.

甲調查表明：每個甲魚池平均產量從第1年1萬只甲魚上升到第6年2萬只.

乙調查表明：甲魚池個數由第一年30個減少到第6年10個，請你根據提供的信息說明：題型二由函數圖象解決應用題21解(1)由圖可知，直線y甲＝kx＋b，經過(1，1)和(6，2).直線y乙＝mx＋n，經過(1，30)和(6，10)，可求得k＝0.2，b＝0.8，m＝－4，n＝34，∴y甲＝0.2x＋0.8，y乙＝－4x＋34.故第2年甲魚池的個數為26個，全縣出產甲魚的總數為26×1.2＝31.2(萬只).(1)第2年甲魚池的個數及全縣出產甲魚總數；(2)到第6年這個縣的甲魚養殖業的規模比第1年是擴大了還是縮小了？說明理由；(3)第幾年的養殖規模最大？最大養殖量是多少？解(1)由圖可知，直線y甲＝kx＋b，經過(1，1)和(622(2)規模縮小，原因是：第一年出產甲魚總數30萬只，而第6年出產甲魚總數為20萬只.(3)設第x年規模最大，即求＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值.y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(萬只)最大.即第二年規模最大，甲魚產量為31.2萬只.(2)規模縮小，原因是：第一年出產甲魚總數30萬只，而第6年23規律方法在用函數刻畫實際問題的過程中，除了用函數解析式刻畫外，函數圖象也能夠發揮很好的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力.規律方法在用函數刻畫實際問題的過程中，除了用函數解析式刻畫24【訓練2】某種商品在30天內每件的銷售價格P(元)與時間t(t∈N＋)(天)的函數關系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q(件)與時間t(t∈N＋)(天)之間的關系如下表：t/天5102030Q/件35302010【訓練2】某種商品在30天內每件的銷售價格P(元)與時間t25(1)根據提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系式；(2)根據上表提供的數據，寫出日銷量Q與時間t的一個函數關系式；(3)求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天(日銷售金額＝每件的銷售價格×日銷售量).(1)根據提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價格P與時26解

(1)由已知可得：(2)日銷售量Q與時間t的一個函數關系式為Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，(3)由題意解(1)由已知可得：(2)日銷售量Q與時間t的一個函數關系27當0<t<25，t＝10時，ymax＝900，當25≤t≤30，t＝25時，ymax＝(25－70)2－900＝1125.綜上，在第25天時，該商品日銷售金額的最大值為1125元.當0<t<25，t＝10時，ymax＝900，28題型三利用其他函數模型解應用題【例3】牧場中羊群的最大畜養量為m(只)，為保證羊群的生長空間，實際畜養量不能達到最大畜養量，必須留出適當的空閑量.已知羊群的年增長量y(只)和實際畜養量x(只)與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0). (1)寫出y關于x的函數解析式，并指出這個函數的定義域； (2)求羊群年增長量的最大值.題型三利用其他函數模型解應用題29北師大版高中數學必修第一冊第五章《函數應用》§2《實際問題中的函數模型》課件30規律方法關鍵是轉化，需認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學地抽象概括，將實際問題歸納為相應的數學問題.規律方法關鍵是轉化，需認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明31北師大版高中數學必修第一冊第五章《函數應用》§2《實際問題中的函數模型》課件32解(1)不是.對于函數模型y＝lg

x＋kx＋5(k為常數)，但x＝50時，f(50)＝lg50＋6>7.5＝50×15%，即獎金不超過年產值的15%不成立

，故該函數模型不符合要求.解(1)不是.但x＝50時，f(50)＝lg50＋6>733a為正整數，函數在[50，500]遞增，f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344.要使f(x)≤0.15x對x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x對x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.綜上所述，315≤a≤344，所以滿足條件的最小的正整數a的值為315.a為正整數，函數在[50，500]遞增，f(x)min＝f(34一、素養落地1.通過本節內容的學習，培養學生數據分析素養，數學建模素養，數學抽象素養.2.函數模型的應用主要包括三個方面： (1)利用給定的函數模型解決實際問題， (2)建立確定性的函數模型解決實際問題， (3)建立擬合函數模型解決實際問題.一、素養落地35二、素養訓練1.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為(

)A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2018年5月1日12350002018年5月15日4835600二、素養訓練注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.36解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝600(千米)，耗油量為48升，∴每100千米耗油量8升.答案B解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝60372.如表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷它最可能的函數模型為(

)A.一次函數模型 B.二次函數模型C.指數函數模型 D.對數函數模型解析

隨著自變量每增加1，函數值增加2，函數值的增量是均勻的，故函數模型為一次函數模型.故選A.答案

Ax45678910y151719212325272.如表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷它最可能383.國家規定個人稿費納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書共納稅420元，則這個人應得稿費(扣稅前)為________元.令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令0.112x＝420，得x＝3750(舍去).故這個人應得稿費(扣稅前)3800元.答案38003.國家規定個人稿費納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過8394.某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1元銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品最佳售價應為每個________元.解析設漲價x元時，獲得利潤為y元，y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250，∴x＝10時，y取最大值，此時售價為60元.答案604.某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個402.2用函數模型解決實際問題2.2用函數模型解決實際問題41課標要求素養要求1.會利用已知函數模型解決實際問題.2.能建立函數模型解決實際問題.通過本節內容的學習，使學生認識函數模型的作用，提升學生數學建模、數據分析等素養.課標要求素養要求1.會利用已知函數模型解決實際問題.通過本節42新知探究隨著經濟和社會的發展，汽車已逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車銷售公司對近三年的汽車銷售量的統計表：年份201520162017銷量/萬輛81830新知探究隨著經濟和社會的發展，汽車已逐步成為人們外出的代步工43問題1.在實際生產生活中，對已收集到的樣本數據常采用什么方式獲取信息？2.如果我們分別將2015，2016，2017，2018年定義為第一、二、三、四年，現在有兩個函數模型：二次函數型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數函數型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪個模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關系？3.依照目前的形勢分析，你能預測一下2019年該公司預銷售多少輛汽車嗎？結合以上三年的銷量及人們生活的需要，2018年初，該汽車銷售公司的經理提出全年預售43萬輛汽車的遠大目標，經過全體員工的共同努力，2018年實際銷售44萬輛，圓滿完成銷售目標.問題1.在實際生產生活中，對已收集到的樣本數據常采用什么方44提示1.建立函數模型.2.f(x)＝ax2＋bx＋c能更好地反映該公司年銷量y與年份x的關系.3.60萬.提示1.建立函數模型.451.數學模型數學模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關系，用形式化的數學語言，抽象概括地、簡化近似地表述出來的一種數學結構，其中，函數模型是應用最廣泛的數學模型之一.1.數學模型數學模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關系462.解決函數應用問題的步驟利用函數知識和函數觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.這些步驟用框圖表示如圖：2.解決函數應用問題的步驟利用函數知識和函數觀點解決實際問題47×√√×√√484.某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，現有2個這樣的細胞，分裂x次后得到細胞的個數y與x的函數關系是y＝2x.(

)

提示1.冪函數與一次項系數不確定，增長幅度不能比較.4.分裂一次由2個變成2×2＝22(個)，分裂兩次后4×2＝23(個)，…，所以分裂x次后y＝2x＋1(個).×4.某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，現49[微訓練]1.一家旅社有100間相同的客房，經過一段時間的經營實踐，旅社經理發現，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關系：要使收入每天達到最高，則每間應定價為(

)A.20元 B.18元C.16元 D.14元每間每天定價20元18元16元14元住房率65%75%85%95%[微訓練]要使收入每天達到最高，則每間應定價為()每間每50解析每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元).答案C解析每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝151解析若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意.故擬錄用25人.答案C解析若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋1052題型一一次函數、二次函數模型【例1】商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數是羊毛衫標價的一次函數，標價越高，購買人數越少.把購買人數為零時的最低標價稱為“無效價格”，已知無效價格為每件300元.現在這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的價格(標價)出售.問： (1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元？ (2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？題型一一次函數、二次函數模型53解(1)設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200時，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件200元.(2)由題意得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商場要獲取最大利潤的75%，每件標價為250元或150元.解(1)設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y54規律方法利用二次函數求最值的方法及注意點(1)方法：根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符.規律方法利用二次函數求最值的方法及注意點55【訓練1】為了發展電信事業，方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內每月(30天)的通話時間x(分)與通話費用y(元)的關系如圖所示.(1)分別求出通話費用y1，y2與通話時間x之間的函數解析式；(2)請幫助用戶計算在一個月內使用哪種卡便宜.【訓練1】為了發展電信事業，方便用戶，電信公司對移動電話采56北師大版高中數學必修第一冊第五章《函數應用》§2《實際問題中的函數模型》課件57北師大版高中數學必修第一冊第五章《函數應用》§2《實際問題中的函數模型》課件58解(1)由已知，由價格乘以銷售量可得：解(1)由已知，由價格乘以銷售量可得：59(2)由(1)知①當0≤t≤10時，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數在t∈[0，5]上遞增，在t∈(5，10]上遞減，∴ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝1200(當t＝0或10時取得)；②當10<t≤20時，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數在t∈(10，20]上遞減，∴ymax＝1200(當t＝10時取得)，ymin＝600(當t＝20時取得).由①②知ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝600(當t＝20時取得).(2)由(1)知①當0≤t≤10時，y＝－t2＋10t＋160規律方法應用分段函數時的三個注意點(1)分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論.規律方法應用分段函數時的三個注意點61北師大版高中數學必修第一冊第五章《函數應用》§2《實際問題中的函數模型》課件62解(1)當0<x<40時，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500；當x≥40時，解(1)當0<x<40時，63(2)當0<x<40時，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，∴當x＝20時，L(x)max＝L(20)＝1500；∴當x＝100時，即2018年生產100百輛時，該企業獲得利潤最大，且最大利潤為1800萬元.(2)當0<x<40時，L(x)＝－10(x－20)2＋164題型三指數型函數、對數型函數模型【例3】已知某城市2017年底的人口總數為200萬，假設此后該城市人口的年增長率為1%(不考慮其他因素). (1)若經過x年該市人口總數為y萬，試寫出y關于x的函數關系式； (2)如果該城市人口總數達到210萬，那么至少需要經過多少年(精確到1年)?解(1)y＝200(1＋1%)x，x∈N＋.(2)令y≥210，即200(1＋1%)x≥210，解得x≥log1.011.05≈5.答：至少需要經過5年該城市人口總數達到210萬.題型三指數型函數、對數型函數模型解(1)y＝200(1＋65規律方法指數型函數模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)，在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題都可用指數型函數模型來表示.對數型函數模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，對數型函數模型一般給出函數關系式，然后利用對數的運算求解.規律方法指數型函數模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m66即至少要過濾8次才能達到市場要求.即至少要過濾8次才能達到市場要求.67一、素養落地1.通過本節內容的學習，重點提升學生的數學建模素養及數據分析素養.2.在實際問題向數學問題的轉化過程中，要充分使用數學語言，如引入字母，列表，畫圖等使實際問題數學符號化.3.根據收集數據的特點，通過建立函數模型，從而解決問題.一、素養落地68二、素養訓練1.某商場在銷售空調旺季的4天內的利潤如下表所示.現構建一個銷售這種空調的函數模型，應是下列函數中的(

)A.y＝log2x B.y＝2x C.y＝x2 D.y＝2x解析逐個檢驗可得答案為B.答案B時間1234利潤(千元)23.988.0115.99二、素養訓練現構建一個銷售這種空調的函數模型，應是下列函數中692.一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數關系式是(

)

A.y＝2t