第二十一章５年高考３年模 Ｂ版（教師用書第二十一章§２１．１矩陣與變換考 換為（ｘ，ｙ）考

對應學生用書起始頁碼Ｐ４０８

Ｍ＝

（１）矩陣的概念１ ４

換為（ｘ，ｙ）→（在數學中，把形如 ， ３，１

１ ＝ ：將坐標平面上的點垂直于ｘ軸方向投影到ｙ數字（或字母）陣列稱為矩陣，其中，同一橫排中按原來次序排列的一行數（或字母）叫做矩陣的行，

１ｘ上，點的變換為（ｘ，ｙ）→（的一列數（或字母）叫做矩陣的列，而組成矩陣的每一個數（或 Ｍ＝

ｘｙ母）稱為矩陣的元素（２）行矩陣與列矩陣的乘法規 ｘ上，點的變換為（ｘ，ｙ）→（［

＝［ａ×ｂ＋ａ×ｂ

］］

１１ １２ Ｍ＝

：ｙ＝ｘ１ ２１ １２０

０

ｘ＋ｙ

×ｙ

ｙ＝ｘ上，點的變換為（ｘ，ｙ）→ ａ

ａ２１×ｘ０ ０ ２．幾種常見的平面變 １ １１ （６）由矩陣Ｍ＝ 或Ｍ＝ １（ｋ∈Ｒ，ｋ≠０）確定（１）當Ｍ＝ 時，對應的變換是恒等變換 ０１

１

（ｋ＞０，且ｋ≠１）

（）α＝ｙ，λα＝λｙ（３）反射變換是軸反射變換中心反射變換的總稱，

（

＝

α

，αβ

２ｙ ｙ ｙ＋ｙ ０ ＝ １：點的變換為（ｘ，ｙ）→（ｘ，ｙ），軸對稱０軸對稱１０

（），α，β是平面上任意兩個向量，λ是任一實數，則Ａ（λα）＝λＡα，Ａ（α＋β）＝Ａα＋Ａβ．直線（或一點）． １ （１）Ａ＝ ｂ，Ｂ １ ｃａ＋ｄ ｃｂ＋ｄｄ ：點的變換為（ｃａ＋ｄ ｃｂ＋ｄｄ

ｄ１

ｄ２＝０

則＝ａａ＋ｂｃ２ａｂ＋ｂｄ２１２１ １２１Ｍ ：點的變換為（ｘ，ｙ）→（ｙ，ｘ）ｙ＝ｘ對稱

：（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（（）當＝ｃｏｓ

ｓｉｎθ時，對應的變換叫旋轉變換，即

（）對于二階矩陣Ａ，Ｂ，若有＝＝Ｅ（Ｅ為單位矩陣），則稱Ａ是可逆的，Ｂ稱為Ａ的逆矩陣．把平面圖形（或點）繞某個定點逆時針旋轉角度（５）將一個平面圖形投影到某條直線（或某個點）的變換稱為Ｍ＝

（２），，則ＡＢ也存在逆矩陣且（ＡＢ）１＝Ｂ１Ａ１（３）

（）設Ａ是一個二階矩陣，如果對于實數λ，α，Ａα＝λα，那么λ，α屬于特征值λ的一個特征向量．

* ｃλ

＝

第二十一章選修４系列與原向量保持在同一條直線上，這時特征向量或者方向不變（λ０），或者方向相反（λ＜０）．特別地，λ＝０時，

定義：＝ａｂ是一個二階矩陣，λ∈Ｒ， ｃｄ * （３）

ｆ（λ）

ｃλ

＝λ２（ａ＋ｄ）λ＋ａｄｂｃ稱為Ａλ＝ａｂ的一個特征值，它的一個特＝ ｘｃｄ

（４）向量為

，

特征多項式的一個根，它滿足ｆ（λ）＝０，將λａｘ＋ｂｙ＝λｘ，（λａ）ｘｂｙ＝ （ ｙａｘ＋ｂｙ＝λｘ，（λａ）ｘｂｙ＝ （ ｙｃｘ＋ｄｙ＝，

*ｄ）

＝

ｘ０

０由特征向量的定義知α≠０，因此ｘ，ｙ不全為０，若要上述二０

ｙ０

求逆矩陣常用的三種方 設Ａ１＝ａｂ，則１２＝ａｂ

ａ ｃｄ

ｃｄ （）待定系數法設Ａ是一個二階可逆矩陣

，

０６ ＡＡ１＝Ａ１＝Ｅ（

ｃｄ

ａ＝２ａ＋３ｂ＝ （）

ａｂ＝ａｄ

ｄｅｔＡ，有

１ 所以ｃ＝

ｃ ｂ

２ｃ＋３ｄ＝ ｄ＝＝１ ｄｅｔ

ｄｅｔ

Ａ，ｄｅｔ＝ａｄ．

０２ ａ

２ ｄｅｔＡｄｅｔＡ

（常州期末）＝３，（３）

１ （２０１７南通、泰州模擬）設矩陣Ａ滿足：Ａ

２ ０ 解析＝

，得Ａ１＝ ２

３２

２ 由ＡＸ＝Ｂ，得Ｘ＝Ａ１Ｂ＝ ａ

則ａｂ１２＝

（２０１８海安中學、南京外國語學校、金陵中學四模，２

２１Ｂ）已知二階矩陣Ａ＝ ３

ｃａ＝

１所以

ｂ＝ ｂ＝

＝

１

α＝

ｃ＝ 解得ｃ＝０，

０１

解析由已知得，Ａα＝

２

２ｂ＝

（２分１０

ｃ１＝２０２

解得ｂ＝３，ｃ＝２．因此矩陣Ａ＝２１ （５分１ ＝

２兩邊同時乘逆矩陣Ａ

ｂ ３０ ３

ａｄｂｃａｄ ４１

所以Ａ１＝ ＝ （１０分得， ＝Ａ１

ａ １

３

２５年高考３年模 Ｂ版（教師用書利用矩陣求曲線方程或圖形中相關點的坐標，再利用曲線或圖形的性質求解相關問題．

ａ＋１＝ｂ＝

ａ＝∴ｂ＝∴ （２）設曲線Ｃ上任一點Ｍ′（ｘ０，ｙ０）在矩陣Ａ對應的變換在矩陣 對應的變換作用下，得到直線ｌ′：９ｘ＋ｙ９１ 用下得到點Ｍ（１ １ １１ｘ０＝０．求實數ａ，ｂ的值 又Ａ＝０２，∴０２ｙ 解析解法一取直線ｌａｘｙ７＝０上兩點Ａ（Ｂ（１，７

０ ｘ＝ｘ１＝＋ ＝ ０＝

０

即

０，０∴２ｙ０ｙ＝１２ｙ０ｙ＝１３０ ＝

∵，∴

＝１ｂ７ ｂ（７ａ）１ 所以Ａ（０，７），Ｂ（１，７ａ）在矩陣Ａ對應的變換作用下分別（ｂ），Ｂ′（ｂ（ａ）１）．所以２７＋（）１＝解得＝由題意，知Ａ′，Ｂ′在直線ｌ′：９ｘ＋ｙ９１所以２７＋（）１＝解得＝

２（１，１）與（２，１）分別變換成點（１，１）與（０，２）ｌ 解法二：設直線ｌ上任意一點Ｐ（ｘ，ｙ），點Ｐ在矩陣Ａ對 解析設Ｍ＝ 的變換作用下得到點Ｑ（ ３０ ｘ′＝ ａｂ ０１ｂｙ＝ｙ′，所以ｙ＝

ｃｄ ２又因為點Ｑ（ｘ′，ｙ′）在直線ｌ′上，所以９ｘ′＋ｙ′９１＝

ａｂ＝

＝１即２７ｘ＋（ｘ＋ｂｙ）９１＝０，亦即２６ｘ＋ｂｙ９１＝又點Ｐ（ｘ，ｙ）在直線ｌ上，所以ａｘ＋ｙ

２ａ＋ｂ＝

ｃ＝

０．

２ｃ＋ｄ＝

所

＝７，解得ａ＝２，ｂ＝

ｌ（ｘ，ｙ）在矩陣Ｍ ＝