第第頁人教B版（2023）選修第三冊5.3等比數列（含答案）人教B版（2023）選修第三冊5.3等比數列

（共20題）

一、選擇題（共13題）

已知正項等比數列的公比為，若，則的最小值等于

A．B．C．D．

在等比數列中，已知，，則公比的值為

A．或B．或C．D．

已知數列是以為公比的等比數列．若，則數列是

A．以為公比的等比數列B．以為公比的等比數列

C．以為公比的等比數列D．以為公比的等比數列

已知數列是等差數列，數列是等比數列，若，，則的值是

A．B．C．D．

在等比數列中，若，，則的前項和為

A．B．C．D．

若等比數列的各項均為正數，，，則

A．B．C．D．

在正項（各項都為正數）等比數列中，，，則的值為

A．B．C．D．

設為等比數列的前項和，，則等于

A．B．C．D．

設數列的前項和為．若，則等于

A．B．C．D．

數列對任意都滿足，且，，，則

A．B．C．D．

數列滿足，則該數列從第項到第項的和為

A．B．C．D．

已知是首項為的等比數列，是的前項和，且，則數列的前項和為

A．或B．或C．D．

已知，，成公比為的等比數列，，且，，也成等比數列，則的值為

A．或B．

C．或D．或或

二、填空題（共4題）

數列中，，為的前項和，若，則．

若等差數列和等比數列滿足，，則．

若與的等差中項與等比中項相等，則實數的值為．

如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為，由下往上的六個點：，，，，，的橫、縱坐標分別對應數列的前項，如表所示：

按如此規律下去，則．

三、解答題（共3題）

已知數列滿足，．

(1)證明是等比數列，并求的通項公式；

(2)求數列的前項和．

已知數列是首項為，公比的等比數列，設，數列滿足．

(1)求數列的通項公式；

(2)求數列的前項和；

(3)若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍．

在數列中，，（，是常數）．

(1)當，時，求數列的通項公式；

(2)當，時，設，求證數列是等比數列；

(3)在（）的條件下，記，，求證：．

答案

一、選擇題（共13題）

1.【答案】C

【解析】因為正項等比數列的公比為，且，

所以，

所以，

所以，當且僅當時取等號．

2.【答案】B

3.【答案】A

【解析】．

4.【答案】C

【解析】由等差中項的性質可得，

所以，

由等比中項的性質可得，

所以，

因此，

5.【答案】B

6.【答案】D

【解析】設等比數列的公比為，由等比數列的性質可知，又，

所以，

所以，

因為數列的各項均為正數，

所以．

所以．

7.【答案】A

8.【答案】D

【解析】因為，

所以，

解得，

則．

故選D．

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】C

12.【答案】C

【解析】設數列的公比為．

由題意可知，且，解得，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列，

由求和公式可得．

13.【答案】C

【解析】因為，，成公比為的等比數列，，

所以，，

因為等比數列中每一項都不為零，

所以，

因為，，也成等比數列，

所以，

即，

把選項中的值代入以上等式進行檢驗，

得到，合題意．

二、填空題（共4題）

14.【答案】

【解析】因為在數列中，，，

所以數列是首項為，公比為的等比數列．

因為，所以，

即，解得．

15.【答案】

【解析】由，得，則，

由，得，則．

故．

16.【答案】

【解析】因為與的等差中項與等比中項相等，

所以，

解得．

17.【答案】

【解析】，，，，，，，，這個數列的規律是奇數項為，，，，，，偶數項為，，，，故，，故．

三、解答題（共3題）

18.【答案】

(1)，，

所以是以為首項，為公比的等比數列，，

所以．

(2)

19.【答案】

(1)由題意知，，

因為，

所以．

(2)所以，

于是，

兩式相減得，

所以．

(3)因為

所以當時，，

當時，，即，

所以當時，取最大值是，

又對一切正整數恒成立，

所以，

即得或．

20.【答案】

(1)當，時，，

所以，

因為