專題33空間幾何體的表面積與體積一、關(guān)鍵能力會(huì)計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積.二、教學(xué)建議1.以結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查幾何體的面積體積計(jì)算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.2.與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學(xué)文化”等相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用.3.幾何體的表面積與體積與多個(gè)幾何體結(jié)合是主要命題形式.有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時(shí)結(jié)合面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．三、自主梳理 1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l2.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【知識(shí)必備】1．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝eq\f(a,2)，外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a.2．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).3．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為eq\f(\r(6),3)a，內(nèi)切球半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R＝eq\f(\r(6),4)a.4．直棱柱的外接球半徑可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，可知球心為上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑．四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一空間幾何體的的表面積例1.（2020·新課標(biāo)Ⅰ）已知A、B、C為球O球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為r，球的半徑為R，依題意，得，由正弦定理可得，，根據(jù)圓截面性質(zhì)平面ABC，，球O的表面積.題組訓(xùn)練1.（2021·全國(guó)高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.題組訓(xùn)練2.（2020·江西贛州模擬）在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．4π B.(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π【答案】D【解析】∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱減去一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐的組合體，∴幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.題組訓(xùn)練3.（2021·全國(guó)高考真題（文））已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.考點(diǎn)二直接利用公式求體積例2-1（2021·天津高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)椋裕裕虼耍@兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.例2-2.在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在長(zhǎng)方體中，連接，根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)椋裕瑥亩蟮茫栽撻L(zhǎng)方體的體積為，故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為_(kāi)_______.【答案】eq\f(1,12)【解析】連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因?yàn)镋，H分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EH∥AC，EH＝eq\f(1,2)AC.因?yàn)镕，G分別為B1A，B1C的中點(diǎn)，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形.又點(diǎn)M到平面EHGF的距離為eq\f(1,2)，所以四棱錐M－EFGH的體積為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2．（2018·全國(guó)高考真題（文））已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_________．【答案】8π【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長(zhǎng)，代入公式計(jì)算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3．（2021·全國(guó)高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.考點(diǎn)三割補(bǔ)法求體積例3.(2018·天津高考)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為_(kāi)_______．【答案】eq\f(1,3)【解析】連接BD1，則四棱錐A1-BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，所以VA1-BB1D1D＝VB-A1DD1＋VB-A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3).考點(diǎn)四等體積法求體積例4.如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)【答案】A【解析】易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·河北模擬）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P-ABA1的體積為_(kāi)_______．【答案】eq\f(9\r(3),4)【解析】三棱錐P-ABA1的體積為V三棱錐P-ABA1＝V三棱錐C-ABA1＝V三棱錐A1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4).考點(diǎn)五幾何體的外接球例5.（2021·上海）已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為，且它的六個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為_(kāi)_________.【答案】【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由正弦定理求出的外接圓半徑，再根據(jù)勾股定理，求出球的半徑，根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：如圖所示，設(shè)中心為，連接，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)知：是外接圓半徑，根據(jù)正弦定理得：，得：，又，在中，，故球的體積為：.故答案為:.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2019·全國(guó)Ⅰ卷）已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為()A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法二：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，為的中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·湖北宜昌模擬）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)【解析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則r2＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，所以，圓柱的體積V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故選B.考點(diǎn)六幾何體的內(nèi)切球例6.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2019·天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為．若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)____________．【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·湖南模擬）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．【答案】eq\f(3,2)【解析】設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為_(kāi)_______．【答案】eq\r(2)－1【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，則r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.考點(diǎn)七、表面積、體積的最值例7-1.單位正方體內(nèi)部或邊界上不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四面體體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使四面體的體積最大，則四面體的四個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)該在正方體的表面上，了敘述方便，把此時(shí)的四面體稱為正方體的內(nèi)接四面體，記正方體的外接球?yàn)榍騉，由題意知正方體的內(nèi)接四面體體積的最大值不大于球O的內(nèi)接四面體的體積的最大值，球O的內(nèi)接四面體以正四面體的體積最大，此時(shí)正四面體恰好是正方體的內(nèi)接四面體，正方體為1時(shí)，內(nèi)接正四面體的體積為．故選：C．例7-2.已知正方形的邊長(zhǎng)為，將沿對(duì)角線折起，使平面平面，得到三棱錐．若O為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，則當(dāng)點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，且最大值是________．【答案】【解析】首先證明平面，則即為三棱錐的高，設(shè)，將三棱錐的體積表示為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅问钦叫危院投际堑妊苯侨切危驗(yàn)镺為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)椋裕O(shè)，可得，，所以三棱錐的體積為，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大為.故答案為：；.例7-3.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，，則該三棱錐體積的最大值是__．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)，則，外接圓的半徑為則三棱錐的高為，三棱錐的體積公式為，設(shè)，則，，令，解得，在單增，單減，，所以三棱錐體積最大值為對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2018·全國(guó)高考真題）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3．（2021·浙江期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為_(kāi)________．【答案】【解析】根據(jù)題意可以將此四面體放入一個(gè)長(zhǎng)方體中，則易求四面體高與底面長(zhǎng)的關(guān)系，再根據(jù)體積公式寫出其體積表達(dá)式，最后利用基本不等式即可.【詳解】如圖所示，不妨將四面體放入下圖中的長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的寬為，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，高為.因?yàn)樗拿骟w的外接球半徑為，所以此長(zhǎng)方體外接球半徑為，則，解得，所以四面體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四面體的體積最大值為.故答案為:考點(diǎn)八、截面面積例8.（2021·安徽馬鞍山高三）已知正方體的棱長(zhǎng)為，直線平面，平面截此正方體所得截面中，正確的說(shuō)法是（）A．截面形狀可能為四邊形 B．截面形狀可能為五邊形C．截面面積最大值為 D．截面面積最大值為【答案】D【解析】如圖在正方體中平面，所以平面與平面平行平面與正方體的截面可以是三角形、六邊形但不會(huì)是五邊形和四邊形當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，截面面積有最大，由題可知：，則故選：D對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．（2020·江蘇蘇州期末）已知在球的內(nèi)接長(zhǎng)方體中，，，則球的表面積為_(kāi)_______，若為線段的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的平面截球所得截面面積的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】如圖，因?yàn)榍虻膬?nèi)接長(zhǎng)方體中，，，所以，所以球的表面積，當(dāng)球的截面，即為截面圓圓心時(shí)，球心到截面圓的距離時(shí)最大，此時(shí)截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓的面積最小，而,所以，所以截面圓面積.故答案為：；對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2020·山東省泰安市三模）已知球O是正三棱錐的外接球，，，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是_______.【答案】【解析】如圖，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，正三角形的外接圓圓心為，因?yàn)椋切问钦切危瑸檎切蔚耐饨訄A圓心，所以，因?yàn)椋裕獾茫驗(yàn)檫^(guò)作球的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，所以當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值，在中，，故，截面面積，故答案為：.考點(diǎn)九、非球幾何體的切接例9.（2018·江蘇高考真題）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______．【答案】【解析】分析：先分析組合體的構(gòu)成，再確定錐體的高，最后利用錐體體積公式求結(jié)果.詳解：由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)等于，所以該多面體的體積為對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個(gè)正方體后的剩余部分（正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，高為.打印所用部料密度為．不考慮打印損耗．制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_______.（取）【答案】【解析】設(shè)被挖去的正方體的棱長(zhǎng)為，圓錐底面半徑為，取過(guò)正方體上下底面面對(duì)角線的軸截面，由相似三角形得則，解得．模型的體積為，因此，制作該模型所需材料質(zhì)量約為．故答案為：.考點(diǎn)十、幾何體的展開(kāi)例10．（2021·湖南期末）已知圓柱及其展開(kāi)圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】結(jié)合展開(kāi)圖求出圓柱的底面半徑與高，進(jìn)而結(jié)合體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，根據(jù)展開(kāi)圖得，則，所以圓柱的體積為，故選：D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·河北正定中學(xué)模擬）圓柱的底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么圓柱的側(cè)面積是()A．4πS B．2πSC．πS D．eq\f(2\r(3),3)πS【答案】A【解析】由πr2＝S得圓柱的底面半徑是eq\r(\f(S,π))，故側(cè)面展開(kāi)圖的邊長(zhǎng)為2π·eq\r(\f(S,π))＝2eq\r(πS)，所以圓柱的側(cè)面積是4πS，故選A.考點(diǎn)11、數(shù)學(xué)文化題例11．（2019·全國(guó)高考真題（理））中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】共26個(gè)面.棱長(zhǎng)為.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長(zhǎng)為．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·河北巨鹿中學(xué)）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足為正三棱錐，是的中點(diǎn)，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，為中點(diǎn)易得，再應(yīng)用余弦定理、勾股定理求得，即為直三棱錐，即可求外接球半徑，進(jìn)而求表面積.【詳解】如下圖，若為中點(diǎn)，則，又，∴，又為正三棱錐且側(cè)棱，∴，若，則，，在中，，即，可得，，∴，即為直三棱錐，易得外接球半徑，∴該蹴鞠的表面積為.故選：A對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2．（2021·上海期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國(guó)南北各地的節(jié)令食品，因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和食材也會(huì)不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長(zhǎng)為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個(gè).【答案】16572【解析】根據(jù)題意，利用棱錐的體積公式求得正四面體粽子的體積，進(jìn)而求得答案.【詳解】如圖所示，正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)底面正三角形的中心為，連接，則平面，連接，則，所以，所以一個(gè)粽子的體積為：，由，又由所以1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子個(gè).故答案為：.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.（2021·浙江高一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺．問(wèn)積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】按照?qǐng)D中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為、，直三棱柱的高為，所以，直三棱柱的體積為.兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，直角梯形的面積為，四棱錐的高為，所以，兩個(gè)四棱錐的體積之和為，因此，該“羨除”的體積為.故選：A.鞏固訓(xùn)練單項(xiàng)選擇題1．（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：2．如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以eq\r(2)為半徑作一個(gè)球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為()A．eq\f(3π,4) B．eq\r(2)πC．eq\f(3π,2) D．eq\f(9π,4)答案：C解析：正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，所以所有弧長(zhǎng)之和為3×eq\f(2π,4)＝eq\f(3π,2).故選C.3．已知圓柱的高為2，底面半徑為eq\r(3)，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于()A．4π B．eq\f(16,3)πC．eq\f(32,3)π D．16π答案：D解析：如圖，由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.故這個(gè)球的表面積S＝4πr2＝16π.故選D.4.（2021·全國(guó)高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.5．已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長(zhǎng)為()A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)答案：B解析：由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以O(shè)E＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝eq\r(OP2－OF2)＝2eq\r(3).因?yàn)椤鱋PF∽△DPE，所以eq\f(OF,DE)＝eq\f(PF,PE)，得DE＝2eq\r(3)，AD＝3DE＝6eq\r(3)，AB＝eq\f(2,\r(3))AD＝12.故選B.6．正四棱錐V-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上．若其底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(6)，則此球的體積為()A．72eq\r(2)π B．36πC．9eq\r(2)π D.eq\f(9π,2)答案：B解析：由題意知正四棱錐的高為eq\r(2\r(6)2－2\r(2)2)＝4，設(shè)其外接球的半徑為R，則R2＝(4－R)2＋(2eq\r(2))2，解得R＝3，所以外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×33＝36π.故選B.多項(xiàng)選擇題7．下列說(shuō)法正確的是()A．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面B．圓臺(tái)的任意兩條母線延長(zhǎng)后一定交于一點(diǎn)C．有一個(gè)面為多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫作棱錐D．若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐不可能是正六棱錐答案：ABD解析：在A中，用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面，故A正確；在B中，由圓臺(tái)的概念知圓臺(tái)的任意兩條母線延長(zhǎng)后一定交于一點(diǎn)，故B正確；在C中，依照棱錐的定義，其余各面的三角形必須有公共的頂點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；在D中，若六棱錐的底面邊長(zhǎng)都相等，則底面為正六邊形，由過(guò)底面中心和頂點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)一定大于底面邊長(zhǎng)，故D正確．8．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則()A．平面BCF⊥平面ADFB．EF⊥平面DAFC．△EFC為直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶4答案：AD解析：因BF⊥AF，BF⊥DA，所以BF⊥平面DAF，所以平面BCF⊥平面ADF，由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為V四棱錐F-ABCD，V三棱錐F-CBE.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，F(xiàn)G?平面ABEF，所以FG⊥平面ABCD.所以V四棱錐F-ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×FG＝eq\f(2,3)FG，V三棱錐F-BCE＝V三棱錐C-BEF＝eq\f(1,3)×S△BEF×CB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×FG×1×1＝eq\f(1,6)FG，由此可得V三棱錐C-BEF∶V四棱錐F-ABCD＝1∶4.三、填空題9．已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)_______.答案：eq\f(4,3)π解析：依題意可知正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R，則2R＝eq\r(12＋12＋（\r(2)）2)＝2，解得R＝1，所以V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3).10．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為_(kāi)_______．答案：(2－eq\r(2))a解析：由題意知，當(dāng)球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時(shí)球的半徑最大．作出其側(cè)視圖，如圖所示．易知球的半徑r＝(2－eq\r(2))a.11．若正三棱柱ABC-A′B′C′的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為1，其頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積為_(kāi)_______．答案：eq\f(19π,3)解析：如圖，H′，H分別