第一節等腰三角形(一)第一章三角形的證明學習目標（１分鐘）1、復習與三角形全等有關的幾條公理和定理；2、掌握等腰三角形的性質和判定以及三線合一；自學指導(1分鐘)自學課本P1-3，思考下列問題:1.判定兩個三角形全等有哪些方法?全等三角形有何性質?2.等腰三角形有何性質?如何證明?學生自學(8分鐘)2.三角形全等的性質定理：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，對應線段也相等。三角形全等定義：能夠完全重合的兩個三角形全等.三角形全等溫故知新3.要判斷兩個三角形全等有哪些定理？SSSASAAAS邊邊邊角邊角角角邊ABCDEFDEFBACDEFBAC三邊分別相等的兩個三角形全等。兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。兩角分別相等，且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。在ΔABC和ΔDEF中：∵

AB=DE，

AC=DF，

BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF（SSS）在ΔABC和ΔDEF中：∵

∠B=∠E，

BC

=

EF，

∠C=∠F，∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）在ΔABC和ΔDEF中：∵

∠C=∠F，

∠B=∠E，

BC

=

EF∴ΔABC≌ΔDEF（AAS）注意：35°64°81°64°81°圖形表示內容應用格式三角相等、及SSA均不能用來說明兩個三角形全等35°SAS邊角邊ABCFED兩邊及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。在ΔABC和ΔDEF中：∵

AB=DE，∠B=∠E，

BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF（SSS）三角形全等的判定公理推論

推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.（AAS）已知：如圖,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內角和等于180°）∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F（等量代換）

∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）你能證明下面的推論嗎？ABCDEF1.已知在△ABC和△DEF中AC=DF,CB=FE,∠A=∠D,則△ABC和△DEF一定全等嗎?ABCDEF若將∠A=∠D改為∠C=∠F，其它條件不變，結論還成立嗎？自學檢測(12分鐘)不一定全等成立2、A請你寫出圖中五對全等三角形，并選取其中一對加以證明．4、如圖：△AEF≌△ADF△BEF≌△BDF△ABD≌△ABE≌△ACD5、如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截CG=AB，連結AD、AG。

求證：（1）AD=AG，（2）AD⊥AG。提示:證明△ABD≌△GCA1、三角形全等判定公理:

點拔:SSS、SAS、ASA.

定理:

AAS性質定理:全等三角形的對應邊、對應角相等.三角形全等的證題思路：???íì??SSSSAS已知兩邊找夾角找第三邊2、等腰三角形有何性質？如何判定一個三角形是等腰三角形？3、等腰三角形三線合一的具體內容是什么？（1）等腰三角形是軸對稱圖形；（2）等腰三角形兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”；（3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

互相重合.簡稱“三線合一”.2.等腰三角形的三個性質有兩邊相等的三角形為等腰三角形.1.定義：你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎?定理:等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：取BC的中點D,連接AD.在△ABD和△ACD中

∵AB=AC,BD=CD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）CBAD一題多解證法一:等腰三角形的性質等腰三角形的性質已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：作△ABC頂角∠A的角平分線AD.在△ABD和△ACD中

∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)

∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）CBAD一題多解證法二:定理:等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)等腰三角形的性質已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：作BC邊上的高AD.在Rt△ABD和Rt△ACD中

∵AB=AC,AD=AD∴Rt

△ABD≌Rt

△ACD(HL)

∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）CBAD一題多解證法三:定理:等腰三角形的兩個底角相等.(等邊對等角)想一想CBAD

在上面的圖形中,線段AD還具有怎樣的性質?為什么?由此你能得到什么結論?推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.(簡稱為：“三線合一”)你能利用已有的公理和定理證明這個結論嗎?等腰三角形的性質已知：如圖,在△ABC中,AB=AC，

AD為∠BAC的角平分線求證：BD=CD，且AD⊥BC.證明：∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD∵AB=AC,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)

∴BD=CD，

∠BDA=∠CDA∵

∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°即AD⊥BC

∴AD既為∠BAC的角平分線,也是BC邊上的中線和高.CBAD定理：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.二.等腰三角形等腰三角形性質:符號語言：ACB1、等腰三角形兩個底角相等.∵AB=AC∴∠B=∠C簡稱“等邊對等角”2、推論:

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一).ACBD12(1)∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.(2)∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）(3)∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）輪換條件∠1=∠2,

AD⊥BC,BD=CD,可得三線合一的三種不同形式的運用.等腰三角形性質:三線合一1、若等腰三角形的一個內角為40°,則它的另外兩個內角為__________________2、若等腰三角形的一個內角為120°,則它的另外兩個內角為______70°,70°或40°，100°30°,30°3.一等腰三角形的兩邊長為2和4，則該等腰三角形的周長為________4.一等腰三角形的兩邊長為3和4，則該等腰三角形的周長為________1010或11當堂訓練(17分鐘)1.如果一個三角形的一個外角是130°，且它恰好等于一個不相鄰的內角的2倍，那么這個三角形是（）A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形C2.如圖，△BDC′是將矩形ABCD，沿對角線BD折起得到的，圖中（包括實線、虛線圖形），共有全等三角形（）A.2對 B.3對C.4對 D.5對C3.如右圖,已知△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,又DE∥BC,交AC于E,若DE=4cm，AE=5cm,則AC等于（）A.1cm B.4cmC.5cm D.9cmD4.在Rt△ABC中,如圖所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，點D到AB的距離DE=3.8cm，則BC等于（）A.3.8cm B.7.6cmC.11.4cm D.11.2cmC5、如圖在三角形ABC中AB=AC,∠A=36°,BD、CE分別是△ABC、△

BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形是有_____個等腰三角形分別為△ABC△DAB△BEC△BDC△EDC56.如下圖,在△ABC中,∠A=20o,D在AB上,AD=DC,∠ACD:∠BCD=2:3,求:∠ABC的度數.6.解：∵AD=DC，且∠A=20°，∴∠A=∠ACD=20°，又∵∠ACD∶∠BCD=2∶3∴∠BCD=30°，∠ACB=20°+30°=

50°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-50°=110°7.如圖,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一點（M與A不重合）MD⊥BC,交∠ABC的平分線于點D，求證:MD=MA.證明：∵MD⊥BC,∠B=90°∴AB∥MD∴∠BAD=∠D又∵AD為∠BAC的平分線∴∠BAD=∠MAD∴∠D=∠MAD∴MA=MD如圖，P，Q是△ABC邊上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數。APBCQ開動腦筋例2、如圖，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30°，求∠BAC和∠ADC的度數。ABCD如圖，∠ABC與∠ACB的平分線相交于F，過F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，

求證：BD+EC=DE．

如圖，點D在AC上，點E在AB上，AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度數．ADCBE方法1：在HC上取一點G，

使FD=HG連結DG.●GDE+DF=CH1、等腰三角形△ABC,AB=AC,DE⊥AC,DF⊥AB,CH⊥AB，探索DE、DF、CH的關系?選做題等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離和等于一腰上的高。方法2：過D點作DG∥HF方法3：過D點作DG⊥HC還有好方法嗎？┓┓┓ABDCFHE2.如圖：AD是△ABC中∠BAC的平分線，過AD的中點E作EF⊥AD交BC的延長線于F，連結AF。求證：∠B=∠CAF。提示：證△AEF≌△DEF可得∠EAF=∠EDF，又因為∠EDF=∠B+∠BAD，∠EAF=∠EAC+∠CAF，∠BAD=∠CAD故可得∠B=∠CAFABCDEF3、如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，且2AE=BD，DF⊥AB于F。求證：CD=D