弧長、扇形面積、圓錐一.選擇題1.(2020?江蘇省泰州市?3分)如圖，半徑為10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D.E．若∠CDE=36°，則圖中陰影部分的面積為()A．10π B．9π C．8π D．6π【分析】連接OC，易證得四邊形CDOE是矩形，則△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，利用扇形的面積公式即可求得．【解答】解：連接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四邊形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°，∴圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，∵S扇形OBC＝＝10π，∴圖中陰影部分的面積＝10π，故選：A．【點評】本題考查了扇形面積的計算，矩形的判定與性質，利用扇形OBC的面積等于陰影的面積是解題的關鍵．2.（2020?湖南省株洲市·4分）如圖所示，點A.B.C對應的刻度分別為0、2.4.將線段CA繞點C按順時針方向旋轉，當點A首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點A1，則此時線段CA掃過的圖形的面積為（）A．4π B．6 C．4 D．π【分析】求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACA1的面積．【解答】解：由題意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．由旋轉的性質，得A1C＝AC在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．∴∠ACA1＝60°．∴扇形ACA1的面積為＝．即線段CA掃過的圖形的面積為．故選：D．【點評】此題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關鍵．3.（2020?湖南省常德?3分）一個圓錐的底面半徑r＝10，高h＝20，則這個圓錐的側面積是（）A．100π B．200π C．100π D．200π【分析】先利用勾股定理計算出母線長，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側面積．【解答】解：這個圓錐的母線長＝＝10，這個圓錐的側面積＝×2π×10×10＝100π．故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．4.5.6.7.8.9.10.二.填空題1.（2020?湖南省郴州?3分）如圖，圓錐的母線長為，側面展開圖的面積為，則圓錐主視圖的面積為__________．【答案】48【解析】【分析】圓錐的主視圖是等腰三角形，根據圓錐側面積公式S=πrl代入數據求出圓錐的底面半徑長，再由勾股定理求出圓錐的高即可．【詳解】根據圓錐側面積公式：S=πrl，圓錐的母線長為10，側面展開圖的面積為60π，故60π=π×10×r，解得：r=6．由勾股定理可得圓錐的高==8∵圓錐的主視圖是一個底邊為12，高為8的等腰三角形，∴它的面積=，故答案為：48【點睛】本題考查了三視圖的知識，圓錐側面積公式的應用，正確記憶圓錐側面積公式是解題關鍵．2（2020?江蘇省蘇州市?3分）如圖，在扇形中，已知，，過的中點作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OC，易證，進一步可得出四邊形CDOE為正方形，再根據正方形的性質求出邊長即可求得正方形的面積，根據扇形面積公式得出扇形AOB的面積，最后根據陰影部分的面積等于扇形AOB的面積剪去正方形CDOE的面積就可得出答案．【詳解】連接OC點為的中點在和中又四邊形CDOE為正方形由扇形面積公式得故選B．【點睛】本題考查了扇形面積的計算、正方形的判定及性質，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵．3（2020?湖南省湘潭市·3分）如圖，在半徑為6的⊙O中，圓心角∠AOB＝60°，則陰影部分面積為6π．【分析】直接根據扇形的面積計算公式計算即可．【解答】解：陰影部分面積為，故答案為：6π．【點評】本題考查了扇形面積的計算，解題的關鍵是熟記扇形面積的計算公式．4.（2020?湖南省長沙市·3分）已知圓錐的母線長為3，底面半徑為1，該圓錐的側面展開圖的面積為3π．【分析】根據圓錐的側面積公式：S側＝2πr?l＝πrl．即可得圓錐的側面展開圖的面積．【解答】解：∵圓錐的側面展開圖是扇形，∴S側＝πrl＝3×1π＝3π，∴該圓錐的側面展開圖的面積為3π．故答案為：3π．【點評】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是掌握圓錐的側面展開圖的扇形面積公式．5（2020?廣東省?4分）如題16圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為______m．【答案】【解析】連接BO、AO可得△ABO為等邊，可知AB=1，l=，2πr=得r=【考點】弧長公式、圓錐6.（2020?黑龍江省哈爾濱市?3分）一個扇形的面積是13πcm2，半徑是6cm，則此扇形的圓心角是130度．【分析】根據扇形面積公式S＝，即可求得這個扇形的圓心角的度數．【解答】解：設這個扇形的圓心角為n°，＝13π，解得，n＝130，故答案為：130．【點評】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關鍵是明確扇形面積計算公式S＝．7（2020?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）如圖是一個幾何體的三視圖，依據圖中給出的數據，計算出這個幾何體的側面積是65π．【分析】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐，根據圖中給定數據求出母線l的長度，再套用側面積公式即可得出結論．【解答】解：由三視圖可知，原幾何體為圓錐，S側＝?2πr?l＝×2π×5×13＝65π．故答案為：65π．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體、圓錐的計算以及勾股定理，由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐是解題的關鍵．8（2020?河南省?3分）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D，點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為．【分析】利用軸對稱的性質，得出當點E移動到點E′時，陰影部分的周長最小，此時的最小值為弧CD的長與CD′的長度和，分別進行計算即可．【解答】解：如圖，作點D關于OB的對稱點D′，連接D′C交OB于點E′，連接E′D.OD′，此時E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由題意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的長l＝＝，∴陰影部分周長的最小值為2+＝．故答案為：．【點評】本題考查與圓有關的計算，掌握軸對稱的性質，弧長的計算方法是正確計算的前提，理解軸對稱解決路程最短問題是關鍵．9（2020?江蘇省連云港市?3分）用一個圓心角為90°，半徑為20cm的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓半徑為5c【分析】設這個圓錐的底面圓半徑為r，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式得到2πr＝，然后解關于r的方程即可．【解答】解：設這個圓錐的底面圓半徑為r，根據題意得2πr＝，解得r＝5（cm）．故答案為：5．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．10(2020?江蘇省揚州市?3分)圓錐的底面半徑為3，側面積為12π，則這個圓錐的母線長為4．【分析】根據圓錐的側面積公式：S側＝2πr?l＝πrl即可進行計算．【解答】解：∵S側＝πrl，∴3πl＝12π，∴l＝4．這個圓錐的母線長為4．故答案為4．【點評】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是掌握扇形面積公式．11.(2020?江蘇省徐州市?3分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的側面積等于15π．【分析】運用公式s＝πlr(其中勾股定理求解得到的母線長l為5)求解．【解答】解：由已知得，母線長l＝5，底面圓的半徑r為3，∴圓錐的側面積是s＝πlr＝5×3×π＝15π．故答案為：15π．【點評】本題考查了圓錐的計算，要學會靈活的運用公式求解．12.(2020?江蘇省無錫市?2分)已知圓錐的底面半徑為1cm，高為cm，則它的側面展開圖的面積為＝2πcm2．【分析】先利用勾股定理求出圓錐的母線l的長，再利用圓錐的側面積公式：S側＝πrl計算即可．【解答】解：根據題意可知，圓錐的底面半徑r＝1cm，高h＝cm，∴圓錐的母線l＝＝2，∴S側＝πrl＝π×1×2＝2π(cm2)．故答案為：2π．【點評】此題考查圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖是個扇形，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是底面圓的周長l．掌握圓錐的側面積公式：S側＝?2πr?l＝πrl是解題的關鍵．13（2020年德州市）18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，再將△AED′繞點E順時針旋轉α，得到△A'ED″，使得EA′恰好經過BD′的中點F．A′D″交AB于點G，連接AA′．有如下結論：①A′F的長度是﹣2；②弧D'D″的長度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述結論中，所有正確的序號是①②④．【分析】由折疊的性質可得∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，可證四邊形ADED'是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的長，由旋轉的性質可得AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F＝﹣2，可判斷①；由銳角三角函數可求∠FED'＝30°，由弧長公式可求弧D'D″的長度，可判斷②；由等腰三角形的性質可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判斷③；由“HL”可證Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可證△AFA'∽△EFG，可判斷④，即可求解．【解答】解：∵把AD沿AE折疊，使點D恰好落在AB邊上的D′處，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四邊形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'＝，∴四邊形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵點F是BD'中點，∴D'F＝1，∴EF＝＝＝2，∵將△AED′繞點E順時針旋轉α，∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F＝﹣2，故①正確；∵tan∠FED'＝＝＝，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的長度＝＝π，故②正確；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F與△A'GE不全等，故③錯誤；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AFA'＝∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正確，故答案為：①②④．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數，弧長公式，等腰三角形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定和性質等知識，靈活運用這些性質進行推理證明是本題的關鍵．14（2020年德州市）14．（4分）若一個圓錐的底面半徑是2cm，母線長是6cm，則該圓錐側面展開圖的圓心角是120度．【分析】根據圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開圖的弧長，首先求得展開圖的弧長，然后根據弧長公式即可求解．【解答】解：圓錐側面展開圖的弧長是：2π×2＝4π（cm），設圓心角的度數是n度．則＝4π，解得：n＝120．故答案為：120．【點評】此題主要考查了圓錐的有關計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．三.解答題1.（2020?河北省?9分）如圖，點O為AB中點，分別延長OA到點C，OB到點D，使OC＝OD．以點O為圓心，分別以OA，OC為半徑在CD上方作兩個半圓．點P為小半圓上任一點（不與點A，B重合），連接OP并延長交大半圓于點E，連接AE，CP．（1）①求證：△AOE≌△POC；②寫出∠l，∠2和∠C三者間的數量關系，并說明理由．（2）若OC＝2OA＝2，當∠C最大時，直接指出CP與小半圓的位置關系，并求此時S扇形EOD（答案保留π）．【分析】（1）①利用公共角相等，根據SAS證明三角形全等便可；②由全等三角形得∠C＝∠E，再利用三角形外角性質得結論；（2）當CP與小半圓O相切時，∠C最大，求出∠DOE便可根據扇形的面積公式求得結果．【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，，∴△AOE≌△POC（SAS）；②∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠C，∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C＝∠2；（2）當∠C最大時，CP與小半圓相切，如圖，∵OC＝2OA＝2，∴OC＝2OP，∵CP與小半圓相切，∴∠OPC＝90°，∴∠OCP＝30°，∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，∴．【點評】本題主要考查了圓的切線的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質，直角三角形的性質，扇形的面積計算，關鍵在于掌握各個定理，靈活運用這些性質解題．2.（20