簡諧運動位移公式推導資料講解_第1頁
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簡諧運動位移公式推導問題：質量為m的系于一端固定的輕彈簧(彈簧質量可不計)的自由端。如圖(a)所示，將物體略向右移，在彈簧力作用下，若接觸面光滑，m物體將作往復運動，試求位移x與時間t的函數關系式。圖(a)分析：m物體在彈力F的作用下運動，顯然位移X與彈力F有關，進而由彈簧聯想起胡克定律，但結果只有位移與時間，故要把彈力F替換成關于X與t的量，再求解該微分方程。推導：取物體平衡位置O為坐標原點,物體運動軌跡為X軸，向右為正。設彈力為F,由胡克定律' 八',K為勁度系數，負號表示力與位移方向相反。dvd2^Fk根據牛頓第二定律，m物體加速度a=讓1二讓廣=Hl=?HlX(1)k可令"尸 (2)■??■??■??????????????????■??■??■??■???????????????■??■??■??■??■???????????????■??■??■??■??????、*代入(a),得顯然，想求出位移X與時間t的函數關系式，須解出此微分方程%2 k①求解：對于ML X=0 ，即X''+QX=0(4)(4)式屬可將階的二階微分方程，若設X'=u，消去t,就要把把x”轉化為關于X與t的函數，那么dXndudxduX'=dt==udxdu du2 2 ——(a)u心+①X=0,u〔X X面分離變量再求解微分方程，然后兩邊積分，得dxu二x',x'=\Cl 門廠工J=dl⑹I■11■11■■11■11■■■■■■■■■■■■■■■■11■■11■11I■I■■■■■■■■■■■■■■■■■11■11I■I■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■11I■II■I■■■■■■■■■■' *dx再次分離變量, —⑴上=dt(7)兩邊積分，右邊=t，但左邊較為復雜，經過仔細思考，筆者給出一種求解方法： COSZ運用三角代換，令X二⑴dcosz-sinzdzdz⑺式左邊化為⑴汕】/=⑴汕"=-⑴,兩邊積分，得"=t+C2由此可得，X= t+c/2）,即 X=A（e%（⑺t+0） （其中 A，屮皆為常數此方程即為簡諧運動方程若W=0,X-t為余弦曲線，如圖（b）所示驗證：通過高頻照相機拍攝后發(fā)現m的軌跡為周期擺動的簡諧

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