1第二章空間描述與坐標變換2-1位置姿態表示與坐標系描述

位置描述矢量Ap表示箭頭指向點的位置矢量，其中右上角標“A”表示該點是用{A}坐標系描述的。（2-2）方位（姿態）描述坐標系{B}與機械手末端工具固連，工具的姿態可以由坐標系{B}的方向來描述。而坐標系{B}的方向可以用沿三個坐標軸的單位矢量來表示圖2-3姿態表示（2-1）旋轉矩陣是用坐標系{A}來表示坐標系{B}沿坐標軸方向單位矢量組成的矩陣，同樣我們也可以用坐標系{B}來表示坐標系{A}的單位矢量得到旋轉矩陣2旋轉矩陣的元素可以用坐標系{B}的單位矢量在坐標系{A}單位矢量上的投影來表示

（2-3）

（2-5）對比（2-3）和（2-5）可知兩個旋轉矩陣互為轉置，再根據正交矩陣的性質可得以下關系

（2-6）旋轉矩陣描述坐標系{B}的姿態，矢量描述坐標系{B}的原點位置。3位姿描述固連坐標系把剛體位姿描述問題轉化為坐標系的描述問題。圖2-3中坐標系{B}可以在固定坐標系{A}中描述為（2-7）平移坐標變換圖2-4平移變換BP為坐標系{B}描述的某一空間位置，我們也可以用AP（坐標系{A}）描述同一空間位置。因為兩個坐標系具有相同的姿態，同一個點在不同坐標系下的描述滿足以下關系

（2-8）旋轉坐標變換的任務是已知坐標系{B}描述的一個點的位置矢量BP和旋轉矩陣，求在坐標系{A}下描述同一個點的位置矢量AP。

4旋轉坐標變換

（2-9）將（2-9）式寫成矩陣形式得（參見（2-3）式）（2-10）圖2-5旋轉變換

式（2-10）即為我們要求的旋轉變換關系，該變換是通過兩個坐標系之間的旋轉變換實現的。例2-1圖2.6給出了兩個平面坐標系的位置關系，計算旋轉變換矩陣和同一矢量P在兩個坐標系下表示之間的關系，假設矢量長度為r。5圖2-6平面旋轉變換根據（2-3）式可知旋轉變換矩陣為，根據幾何關系直接計算P在{A}下的表示顯然與上式相同，印證了坐標變換方法的正確性。6復合變換圖2-7復合變換如果兩個坐標系之間即存在平移又存在旋轉關系，如何計算同一個空間點在兩個坐標系下描述的變換關系？為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關系，我們建立一個中間坐標系{C}。

（2-11）（2-12）為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關系，只需坐標系{B}在坐標系下{A}的描述。是4

4矩陣，稱為齊次坐標變換矩陣。可以理解為坐標系{B}在固定坐標系{A}中的描述。72-3齊次坐標變換

坐標變換（2-12）可以寫成以下形式

（2-13）將位置矢量用4

1矢量表示，增加1維的數值恒為1，我們仍然用原來的符號表示4維位置矢量并采用以下符號表示坐標變換矩陣（2-14）（2-15）齊次坐標變換的主要作用是表達簡潔，同時在表示多個坐標變換的時候比較方便。8矢量的點積與叉積規定兩矢量的點積為一標量而兩矢量的交積為另一個與此兩相乘矢量所決定的平面垂直的矢量兩矢量的交積記憶方法92.4齊次變換算子在機器人學中還經常用到下面的變換，如圖2-8，矢量AP1沿矢量AQ平移至的AQ終點，得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的過程稱之為平移變換，與前面不同，這里只涉及單一坐標系。圖2-8平移算子

（2-16）可以采用齊次變換矩陣表示平移變換（2-17）稱為平移算子，其表達式為（2-18）

其中I是3

3單位矩陣。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分別表示坐標系{A}三個坐標軸的單位矢量，則平移算子表示為

10同樣，我們可以研究矢量在同一坐標系下的旋轉變換，如圖2-9，AP1繞Z軸轉

角得到AP2。則圖2-9旋轉算子（2-20）Rot(z,

)稱為旋轉算子，其表達式為（2-21）同理，可以得到繞X軸和Y軸的旋轉算子

11定義了平移算子和旋轉算子以后，可以將它們復合實現復雜的映射關系。變換算子與前面介紹的坐標變換矩陣形式完全相同，因為所有描述均在同一坐標系下，所以不需上下標描述（坐標系）。（2-23）齊次坐標變換總結：

表示坐標系{B}在坐標系{A}下的描述，的各列是坐標系{B}2.它是不同坐標系間的坐標變換。如

3.它是同一坐標系內的變換算子。

齊次坐標變換是復雜空間變換的基礎，必須認真理解和掌握。具體應用的關鍵是理解它代表的是上面三種含義的哪一種，而不是簡單的套用公式！1.它是坐標系的描述。三個坐標軸方向的單位矢量，而表示坐標系{B}原點位置。如圖2-10表示的三個坐標系，已知坐標系{A}、{B}和{C}之間的變換矩陣和位置矢量CP，求在坐標系{A}下表示同一個點的位置矢量AP。122.5復合變換復合變換主要有兩種應用形式，一種是建立了多個坐標系描述機器人的位姿，任務是確定不同坐標系下對同一個量描述之間的關系；另一種是一個空間點在同一個坐標系內順序經過多次平移或旋轉變換，任務是確定多次變換后點的位置。圖2-10復合坐標變換

（2-24）（2-25）

根據坐標變換的定義得（2-26）13(a)Z

Y順序旋轉(b)Y

Z順序旋轉圖2-11旋轉順序對變換結果影響例2-3已知點u=7i+3j+2k，先對它進行繞Z軸旋轉90o的變換得點v，再對點v進行繞Y軸旋轉90o的變換得點w，求v和w。如果只關心最后的變換結果，可以按下式計算計算結果與前面的相同，稱R=Rot(y,90o)Rot(z,90o)為復合旋轉算子。和，求和給定計算14繞固定坐標系變換，矩陣乘的順序“自右向左”如果改變旋轉順序，先對它進行繞y軸旋轉90o，再繞z軸旋轉90o，結果如圖2-11b所示。比較圖2-11a和圖2-11b可以發現最后的結果并不相同，即旋轉順序影響變換結果。從數學角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率，

Rot(y,90o)Rot(z,90o)

Rot(z,90o)Rot(y,90o)。2.6齊次變換的逆變換已知坐標系{B}相對坐標系{A}的描述求坐標系{A}相對坐標系{B}的描述一種直接的方法是矩陣求逆，另一種方法是根據變換矩陣的特點直接得出逆變換。后一種方法更簡單方便。即齊次變換的求逆問題。等價為：已知是坐標系{B}的原點在坐標系{B}中的描述，顯然為零矢量。由（2-28）式得15根據前面的討論，旋轉矩陣關系為

（2-27）將坐標變換用于坐標系{B}的原點得（2-28）（2-29）逆變換可以直接用正變換的旋轉矩陣和平移矩陣表示（2-30）例2-4如圖2-12給出的楔形塊角點坐標系，求齊次坐標變換圖2-12楔形塊角點坐標系16{A}沿xA平移3個單位，再繞新的zA

軸轉180o得{B}因此②{B}沿zB平移2個單位，然后繞yB軸轉90o再繞新xB軸轉150o得{C}因此③{A}沿xA和zA平移3和2，然后繞yA軸轉90°，再繞新xA軸轉-30°得{C}也可以按以下方法計算17

事實上，對于像本例題這種簡單的情況，可以直接利用齊次坐標變換的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標系{C}坐標軸矢量在坐標系{A}下表示得旋轉矩陣，平移矢量為坐標系{C}的原點在坐標系{A}下的矢量表示。182.7變換方程圖2-13表示了多個坐標系的關系圖，可以用兩種不同的方式得到世界坐標系{U}下坐標系{D}的描述。

（2-31）

（2-32）由（2-31）和（2-32）可以得到變換方程圖2-13坐標變換序列可以利用變換方程（2-33）求解其中任意一個未知變換。例如，假設除以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計算在坐標系的圖形表示方法中，從一個坐標系原點指向另一個坐標系原點的箭頭表示坐標系的描述關系。（2-35）（2-36）

19例2-5假設已知圖機械臂末端工具坐標系{T}相對基座坐標系{B}的描述，還已知工作臺坐標系{S}相對基座坐標系{B}的描述，并且已知螺栓坐標系{G}相對工作臺坐標系{S}的描述。計算螺栓相對機械臂工具坐標系的位姿。