二元一次方程及二元一次方程組１．二元一次方程axbyc0一般形式：其中a≠0，且b≠0.例1.在下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并說明為什么？①a2b1，②5y8y60，③5(x2y)2(2x5y)85，82(xy)3(xy)，⑥④4pq1，⑤5y0x218答：①，⑥是.例2.方程A.a≠0是二元一次方程，則的取值為（C）C.a≠1D.a≠2B.a≠-12．二元一次方程組axbyc1.a，a，b1，b2不同時為零）12一般形式：（其中11axbyc222例3.在方程組、、、、、中，是二元一次方程組的有（B）A.2個B.3個C.4個D.5個部數學經典著作．在它的“方程例4.《九章算術》是我國東漢初年編訂的一”一章里，一次方程組是由算籌布置而成的．《九章算術》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1、圖2，圖中各行從左到右列出的算籌數分別表示未知數x，y的系數與相應的常數項．把圖1所示的算籌圖用我們現在所熟悉的方程組形式表述出來，就是3x2y19,類似地，圖2x4y23.所示的算籌圖我們可以表述為（A）.2xy11,2xy11,A．B．4x3y22.4x3y27.3x2y19,2xy6,C．D．4x3y27.x4y23.圖1圖23．二元一次方程的解xa特點：(1)二元一次方程的解是一對數值，即；yb(2)一個二元一次方程有無數多解，但非任意一對數值都適合.x2例5.是二元一次方程ax-2＝-by的一個解，則2a-b-6的值等于.（-4）y11例6.若二元一次方程有正整數解，則的取值應為（A）A.正奇數B.正偶數C.正奇數或正偶數D.0例7.某球迷協會組織72名球迷擬租乘汽車赴比賽場地，為首次打進世界杯決賽圈的國家足球8人，另一種每輛可乘4人，要求租用的車隊加油助威.可租用的汽車有兩種：一種每輛可乘子不留空座，也不超載.①請你給出不同的租車方案（至少三種）；②若8個座位的車子的租金是300元/天，4個座位的車子的租金是200元/天，請你設計出8人的車為x輛，租用乘4人的車為y輛.8x+4y=72∴y=18-2x8人的車1輛，乘16輛；8人的車2輛，乘8人的車3輛，乘費用最少的租車方案，并說明理由.解：①設租用乘方案一：乘4人的車方案二：乘4人的車14輛；方案三：乘4人的車12輛.??②租車費用為：300x+200y=300x+200(18-2x)=300x+3600-400x=3600-100x當x=9時，租車費用最少=3600-900=2700（元）4．二元一次方程組的解2x+m-1y2x2例8.已知是關于x，y的二元一次方程組的解，試求（m+n）的2004nx+y1y1值.（原式=1）x2例9.已知是一個二元一次方程組的解，試寫出一個符合條件的二元一次方程組.y35.三元一次方程組(二)消元1.解一次方程組的基本思路——消元，實施方法——代入法，加減法.解二元一次方程組：“二元”→“一元“三元”→“二元”→“一元2.明確解方程組的過程中各種變形的理論依據．3.對比代入法和加減法，引導學生根據方程的具體形式靈活的選用適當的法．4.規范解方程組的5.靈活運用消元思想解決數學問題.”，以求解.解三元一次方程組：”，以求解.、比較簡單的解書寫格式，邏輯要清楚.例10.解下列方程組(1)xy3（選代入法）(2)3x6y3（選加減法）3x2y53x2y12x1130%y22x3y55(3)(5)(7)（選加減法）(4)（先化簡成一般形式）3x4y1y14x914204x8xy84073x7y66（注意解題技巧）(6)（注意解題技巧）4y9xy84018x98y252x3y2(x2y)13x4yz14（換元）(8)45x5y2z173(2x3y)x2y4052x2yz34xyz11yzx5(9)（注意解題技巧）zxy1例11.構造方程組，求代數式的值或未知數的值(1)已知6x-5y=16，且2x+3y=6，則4x-8y的值為(2)若x＝，y＝.(x..（原式=10）19，則，)y(2x3y5)2xy2055x1(3)若是關于x、y的方程axby1的一個解，且a+b=-3，則5a2b＝.y2（原式=-43）(4)若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，則k的取值為（D）A.3B.－3C.－4D.42x3y93xy82同解，求的值(5)已知方程組與.（，b=-1）a3a、baxby12ax3by7(6)解方程組時，一學生把看錯而得，而正確的解是那么、b、c的值是（B）A.不能確定B.＝4，＝5，＝－2D.＝4，＝7，＝2C.a、b不能確定，＝－2(ab)x(ab)y5ab有一組公共解(7)已知對于任意有理數a、b，關于x、y的方程.x2試求出這組公共解.（）y3(8)若代數式2無論ｘ取什么值，它的值都為10，則2a＋b＋c＝.axbxc（原式=-10）3(9)已知關于、的二元一次方程組的解滿足二元一次方程，求的值.解：由題意得三元一次方程組①化簡得②③①＋②－③得：④②×2－①×3得：⑤由④⑤得：∴例12.靈活運用消元思想解決數學問題.(1)已知x=-3+t，y=3-t，那么用x的代數式表示y為.（y=-x）(2)已知是方程組的解，則a、b間的關系是（D）A.B.C.D.(3)已知3a+b+2c=3且a+3b+2c=1，求2a+c的值.（原式=2）(4)已知，4ab3b，求的值.（原式=0）5aab12a9ab6b2222(三)一次方程組的應用列方程組解應用題，關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系.一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數值要相等.例13.某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘內可以通過560名學生；當時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘內可以通過800名學生.(1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生？(2)檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規定，在緊急4情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規定？請說明理由(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生.解：.2(x+2y)=560x120由題意，解得4(x+y)=800y80答：平均每分鐘一道正門可以通過學生120名，一道側門可以通過學生(2)這棟樓最多有學生4×8×45=1440（名擁擠時5分鐘4道門5×2(120+80)(1-20%)=1600（名∵1600>1440，4道門符合安全規定80名.）能通過）∴建設的.例14.某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知該廠家生產三種不同型號的電視機，臺1500元，臺2100元，臺2500元.(1)若商場同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺，用去9萬元，請出廠價分別為甲種每乙種每丙種每你研究一下商場的進貨方案；(2)若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可獲利250元.在同時購進兩種不同型號電視機的方案中，為使銷售時獲利最多，你選擇哪種進貨方案？(3)若商場準備用9萬元同時購進三種不同型號的電視機50臺，請你設計進貨方案.(1)分情況計算①設購進甲型號x臺，乙型號y臺.解：x+y=50x25得1500x+2100y=90000y25②設購進甲型號x臺，丙型號z臺.x+z=50x35得1500x+2500z=90000z15③設購進乙型號y臺，丙型號z臺.y+z=50y=87.5得2100y+2500z=90000z=37.5∴商場進貨方案有兩種：購進甲型號25臺，乙型號25臺；或購進甲型號35臺，丙型號15臺.(2)當購進甲型號25臺，乙型號25臺時，可獲利3750+5000=8750（元）當購進甲型號35臺，丙型號15臺時，可獲利5250+3750=9000（元）∴選購甲型號35臺、丙型號15臺時獲利最多.(3)設購進甲、乙、丙型號電視機分別為x臺，y臺，z臺.xyz50有1500x2100y2500z900005由此得：x=35-2y5∵x，y，z是正整數，∴可得：①y=5時，x=33，z=12；②y=10時，x=31，z=9；③y=15時，x=29，z=6；④y=20時，x=27，z=3.答：略.例15.某水果批發市場香蕉的價格如下表：購買香蕉數20千克以上但不不超過20千克40千克以上（千克）超過40千克每千克價格6元5元4元張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉0＜x＜25，25＜y＜500＜x＜10，40＜y＜50時，y千克.由題意得①當xy50x32解得6x4y264y18∵不符合x、y的取值范圍，∴不合題意舍去.②當10≤x≤20，30≤y≤40時，xy50x14解得6x5y264y36③當20＜x＜25時，25＜y＜30時，xy50xy50化簡得∴此方程組無解5x5y264xy52.8綜合①②③可知，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克.例16.某玩具工廠廣告稱：“本廠工人工作時間：每天工作8小時，每月工作25天；待遇：熟資不少于800元，每資100元，按月結小狗和小汽車.熟練工人曉云一月份領工資900多元，她記練工人按計件付工資，多勞多得，計件工月另加福利工算；??”該廠只生產兩種玩具：錄了如下表的一些數據：小汽車個數小狗件數（單位：個）總時間（單位：分）總工資（單位：元）（單位：個）1231223570852.154.305.05一月份做小狗和小汽車的數目沒有限制，從二月分開始，廠方從銷售方面考慮逐月調整為：k月份每個工人每月生產小狗的個數是生產小汽車的個數的k倍（k＝2,3,4,??,12），假設曉云的工作效率不變，且服從工廠的安排，請運用所學數學知識說明廠家廣告是否有欺詐行為？6解：設制作一個小狗用時間t1分鐘，可得工資x元，制作一輛小汽車用時間t2分鐘，可得工資y元.依題意得：tt35xy2.15123t2t853x2y5.0512t15x0.75解得1t＝202y1.4以二月份為例：設二月份生產汽車玩具a件，則生產小狗2a件，此時可得工資：M＝1.4a0.752a1001002.9a∵工人每月工作8×25×60＝12000分鐘，∴20a＋15×2a＝12000解得a＝240件∴二月份可領工資796元，小于計件工資的最低額，所以說廠家的廣告有欺詐行為.本章二元一次方程組的基本概念和消元解法是基礎知識，通過列、解二元一次方程組分析解決實際問題是基本能力，它們對于解三元一次方程組以及今后進一步學習有重要作用.教學中應注意打好基礎，切實讓學生掌握基本方法，力求能夠較靈活地運用，逐步培養提高學生的基本能力.由于教材多以分析解決實際問題為線索展開，將基礎知識寓于分析解決問題的過程之中，所以教學中應注意對基礎知識進行提煉、歸納、整理，通過必要的練習途徑來掌握基礎知識和提高基本能力.附應用題練習：1.今年5月12日，四川汶川發生了里氏8.0級大地震，給當地人民造成了巨大的損失．“一方有難，八方支援”，我市錦華中學全體師生積極捐款，其中九年級的3個班學生的捐款金額如下表：班級（1）班金額（元）吳老師統計時不小心把墨水滴到了信息一：這三個班的捐款總金額是7700元；（2）班（3）班2000其中兩個班級的捐款金額上，但他知道下面的兩條信息：信息二：（2）班的捐款金額比（3）班的捐款金額多300元；請根據以上信息，求出（2）班與（3）班的捐款金額各是多少元.（答案：（2）班的捐款金額為3000元，（3）班的捐款金額為2700元．）2.四川5.12大地震后，災區急需帳篷．某企業急災區所急，準備捐助甲、乙兩種型號的帳篷共2000頂，其中甲種帳篷每頂安置6人，乙種帳篷每頂安置4人，共安置9000人，設該企業捐助甲種帳篷x頂、乙種帳篷y頂，那么下面列出的方程組中正確的是（D）x4y20004y2000xA．B．4xy90006xy9000xy20002000xyC．D．4x6y90006x4y90003.某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工上市銷售．該公司的加工能力是：每天可以精7加工6噸或粗加工16噸．現計劃用15天完成加工任務，該公司應按排幾天精加工，幾天粗加工？設安排天精加工，天粗加工．為解決這個問題，所列方程組正確的是（D）xyxy140140xyＡ．Ｂ．16x6y156x16y15xy1515xyＣ．Ｄ．16x6y1406x16y1404.班共有學生x，女生人數為x–y=49x+y=4949人.一天，該班某男生因事請假，當天的男生人數恰為女生人數的一半.若設y，則下列方程組中，能正確計算出x、y的是（D）x–y=49x+y=49該班男生人數為A．y=2(x+1)B．y=2(x+1)C．y=2(x–1