中學生物理奧林匹克競賽專題輔導（基礎版）電磁學（A版）中學生物理奧林匹克競賽電磁學綜述（經典）電磁學的基本規律——麥克斯韋方程組電磁學綜述（經典）電磁學的基本規律——麥克斯韋方程組電磁場理論的深刻對稱性——電磁對偶磁單極？平行偶極板和長直螺線管的對偶電容和電感的對偶……電磁場理論的深刻對稱性——電磁對偶例：在xoy面上倒扣著半徑為R的半球面上電荷均勻分布，面電荷密度為。A點的坐標為(0,R/2)，B點的坐標為(3R/2,0)，則電勢差UAB為——。ABxyo

RQ為整個帶電球面的電荷由對稱性此題也可從電場的角度考慮C例：在xoy面上倒扣著半徑為R的半球面上電荷均勻分布，面電荷例：三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，測得圖中P，Q兩點（均為相應正三角形的重心）的電勢分別為UP和

UQ。若撤去BC棒，則P，Q兩點的電勢為U′P=——，

U′Q=——。ABCPQ解：設AB,BC,CA三棒對P點的電勢及AC對Q點的電勢皆為U1AB,BC棒對Q點的電勢皆為U2撤去BC棒例：三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，例：厚度為b的無限大平板內分布有均勻體電荷密度（>0）的自由電荷，在板外兩側分別充有介電常數為1與2的電介質，如圖。求：1）板內外的電場強度2）A,B兩點的電勢差b

1

2BA解：設E=0的平面MN距左側面為d1,距右側面為d2.d1d2.據對稱性,E垂直MN指向兩側1)求D,Ex例：厚度為b的無限大平板內分布有均勻體電荷密度（>0）的自b

1

2BAb12BAb

1

2BAb12BA例：無限大帶電導體板兩側面上的電荷面密度為

0，現在導體板兩側分別充以介電常數1與2（

1

2）的均勻電介質。求導體兩側電場強度的大小。

1

2解：充介質后導體兩側電荷重新分布，設自由電荷面密度分別為

01和02例：無限大帶電導體板兩側面上的電荷面密度為0，現在導體例：在兩平行無限大平面內是電荷體密度>0的均勻帶電空間，如圖示有一質量為m，電量為q(<0)的點電荷在帶電板的邊緣自由釋放，在只考慮電場力不考慮其它阻力的情況下，該點電荷運動到中心對稱面oo的時間是多少？d>0ooq<0xq以oo為中心，在兩平面內做簡諧振動例：在兩平行無限大平面內是電荷體密度>0的均勻帶電空間例：一直流電源與一大平行板電容器相連，其中相對介電常數為

r的固態介質的厚度恰為兩極板間距的二分之一，兩極板都處于水平位置，假設此時圖中帶電小球P恰好能處于靜止狀態，現將電容器中的固態介質塊抽出，穩定后試求帶電小球P在豎直方向上運動的加速度a的方向和大小。P解：P處于平衡狀態，則其帶負電由于始終與電源相連，U一定UEFa例：一直流電源與一大平行板電容器相連，其中相對介電常數為方向向下方向向下例：如圖，板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分充滿相對介電常數為

r的固態電介質，左半部分空間的正中位置有一帶電小球P，電容器充電后P恰好處于平衡位置，拆去充電電源，將電介質快速抽出，略去靜電平衡經歷的時間，不計帶電小球P對電容器極板電荷分布的影響，則P將經t=—時間與電容器的一個極板相碰。.

P解：拆去電源后，將介質抽出，過程中總Q不變，分布變設：小球m,q,極板S,Q,場強E0,E場強變化，P受力變化，關鍵求E例：如圖，板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的2020物理競賽專題輔導(基礎版)·電磁學ppt課件(A版)例：一平行板電容器中有兩層具有一定導電性的電介質A和B，它們的相對介電常數、電導率和厚度分別為

A,

A,dA,

B,

B,dB;且dA+dB=d,d為平板電容器的兩塊極板之間的距離?，F將此電容器接至電壓為V的電源上（與介質A接觸的極板接電源正極），設極板面積為S,忽略邊緣效應，試求穩定時

（1）電容器所損耗的功率P；

（2）電介質A和B中的電場能量WA和WB；

（3）電介質A和B的交界面上的自由電荷面密度

自和束縛電荷面密度

束。AB+_例：一平行板電容器中有兩層具有一定導電性的電介質A和B，它們（2）電介質A和B中的電場能量WA和

WB穩定后電介質A和B中的電流密度相等（2）電介質A和B中的電場能量WA和WB穩定后電（3）電介質A和B的交界面上的自由電荷面密度

自和束縛電荷面密度

束AB+_（3）電介質A和B的交界面上的自由電荷面密度自和束縛電荷面例：球形電容器的兩個極為兩個同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同性的線性介質，其相對介電常量為

r.當電極帶電后，其極上的電荷量將因介質漏電而逐漸減少。設介質的電阻率為，t=0時，內外電極上電量分別為±Q0,求電極上電量隨時間減少的規律Q(t)以及兩極間與球心相距為r的任一點處的傳導電流密度j(r,t).因電流沿徑向流動，總電阻可看成無數多薄球殼的串聯例：球形電容器的兩個極為兩個同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同2020物理競賽專題輔導(基礎版)·電磁學ppt課件(A版)一、點電荷系的相互作用能（電勢能）相互作用能W互：把各點電荷由現在位置分散至相距無窮遠的過程中電場力作的功。兩個點電荷：

同理：寫成對稱形式：電荷系的靜電能一、點電荷系的相互作用能（電勢能）兩個點電荷：同理：三個點電荷：

推廣至一般點電荷系：Ui：除qi外，其余點電荷在qi所在處的電勢。三個點電荷：推廣至一般點電荷系：Ui：除qi外，二、連續帶電體的靜電能（自能）靜電能W：把電荷無限分割并分散到相距無窮遠時，電場力作的功。只有一個帶電體：多個帶電體：總靜電能：二、連續帶電體的靜電能（自能）只有一個帶電體：多個帶電體：例：在每邊長為a的正六邊形各頂點處有固定的點電荷，它們的電量相間地為Q或–Q.1）試求因點電荷間靜電作用而使系統具有的電勢能W2）若用外力將其中相鄰的兩個點電荷一起（即始終保持它們的間距不變）緩慢地移動到無窮遠處，其余固定的點電荷位置不變，試求外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa1）Q，-Q所在處的電勢例：在每邊長為a的正六邊形各頂點處有固定的點電荷，它們的電2)外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa余下四個點電荷系統的電勢能無窮遠處一對電荷間的電勢能2)外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa余下四個點電例：半徑為R無限長半圓柱導體上均勻地流過電流I,求半圓柱軸線（原圓柱體的中心軸線）處的磁感應強度B.1)選取電流元rr+dr,ddBXy2)另選電流元如圖例：半徑為R無限長半圓柱導體上均勻地流過電流I,求半圓柱例：一半徑為a的導體球，以恒定速率v運動，球面上均勻分布著電荷Q,設v《c（真空光速），求:導體內外的磁場分布。.P解：運動電荷的磁場任選一點P，求P點磁場導體球上任選一dq到P點的矢徑V例：一半徑為a的導體球，以恒定速率v運動，球面上均勻例：設在討論的空間范圍內有均勻磁場B，在紙平面上有一長為h的光滑絕緣空心細管MN，管的M端內有一質量為m,帶電量為q>0的小球P。開始時P相對管靜止，而后管帶著P朝垂直于管的長度方向始終以勻速度u運動，那么，小球P從N端離開管后，在磁場中做圓周運動的半徑為R=——。（不考慮重力及各種阻力）PMNhu解：小球受洛侖茲力作用如圖例：設在討論的空間范圍內有均勻磁場B，在紙平面上有一長為h的例：一球形電容器中間充以均勻電介質，該介質緩慢漏電，在漏電過程中，傳導電流產生的磁場為Bc，位移電流產生的磁場為Bd，則++++++++--------++++++++--------P.O′O例：一球形電容器中間充以均勻電介質，該介質緩慢漏電，在漏電過++++++++--------++++++++--------UTxMBd

例：被電勢差加速的電子從電子槍口T發射出來，其初速度指向x方向。為使電子束能擊中目標M點，（直線TM與x軸夾角為），在電子槍外空間加一均勻磁場B,其方向與TM平行，如圖。已知從T到M的距離為d，電子質量為m，帶電量為e.為使電子恰能擊中M點，應使磁感應強度B=？解：電子被加速后UTxMBd例：被電勢差加速的電子從電子槍口T發射出2020物理競賽專題輔導(基礎版)·電磁學ppt課件(A版)例：原點O（0,0）處有一帶電粒子源，以同一速率v沿xy平面內的各個不同方向（1800）發射質量為m,電量為q（>0）的帶電粒子，試設計一方向垂直于xy平面，大小為B的均勻磁場區域，使由O發射的帶電粒子經磁場并從其邊界逸出后均能沿x軸正方向運動。（寫出磁場邊界線方程，并畫出邊界線）xyO設：磁場方向向下且無邊界任一粒子束，v,

其運動軌跡vo

過o

作平行于y軸的直線它與圓周交于P點P粒子在P點時，速度恰沿x方向，若在此之后粒子不受磁力，則其將沿x軸正方向運動。例：原點O（0,0）處有一帶電粒子源，以同一速率v沿xy平xyOvo

P即P點應在磁場的邊界上不同角發出的粒子，其P點坐標均滿足此方程所有P點的軌跡方程，也是磁場的邊界方程BxyOvoP即P點應在磁場的邊界上不同角發出的粒子，其P例：半徑分別為R1與R2的兩同心均勻帶電半球面相對放置（如圖），兩半球面上的電荷密度

1與2滿足關系1R1=-2R21）試證明小球面所對的圓截面S為一等勢面。2）求等勢面S上的電勢值。sR1R2oE左E右1）均勻帶電球面內場強為零因此場強必定都垂直于截面2）S上任一點的電勢U=U0例：半徑分別為R1與R2的兩同心均勻帶電半球面相對放置（如圖法拉第電磁感應定律楞次定律閉合回路中感應電流的方向，總是使它所激發的磁場來阻止引起感應電流的磁通量的變化。感應電動勢的兩種基本形式：動生電動勢&感生電動勢動生感生法拉第電磁感應定律楞次定律感應電動勢的兩種基本形式：動生感生例：如圖一矩形管，畫斜線的前后兩側面為金屬板，其他兩面（上下面）為絕緣板，用導線將兩金屬板相連，金屬板和導線的電阻可忽略不計。今有電阻率為

的水銀流過矩形管，流速為v0.設管中水銀的流速與管兩端壓強差成正比，已知流速為v0時的壓強差為P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均勻磁場，磁感應強度為B。求加磁場后水銀的流速vab解：設加磁場后水銀的流速v水銀中產生感生電動勢例：如圖一矩形管，畫斜線的前后兩側面為金屬板，其他兩面（上下2020物理競賽專題輔導(基礎版)·電磁學ppt課件(A版)例：一矩形線框由無電阻的導線構成，其邊分別與x,y軸平行，邊長分別為a和b，以初速v0沿x正方向運動，當t=0時進入磁感應強度為B的均勻磁場，磁場方向如圖，充滿x>0的空間，設線圈的自感為L，質量為m，并設b足夠長，求線圈的運動與時間的關系。（不考慮重力，框的電阻不計）。bayxv0解：線框進入磁場后例：一矩形線框由無電阻的導線構成，其邊分別與x,y軸平行，邊諧振動二階微分方程諧振動二階微分方程1）在電路的任一節點處，流入的電流強度之和等于流出節點的電流強度之和

——節點電流定律(基爾霍夫第一定律)2）在穩恒電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數和等于零。

——回路電壓定律(基爾霍夫第二定律)歐姆定律的微分形式直流電路1）在電路的任一節點處，流入的電流強度之和等于流出節點的電流例：在圖面內兩固定直導線正交，交點相連接，磁感應強度為B的均勻磁場與圖面垂直，一邊長為a的正方形導線框在正交直導線上以勻速v滑動，滑動時導線框的A,B兩點始終與水平直導線接觸，豎直直導線則與導線框的其他部分接觸。已知直導線單位長的電阻值均為r，試問：1）導線框的C,D兩點移至豎直導線上時，流過豎直導線CD段的感應電流是多少？2）此時導線框所受的總安培力為多大？aABCDaABCDCD2ar2arI左I右I例：在圖面內兩固定直導線正交，交點相連接，磁感應強度為B的CD2ar2arI左I右I2）導線框所受磁場力等于CD段導線所受的磁場力（也可根據I左，I右具體計算各邊受力）CD2ar2arI左I右I2）導線框所受磁場力等于CD段導線例：半徑為20cm的圓柱形空間內的均勻磁場B隨時間作線性變化B=kt(k=225/T/s).用分別為30與60的半圓弧形電阻接成圓環同軸地套在圓柱形空間外，下圖為其截面圖。兩半圓弧電阻連接處M,N點用30的直電阻絲MON相連。求：1）電勢差UMN;2)在環外用多大阻值的電阻絲連接M,N點可使直電阻絲MON上電流為零。MN303060KO解：總的電動勢例：半徑為20cm的圓柱形空間內的均勻磁場B隨時間作線性變化MN303060KO306030MNR1)K斷開，電流方向如圖2)K合上，令I2

=0,I4如圖MN303060O306030MNR例：10根電阻同為R的電阻絲連成如圖所示的網絡，試求：A，B兩點間的等效電阻RAB.ARRRRRRRRRRBABCDFE由對稱性知AC與EB，AF與DB電流相同III1I2設：總電流為I,由節點電流關系得其他電流I-I1I2-I1I-I2I1I-I1I-I2-I1由對稱性I-I2=I2由AC間電壓2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)例：10根電阻同為R的電阻絲連成如圖所示的網絡，試求：A，B例：如圖電路，每兩點間實線所示短導線的電阻為1，則A,B兩端點間的電阻為ABCDOABCDO據對稱性可將原電路等效成下圖實線與虛線電路的并聯，兩電路的電阻相同例：如圖電路，每兩點間實線所示短導線的電阻為1，則A,B兩例：無限長密繞螺線管半徑為r，其中通有電流，在螺線管內部產生一均勻磁場B，在螺線管外同軸地套一粗細均勻的金屬圓環，金屬環由兩個半環組成，a、b為其分界面，半圓環電阻分別為R1和R2，且R1>R2,，如圖，當B增大時，求:Ua><=UbabR1

R2abR1R2例：無限長密繞螺線管半徑為r，其中通有電流，在螺線管內部產生例：一金質圓環以其邊緣為支點直立在兩磁極間,環的底部受兩個固定擋的限制,使其不能滑動,現環受一擾動偏離豎直面0.1弧度,并開始倒下.已知B=0.5T,環半徑r1=4cm,截面半徑r2=1mm,金的電導率=4.0107/

·m,設環重F=0.075N,并可以認為環倒下的過程中重力矩時時都與磁力矩平衡，求環倒下所需的時間t.BSN例：一金質圓環以其邊緣為支點直立在兩磁極間,環的底部受兩個BSNBSN例：在光滑的水平面上，有一可繞豎直的固定軸O自由轉動的剛性扇形封閉導體回路OABO,其半徑OA=L，回路總電阻為R，在OMN區域內為均勻磁場B，方向如圖，已知OA邊進入磁場時的角速度為，則此時導體回路內的電流i=___,因此導體回路所受的電磁阻力矩M=__.MNOABdlANOBVdF方向：OA例：在光滑的水平面上，有一可繞豎直的固定軸O自由轉動的剛性扇由于自己線路中的電流的變化而在自己的線路中產生感應電流的現象叫自感現象，這樣產生的感應電動勢叫自感電動勢。自感系數（簡稱自感）單位電流的變化對應的感應電動勢

（普遍定義）由于自己線路中的電流的變化而在自己的線路中產生感應電流的L的值取決于回路的大小、形狀、線圈匝數以及周圍磁介質的分布。單位：亨利（H）di/dt

相同，L越大,εL越大，回路中電流越不容易改變，L→回路本身的“電磁慣性”。自感電動勢總是阻礙回路本身電流的變化。兩個載流回路中電流發生變化時相互在對方回路中激起感生電動勢的的現象叫互感現象，這樣產生的感應電動勢叫互感電動勢?；ジ邢禂礚的值取決于回路的大小、形狀、線圈匝數以及周圍磁介質的分布。例：一半徑為a的小圓線圈，電阻為R，開始時與一個半徑為b（b>>a）的大線圈共面且同心，固定大線圈，并在其中維持恒定電流I，使小線圈繞其直徑以勻角速轉動如圖（線圈的自感忽略）。求：1）小線圈中的電流；2）為使小線圈保持勻角速轉動，須對它施加的力矩3）大線圈中的感應電動勢Iab

解：1)b>>a，小線圈內的磁場近似均勻例：一半徑為a的小圓線圈，電阻為R，開始時與一個半徑為b2）當載流線圈所受外力矩等于磁力矩，線圈勻速轉動3）當小線圈I變化時，大線圈中有互感電動勢通過大線圈磁場在小線圈中的磁通量求互感系數M2）當載流線圈所受外力矩等于磁力矩，線圈勻速轉動3）當小線圈o..o′ABd解：整個磁場可視為圓柱O內的均勻磁場B和空腔內–B的疊加空腔內的感應電場由這兩部分產生r1E1E2r2o..o′ABd解：整個磁場可視為圓柱O內的均勻磁場B和空r1E1E2r2OO′yxOO′

ELr1E1E2r2OO′yxOO例：半徑為R兩板相距為d的平行板電容器，從軸線接入圓頻率為的交流電，板間的電場E與磁場H的相位差為——，從電容器兩板間流入的電磁場平均能流為——。（忽略邊緣效應）0Rd例：半徑