第二十二章·二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)人民教育出版社九年級(jí)

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溫故知新二次函數(shù)y=a(x+m)2+k的圖象和y=ax2的圖象之間的關(guān)系。y=ax2(a≠0)圖像y=a(x+m)2y=a(x+m)2+k當(dāng)m>0時(shí)向左平移m個(gè)單位當(dāng)m<0時(shí)向右平移|m|個(gè)單位當(dāng)k>0時(shí)向上平移k個(gè)單位當(dāng)k<0時(shí)向下平移|k|個(gè)單位問題引入對(duì)于函數(shù)y=-x2-2x+1，請(qǐng)回答下列問題：（1）對(duì)于函數(shù)y=-x2-2x+1的圖象可以由什么拋物線，經(jīng)怎樣平移得到的？（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么？思路：把y=-x2-2x+1化為y=a(x+m)2+k的形式。y=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-[(x2+2x+1)-2]=-[(x+1)2-2]=-(x-1)2+2在y=-x2-2x+1中，m、k分別是什么？從而可以確定由什么函數(shù)的圖象經(jīng)怎樣的平移得到的？知識(shí)點(diǎn)詳解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象及圖象的形狀、開口方向、位置又是怎樣的？y=ax2+bx+c=a(x2+x+)（提取a，使二次項(xiàng)系數(shù)為1）=a[x2+x+()2-()2+]（加上并減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）=a(x+)2+（寫成配方式）知識(shí)點(diǎn)詳解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，（1）對(duì)稱軸是直線（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）（3）當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)詳解（4）最值：如果a＞0，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值，如果a＜0，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最大值，知識(shí)點(diǎn)詳解（5）增減性：①若a＞0，當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減小。②若a＜0，當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大。知識(shí)點(diǎn)詳解（6）拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。①拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）。②拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0)，(x2,0),其中為x1,x2方程y=ax2+bx+c的兩實(shí)數(shù)根。知識(shí)點(diǎn)詳解（7）拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)情況可由對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式判定：①△＞0

有兩個(gè)交點(diǎn)

拋物線與x軸相交；②△＝0

有一個(gè)交點(diǎn)

拋物線與x軸相切；③△＜0沒有交點(diǎn)

拋物線與x軸相離。例題詳解1.當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=2x2-8x+1有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？解法一（配方法）：y=2x2-8x+1=2(x2-4x)+1=2(x2-4x+4-4)+1=2(x-2)2-7≥-7所以當(dāng)x＝2時(shí)，y最小值=-7。例題詳解解法二（公式法）：因?yàn)閍＝2＞0，拋物線y=2x2-8x+1有最低點(diǎn)，所以y有最小值，因?yàn)樗援?dāng)x＝2時(shí)，y最小值=-7。總結(jié)：求二次函數(shù)最值，有兩個(gè)方法。(1)用配方法；(2)用公式法。例題詳解2.函數(shù)y=-3x2+12x-16的圖象能否由函數(shù)y=-3x2的圖象通過(guò)平移變換得到？若能，請(qǐng)說(shuō)出平移過(guò)程，并畫示意圖；說(shuō)出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。例題詳解-8.-6.-4.-2-122.4.6.-2-4.-6.0.xy2.-10.y=-3x2y=-3(x-2)2-4y=-3(x-2)2

二次函數(shù)y=-3(x-2)2-4的圖象可以y=-3x2的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到對(duì)稱軸是直線x=2頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-4）。練習(xí)題1.已知函數(shù)，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。解法一：，∴拋物線開口向下，又∴對(duì)稱軸是直線x＝－3，當(dāng)x＞－3時(shí)，y隨x的增大而減小。練習(xí)題1.已知函數(shù)，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。解法二：

∴拋物線開口向下，∴對(duì)稱軸是直線x＝－3，當(dāng)x＞－3時(shí)，y隨x的增大而減小。課堂總結(jié)1.二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，a≠0)頂點(diǎn)式：y=a(x+m)2+k。二次函數(shù)的特殊形式：當(dāng)b=0時(shí)，y=ax2+c當(dāng)c=0時(shí)，y=ax2+bx當(dāng)b=0,c=0時(shí)，y=ax2

。2.y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象(1)對(duì)稱軸是直線x=。課堂總結(jié)(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）(3)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)。22.1.3.1二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)（初中）（九年級(jí)上）第二十二章二次函數(shù)

前言學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2+k的圖象。2.能說(shuō)出拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2的相互關(guān)系。3.拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2的平移規(guī)律。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：通過(guò)圖象，觀察拋物線y=ax2+k的圖象和性質(zhì)。難點(diǎn)：通過(guò)圖象，觀察拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2的平移規(guī)律。通過(guò)什么方法畫出拋物線y=ax2的圖象嗎？描點(diǎn)法你能通過(guò)這種方法畫出二次函數(shù)y=ax2+c的圖象嗎？你還記的拋物線y=ax2的性質(zhì)嗎？（2）當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).（3）|a|越大，拋物線的開口越小.（1）拋物線y=ax2的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn).二次函數(shù)y=ax^2知識(shí)點(diǎn)回顧

…-2-1012………93139【列表】……71-117二次函數(shù)y=ax2+c的圖象

根據(jù)表中x，y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)【描點(diǎn)】369yO-33x

【連線】

二次函數(shù)"y=ax2+c"的圖象

369yO-33x

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)向上y軸（0，1）向上y軸（0，-1）思考：拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？思考拋物線y=2x2+1

,y=2x2-1與拋物線y=2x2

有什么關(guān)系？369yO-33x

369yO-33x

把拋物線y=2x2向上平移一個(gè)單位就得到拋物線y=2x2+1

把拋物線y=2x2向下平移一個(gè)單位就得到拋物線y=2x2-1

拋物線y=2x2+1與y=2x2-1之間有什么關(guān)系呢？拋物線y=2x2+1向下平移2個(gè)單位得到拋物線y=2x2-1思考拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2

有什么關(guān)系？369yO-33x

369yO-33x

若k>0，,拋物線y=ax2向上平移k個(gè)單位就得到拋物線y=ax2+k

若k<0，,拋物線y=ax2向下平移|k|個(gè)單位就得到拋物線y=ax2-|k|思考拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2

有什么關(guān)系？

拋物線y=ax2+k的圖象相當(dāng)于把拋物線y=ax2的圖象

（k＞0）或

（k＜0）平移

個(gè)單位.向上向下|k|小結(jié)

小組討論拋物線y=ax2+k

a>0a<0圖象k>0k<0開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的增減性最值x=0時(shí)，y最小值=kx=0時(shí)，y最大值=k當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減小.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減小；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大.向上向下y軸（直線x=0）y軸（直線x=0）（0，k）（0，k）二次函數(shù)"y=ax2+c"的性質(zhì)1.拋物線y＝3x2＋7可以由拋物線y＝3x2向

平移

____個(gè)單位