電動力學(xué)重點知識總結(jié)(期末復(fù)習(xí)必備)靜電場的基本方程可以用微分形式和積分形式表示。微分形式為$\nabla\times\mathbf{E}=0$，積分形式為$\oint\mathbf{E}\cdotd\mathbf{l}=-\int_S(\nabla\cdot\mathbf{E})dS=\frac{1}{\epsilon}\int_V\rho(\mathbf{x'})dV'$。這些方程反映了電荷激發(fā)電場及電場內(nèi)部聯(lián)系的規(guī)律性，物理圖像是電荷是電場的源，靜電場是有源無旋場。靜磁場的基本方程也可以用微分形式和積分形式表示。微分形式為$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}$，積分形式為$\oint\mathbf{B}\cdotd\mathbf{l}=\muI$。這些方程反映了靜磁場為無源有旋場，磁力線總閉合的規(guī)律性。它的激發(fā)源仍然是運動的電荷。需要注意的是，靜電場可以單獨存在，而穩(wěn)恒電流磁場不能單獨存在（永磁體磁場可以單獨存在，且沒有宏觀靜電場）。電荷守恒實驗定律表明了電荷的守恒性質(zhì)，即$\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partialt}=0$。穩(wěn)恒電流的情況下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$。穩(wěn)恒電流的情況下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=n(\mathbf{J}_s-\mathbf{J})$。真空中的麥克斯韋方程組包括四個方程，分別是$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partialt}$，$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}+\mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partialt}$，$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$，$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。這些方程揭示了電磁場內(nèi)部的矛盾和運動，即電荷激發(fā)電場，時變電磁場相互激發(fā)。微分形式反映點與點之間場的聯(lián)系，積分方程反映場的局域特性。介質(zhì)中的麥克斯韋方程組包括八個方程，分別是$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partialt}$，$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partialt}$，$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$，$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$，$\mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}+\mathbf{P}$，$\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}+\mu\mathbf{M}$，$\mathbf{P}$是極化強度，$\mathbf{M}$是磁化強度。這些方程是介質(zhì)中普適的電磁場基本方程，可用于任意介質(zhì)，當(dāng)介質(zhì)為真空時，回到真空情況。邊值關(guān)系一般表達(dá)式包括四個方程，分別是$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\sigma$，$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0$，$\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0$，$\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{K}$。理想介質(zhì)邊值關(guān)系表達(dá)式是在理想介質(zhì)的情況下得出的，包括$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=0$，$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0$，$\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0$，$\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=0$。已刪除明顯有問題的段落）1.靜電場的標(biāo)勢靜電勢是描述電場的一種方式，可以通過電場的梯度來計算。電勢差可以用來描述兩點之間的電勢差異，可以通過路徑積分來計算。泊松方程和拉普拉斯方程分別適用于均勻介質(zhì)和無自由電荷分布的均勻介質(zhì)中的靜電場。2.電勢滿足的方程泊松方程和拉普拉斯方程是描述靜電場中電勢的方程。在介質(zhì)分界面和導(dǎo)體表面上，電勢有特定的邊值關(guān)系。在介質(zhì)分界面上，電勢和介電常數(shù)有關(guān)；在導(dǎo)體表面上，電勢的法向?qū)?shù)等于表面電荷密度除以介電常數(shù)。3.靜電場的能量靜電場的能量可以用能量密度和體積積分來計算。能量密度是電場和電位移的乘積。在靜電場情況下，電場能量不僅分布在電荷區(qū)，也存在于整個場中。4.唯一性定理唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求電場強度指明了方向。無論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。5.鏡像法鏡像法是一種計算靜電場的方法，可以用假想點電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。鏡像法適用于區(qū)域中有少許幾個點電荷，導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對稱性，并且給定邊界條件的情況下。B=0，物理意義：磁場的旋度等于零，即磁場是一個無旋場。磁通量只與曲面的邊界有關(guān)，與曲面的具體形狀無關(guān)。每點A沒有直接的物理意義，但沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為邊界的任一曲面的磁通量。滿足的方程為：$\int_LA\cdotdl=\int_SB\cdotdS$，其中$\nablaA=-\muJ/2$。穩(wěn)恒電流磁場矢勢滿足（矢量）泊松方程，與靜電場中的形式相同，且為無源有旋場。矢勢的形式解為$A=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{J(\vec{x}')}{r}dV'$，其中$r$為$\vec{x}$與$\vec{x}'$之間的距離。解出磁場為$B=\frac{\muJ(\vec{x}')\timesr}{4\pir^3}$。穩(wěn)恒電流磁場的能量為$W=\int_V\frac{A\cdotJ}{2}dV$，電流分布在外磁場中的相互作用能為$W_{i}=\int_V(A\cdotJ_e)dV=\int_V(A_e\cdotJ)dV$。引入磁標(biāo)勢的條件為$\oint_LH\cdotdl=\int_S(\nabla\timesA)\cdotdS=0$，在電流為零區(qū)域引入磁標(biāo)勢可能非單值。自由空間電磁場的基本方程為$\nabla\timesE=-\frac{\partialB}{\partialt}$，$\nabla\timesH=\frac{\partialD}{\partialt}$，$\nabla\cdotD=\rho$，$\nabla\cdotB=0$。真空中的波動方程為$\nabla^2E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partialt^2}=\frac{\omega^2}{c^2}\epsilonE$，其中$\omega$為角頻率，$c$為光速，$\epsilon$為介電常數(shù)。平面波解的形式為$E(x,t)=E_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omegat)}$，其中$\vec{k}$為波矢，$\omega$為角頻率。橫波特性（TEM波）指電場和磁場在垂直傳播方向上振動的電磁波，平面電磁波在無界空間中傳播時就是典型的TEM波。規(guī)范變換指不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系，規(guī)范不變性是在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動力學(xué)方程保持不變的性質(zhì)。具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。庫侖規(guī)范的規(guī)范條件為$\nabla\cdotA=0$，相應(yīng)的規(guī)范變換為$A'=A+\nabla\psi$，$\phi'=\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\psi}{\partialt}$。洛倫茲規(guī)范是電磁場的一種規(guī)范。規(guī)范條件為：$\nabla\cdot\mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partialt}=0$和$\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partialt^2}=-\rho/\epsilon_0$，其中$\mathbf{A}$是矢勢，$\phi$是標(biāo)勢，$\rho$是電荷密度，$\epsilon_0$是真空介電常數(shù)。在這個規(guī)范下，電磁場的達(dá)朗貝爾方程為$\nabla^2\mathbf{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partialt^2}=-\mu_0\mathbf{J}$，其中$\mathbf{J}$是電流密度，$\mu_0$是真空磁導(dǎo)率。這個方程反映了電磁場的波動性，而且標(biāo)勢和矢勢的方程具有高度的對稱性且相互獨立。根據(jù)連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢公式，電勢$\phi(\mathbf{x},t)$可以表示為$\phi(\mathbf{x},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho(\mathbf{x}',t-r/c)}{r}dV'$，其中$r=|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$是兩點之間的距離，$c$是光速。此外，還有一種特殊的勢函數(shù)，稱為推遲勢。推遲勢的值在空間點$\mathbf{x}$和時刻$t$取決于時刻$t-r/c$的電荷和電流分布。這種勢函數(shù)的物理意義是電磁相互作用需要時間。狹義相對論有兩個基本原理。第一個是相對性原理，即一切物理定律在所有的慣性系中都具有相同形式；一切慣性系都等價，不存在特殊的絕對的慣性系。第二個是光速不變原理，即真空中光速相對任何慣性系沿任何一個方向大小恒為$c$，且與光源運動速度無關(guān)