2021年全國百強名校“領軍考試”高考數學聯考試卷（理科）（5月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.復數器在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合”={用-2<%<2},7={%|--2%-3<0},則集合"。7=（）

A.（x\x<-2}B.{x\x>3]

C.{x|-1<x<2}D,{x|2<x<3}

3.正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面的射影落在底面中心的四棱錐）P-ABC。底面的四個頂點

A,B,C,。在球。的同一個大圓上，點P在球面上，如果球。的表面積是4兀，則四棱錐P-ABCC

的體積為（）

A.TB.|C.2D.i

4.已知平面向量五，3滿足|五|=5花|=1,且|2方+3|=|五+方|，貝囁與3的夾角為（）

AjB.gC.vD.?

6336

5.如圖，已知雙曲線C：條一，=l（a>0,b>0）的右頂點為A,0為坐標

原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P,Q,若ZP4Q=全

且|而|=3|而|，則雙曲線C的離心率為（）

A.夜

4

B.在

2

C.在

4

D.在

2

6.已知曲線y=ex-^x2lnx+%-不存在與直線y=一]垂直的切線，則實數a的取值范圍是

（）

A?[丁，+8]B.,+8]C.（-00,—）D.（-00,^—）

7.為得到函數朋=滕惻翦需開一j的圖象，只需將函數解=域如既富的圖像

k孫

ST

A.向左平移三個長度單位B.向右平移至個長度單位

期籟

C.向左平移％個長度單位D.向右平移望個長度單位

篇鳴

8.(/一2)(%+2)5的展開式中含—的項的系數為()

A.-20B.60C.70D.80

9.在數列｛5｝中，%=1,a=^-(nGNf),則03的值為()

n+1an+/

A.IB.IC.ID.j

10.已知/(x)是定義在R上的偶函數，滿足f(x+2)=f(x),當％E[0,1]時，f(x)=%3+%,若。=

f(log2^),b=f(log2^,c=/(2019),則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<a<b

11.已知ab>0,be>0,則直線ax+by=c通過()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

12.一平面截一球得到直徑為2、「丐cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm,則該球的體積是()

A.127rc7n3B.36ncm3C.64、用ncm3D.1087rcm3

二、單空題(本大題共4小題，共20.()分)

y>0

13.已知實數x,y滿足約束條件x+y<3,則x+2y的最大值為.

.y<2x-1

14.等差數列｛即｝中，其前n項和為%滿足：的>0,d<0,S7=S9,則前n項和又取最大值時項數

律的取值為.

15.已知隨機變量f的數學期望E(f)=0.05且4=+1,則以力等于.

16.過拋物線y2=軌的焦點F的直線交該拋物線于4B兩點.若|力?|=3,

x=-l

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.在『47c中，角48,C所對的邊分別為a,分c,且a>b>c.已知sinAcosB-cosCsinB=sin2B—

sinA.

（I）求證：a,b,c成等差數列；

（II）若b=5,sinB=辿，求a,c的值.

14

18.已知梯形BFEC如圖1所示，其中8F〃EC,EC=3,BF=2,四邊形ABC。是邊長為1的正方形，

沿4。將四邊形EZMF折起，使得平面EZMF_L平面4BCD,得到如圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面4EC1平面BDE；

19.佛山某中學高三（1）班排球隊和籃球隊各有：強名同學，現測得排球隊［胸人的身高（單位：麗）分

別是：：m、:1胃1、：m、靖、血、：n頓、螺、?-籃球隊：M人的身高（單

位：同岫）分別是：域I、遐M雌、：n卷、嬲it、1船、3赧、Wv:1麓、雌.

排球隊籃球隊

（I）請把兩隊身高數據記錄在如圖所示的莖葉圖中，并指出哪個隊的身高數據方差較小（無需計算）;

(n)利用簡單隨機抽樣的方法，分別在兩支球隊身高超過:iw額麗的隊員中各抽取一人做代表，設抽

取的兩人中身高超過:n同感物的人數為盍'，求盍’的分布列和數學期望.

20.已知拋物線y2=4缶的焦點為橢圓盤+《=l(a>b>0)的右焦點，且橢圓的長軸長為4,左

右頂點分別為4B.經過橢圓左焦點的直線［與橢圓交于C、D兩點.

(I)求橢圓標準方程；

(口)記△ABD與AABC的面積分別為Si和S2，且圖-$21=2,求直線，的方程;

(皿)若N(%2，y2)是橢圓上的兩動點，且滿足+2yly2=0，動點P滿足麗=OM+

2而(其中。為坐標原點)，求動點P的軌跡方程.

21.己知曲線f(x)=QX+blnx-1在點(1,/(1))處的切線為直線y=0.

(I)求實數a,b的值；

2

(口)設函數9(乃=5一皿+771/(；0，其中m為常數，求g(x)的單調區間.

22.選修4-4：坐標系與參數方程：

在以。為極點的極坐標系中，直線，與曲線C的極坐標方程分別是pcos(8+9=3魚和ps譏2。=

8cos。，直線］與曲線C交于點A、B,求線段力B的長.

23.設函數/(久)=x—a(x+l)ln(x+1),(%>—l,a>0)

(I)求/(、)的單調區間；

(H)當a=l時，若方程/"(x)=t在［一11］上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；

(HI)證明：當m>n>0時，(1+m)n<(1+n)m.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：詈=需恐=二羅=一"》，其在復平面內對應點(一表|)，位于第二象限.

故選：B.

根據己知條件，結合復數的乘法原則和復數的幾何含義，即可求解.

本題考查了復數的幾何含義，以及復數代數形式的乘法運算，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題.

2.答案：C

解析：解：對于集合N：x2-2x-3<0,化為(x-3)(x+l)<0,解得一l<x<3.

/V={%|—1<x<3}.

二集合MnAf={x|—2<x<2}n[x|-1<x<3}={%|—1<x<2).

故選C.

利用一元二次不等式的解法和交集的運算法則即可得出.

本題考查了一元二次不等式的解法和交集的運算法則，屬于基礎題.

3.答案：B

解析：解：如圖，正四棱錐P-4BCD底面的四個頂點4,B,C,D在球。的同

2

一個大圓上，點P在球面上，「。,底面480P0=R,SABCD=2R,/2二1：'、、/

⑵:廠爻

因為球。的表面積是4兀，所以R=1卜匚-2上/

所以四棱錐P-4BC。的體積為]x2x12X1=|,，

故選:B.

由題意可知，2。，平面48。。，并且是半徑，由球。的表面積是4兀，求出半徑，然后求出四棱錐P-

4BCD的體積.

本題考查球的內接體問題，球的表面積、體積，考查學生空間想象能力，是基礎題.

4.答案:C

解析：

對|2五+9|=舊+3|兩邊平方進行數量積的運算即可求出五7=-|，然后即可求出cos<乙方〉的

值，從而可得出弓與方的夾角.

本題考查了向量數量積的運算，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，考查了計算能力，屬于基

礎題.

解：???|方|=1,曰|=3,|2有+方|=|有+川,

(2a+b)2=(a4-K)2?

4a2+b+4a-b=a2+b4-2a-

4+94-4a-b=1+9+2方?至，

Aa-K=-

2

Acos<a,b>=—=r==——，

同聞1X32

且<a,b>6[0,TI],

五與石的夾角為拳

故選：C.

5.答案：D

解析：解：???NP4Q=MAP=AQ,

???△P4Q是等邊三角形，

設圓4的半徑為丁，

過4作48LPQ,垂足為B,則B為PQ的中點，

??.PB=",AB=—r,

22

v0Q=30P,:.OB=20P=r,

???tanZ-AOB=—=—?

OB2

又漸近線方程為y=?x,

：B=即b=^a，

a22

cVa2+d2\/7

:?e=-=--------=—>

aa2

解法二：由于雙曲線的離心率e>1,排除4,B,C,

故選O.

過4作/B_LPQ,設圓4半徑為r,三角形ZPQ是等邊三角形，用r表示出08,48計算漸近線的斜率,

從而得出a,b的關系得出離心率.

本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題.

6.答案：C

x2

解析：解：函數y=e-^xlnx4-%-的導數為/，(%)=靖一xlnx-+1-2ax,

設切點為(s,t),即有切線的斜率為e$-slns-^s+1-2as,

若曲線不存在與直線y=-：T垂直的切線，

則關于s的方程e$-sins-+1-2as=2無正實數解，

即^——1ns—-=-+2a,

SS2

可設g(s)=y-Zns-1(s>0),

可得g'(s)=_工+2=K：J)，

2

s乙sss乙

當s>l時，s-1>0,es-l>0,則g'(s)>0,g(s)遞增；

當0<s<l時，s-1<0,es-1>0,則g'(s)<0,g(s)遞減.

則g(s)在s=1處取得極小值，且為最小值e-1,

則e-1>|+2a,

解得a<等.

4

故選：C.

求出函數的導數，設切點為(s,t),求得切線的斜率，若曲線不存在與直線y=垂直的切線，則

關于s的方程e，-sins-(s+1-2as=2無正實數解，即?—bis-/=：+2a,可設g(s)=(—

/ns-i(s>0),求得導數和單調區間、極小值和最小值，即可得到a的范圍.

本題考查導數的兒何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處的切線的斜率，同時考查兩直線

垂直的條件，運用構造函數法，求得最小值是解題的關鍵.

7.答案：A

解析：試題分析：將解=岫③雙圖像向左平移后得

般=端球普言i=m.i竊丑學：=端舐午1片孕=雄/舐存?">所以4項正確

k舞》\貓/k營以k黑

考點：三角函數圖像平移

點評：將解=幽腳箭湍向左平移解時軋蜀擷4個單位得簟=或就蒯鼻陰破|，向右平移辭家前豁密9個單位

得展=遙!叫修我［穿一班］

8.答案：B

解析：

先求(x+2)5的展開式的通項公式，進而求得結論.

本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬基礎題.

解：因為。+2)5的展開式的通項公式為：?r+i=cr,xS-r.2r.

令5-r=2即r=3,可得好的系數為：23.磨=80,此時對應的含的項的系數為：80x1=80；

令5-r=4即r=l,可得P的系數為：2】?廢=10,此時對應的含X,的項的系數為：10x(-2)=

-20；故(一一2)(尤+2)5的展開式中含/的項的系數為：80-20=60.

故選：B.

9.答案：D

neN，

解析：解：Tai=l,an+1=777(')>

???數列｛《｝為等差數列，首項為1，公差為"

an/

、

,?1--=Yl+,-1(/n-l3)=7—1+1

"。3=

故選：D.

對廝+1=告(>€7*),兩邊取倒數，再利用等差數列的通項公式即可得出.

本題考查了“取倒數法”、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

10.答案:B

解析:解：根據題意，滿足/(x+2)=f(x),即函數f(x)是周期為2的周期函數,

則a=/(2019)=/(I+2x1007)=/⑴，b=/(log24.1)=/(log24.1-2)=/(log??),

又由/'(x)為偶函數，則/(Iog2》=/(Tog2》=/(10g2》，

當xe［0,1］時，/■(%)=X3+X,易得/'(x)在［0,1］上為增函數，又由0<log2?<log2：<1，

則有7<a<c；

故選：B.

根據題意，分析可得函數/(x)是周期為2的周期函數，據此可得a=f(2019)=f(l+2x1007)=

/⑴,b=/'(log24.1)=/(log24.1-2)=/(logz?)，結合函數的奇偶性可得/'(log?》=/(Togzg)=

/(log2^),結合函數解析式可得f(x)在［0,1］上為增函數，據此分析可得答案.

本題考查函數的奇偶性與周期性的綜合應用，注意分析函數的周期，屬于基礎題.

11.答案：B

解析：解：直線ax+by=c化為y=-￡%+%.

vab>0,be>0,

???一￡<0,^>0,

bb

???直線通過第一、二、四象限.

故選：B.

利用直線斜率與截距的意義即可得出.

本題考查了直線斜率與截距的意義，屬于基礎題.

12.答案:B

解析：試題分析：由題意可知，球的半徑/?=J(y/5)2+22=3(cm)，

44

所以球的體積P="TT/?3=—yrx33=36ji(cm3).

13.答案：y

y>0

解析：解：作出實數％,y滿足約束條件x+yW3對應的

,y<2x-l

平面區域，

由z=無+2y,得y=-1x+gz,

平移直線y=—Tx+2z，由圖象可知當直線經過點A時，

直線y=+gz的截距最大，此時z最大.

'%+y=得相》

y=2x—1

此時Z的最大值為z=葭,

故答案為:--

作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求Z的最大值.

本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法.

14.答案：8

解析：解：???等差數列｛冊｝中，其前n項和為%滿足：的>0，d<0,S7=S9,

?*,S9—S7—CLQ+Q9—0?

**?Q.Q>0,Q9V0,

vd<0,

??.數列｛cm｝是單調遞減數列，

n=8時前n項和Sn取最大值.

故答案為：8.

由己知條件推導出。8+。9=0,從而得到判斷數列的前8項為正數，從第9項開始為負數，由此能求

出結果.

本題考查等差數列的前n項和取最大值時項數n的求法，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的

合理運用.

15.答案：1.25

解析：解：由題設知：Ff=0.05,

:4=+1,

???E(5f+1)=5Ef+1=5x0.05+1=1.25.

故答案為：1.25.

由離散型隨機變量的數學期望的性質E(5f+1)=5Ef+1,求出隨機變量〃=5f+1的數學期望.

本題考查離散型隨機變量的數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.

專

16.答案：-

解析：設乙4尸％=火0<。<兀)，|8?|=小，則%!=l+3cos。，

xB=1+mcos(n-0)=1—mcosO.又y2—4x的準線，為x=-1,

,：1L

\AF\=1+xA=2+3cos8,因此3=2+3cos3,cos0=—.

翼

限警

m=1+xB,則=2-zncosO,所以|BF|=m=-------;.

17.答案：解：(I)證明：sinAcosB-cosCsinB=sin2B—sinA=2sinBcosB-sinA=sin2B—

sin(B+C),

^VXsinAcosB—cosCsinB=sin2B-sinBcosC-cosBsinC,

整理可得sbiAcosB=2sinBcosB—sinCcosB,因為a>b>c,所以cosBH0,

所以sizM=2sinB—sinC,即2sinB=sinA+sinC,

由正弦定理可得2b=Q+c,

即證0b,c成等差數列.

(11)因為5譏8=當，B為銳角，所以cosB="，

因為b=5,由(I)可得a+c=10,

由余弦定理可得爐=a2+c2—2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB,

所以52=IO?-2ac-2ac?°,即ac=21,Q+C=10,a>c,

14

解得a=7,c=3

解析：(I)由力+B+C=7T,所以s出4=sin(B+C)，再由兩角和的正弦公式展開即2倍角公式可得

sinAcosB=2sinBcosB—sinCcosB,再由題意cosB。0,可得2sinB=sinA+sinC,再由正弦定理

可得a,b,c成等差數列；

(口)由(I)及題意可得a+c的值，再由余弦定理可得QC的值，由Q>C可得a,c的值.

本題考查三角形內角和等于兀的應用及兩角和的正弦的應用及正余弦定理的應用，屬于中檔題.

18.答案：(1)???平八z

面EDAF1平Eyk

nn\

面ABCD,DEu平/,；\\

ffiEDAF,

平面EDAFn平

ffiABCD=AD,

DE1AD,

DE_L平面ABCD,

???ACu平面ABC。，?■?DEIAC,

,?,四邊形ABCD是正方形，AC1BD,

???DE.BDu平面8DE,DECBD=D,-.ACl￥ffiBDE,

???4Cu平面4CE,二平面4EC_L平面BOE.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

平面BEF的法向量元=（1,1,1），E（0,0,2）,

設H（a,a,0）,EF=（a,a,-2）＞

|cos（兩元＞|=|翥島|=等

解得a=；或￡1=：（舍），

坨修，。）

解析：（1）根據平面與平面垂直的判定定理證明；（2）用向量數量積計算直線與平面成角的正弦值,

列方程求解.

本題考查了直線與平面的位置關系，考查了直線與平面成角問題，屬于中檔題.

19.答案：（I）籃球隊的身高數據方差較小；（II）.瑟.的分布列詳見解析，期望值為登.

醐

解析：試題分析：（I）用中間的數字表示百位數和十位數，兩邊的數字表示個位數，莖按從小到大

的順序（或從大到小的順序）從上向下列出，共莖的葉一般按從大到小（或從小到大）的順序同行列出,

從莖葉圖中可以看出籃球隊身高數字較為集中，故方差較小；（II）排球隊中超過:H頓間岫的有日人,

超過:n繆麗的有號人，籃球隊中超過:1倒阪吟的有您人，超過：n暢.的有緣人，所以,度'的所有可

能取值為霸I鼠分別求其取相應值的概率，寫出就.的分布列，進而求1r的期望.

試題解析：（I）莖葉圖如圖所示，籃球隊的身高數據方差較小.

（II）排球隊中超過入例假海I的有4人，超過加麗的有圈人，籃球隊中超過:nil?*.的有譽人，超過

N滿題搬的有既人，所以，密的所有可能取值為吸工既，則

,嚶'=哪=

所以，晶’的分布列為

01翦

麗甌

91*11燃

所以國的數學期望,踹'=1徽二普以'iSsg—=

嬲撤巽

排球隊籃球隊

03689

258

9

考點：1、莖葉圖：2、方差；3、離散型隨機變量的分布列和期望.

20.答案：解：(I)由題設可知：因為拋物線必=4缶的焦點為(短0),橢圓橙+3=l(a>b>0)

的右焦點，可得c=&，且橢圓的長軸長為4,所以橢圓中的a=2,=魚.

故橢圓的標準方程為：亡+g=1.

42

、、(江+旺=1

(H)方法一：設直線&x=my—V2,42,

x=my—y/2

x=my—四代入橢圓方程得(蘇+2)y2—2\[2my-2=0,

=

設>1(—2,0)B(2,0)y1+y2

于是由一S2I=：X4x||乃|一四||=2x仇+為=2X黜=2

所以m=+V2

故直線1的方程為x±V2y+V2=0

方法二：當直線，斜率不存在時，直線方程為％=-近，

此時△力BD,△48C面積相等,|S[-S2|=0

當直線2斜率存在(顯然k豐0)時，設直線方程為y=k(x+V2)(k豐0)

設eg%),D(x2,y2)

「任+”=1

和橢圓方程聯立得到42，消掉y得(1+2k2)彳2+4&k2x+4/(2—4=0

y=k(x+V2)

顯然△>(),方程有根，且“1+冷=*^

12l+2fc2

此時IS】-Szl=1211y2I-|%||=21y2+%l=21Mxi+?+fc(x2+V2)|

=2|/c(x1+x2)+2V2k|=^

因為出,0,上式率=2,

l+2fc2

解得k=土孝，所以直線方程為久±&y+近=0.

(HI)設P(4,yp),N(X22)，

由而=麗+2而可得：

廠飛”①，

(yp=71+2y2J

x62+2y/2=0…②，M,N是橢圓上的點，

故淄+2yf=4,

%2+2犬=4,

2

由①②可得：箱+2據=(xx+2X2)+2汕+2y2)2=后+2資+4(據4-2y(),

故后+2環=20,即點P的軌跡方程是1+1=1.

解析：(I)通過拋物線的焦點，求出橢圓中的c,橢圓的長軸為4得a,然后求解橢圓的標準方程.

(H)方法一：設直線1：x=my-夜，代入橢圓方程，設CQi，%)、O(x2,y2),通過面積關系求出m,

然后求解直線方程.

方法二：當直線，斜率不存在時，推出AABD,△ABC面積相等，當直線/斜率存在(顯然k*0)時，

設直線方程為y=卜(％+魚)(卜H0),設C(X[,yi),。(無2,丫2)和橢圓方程聯立，通過|Si-S2l=

1211y21-1%1求出k=土爭得到直線方程.

(HI)設P(xp,yp),MQi，yi),NQ?,%，利用訶=西?+2麗，結合+2%>2=。…②，M,N是

橢圓上的點，推出蜉+2據=20,可得點P的軌跡方程.

本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，軌跡方程的求法，弦長公式的應用，考查分析問題解

決問題的能力，轉化思想的應用.

21.答案：解：(I)/(x)=ax+blnx-1,定義域為(0,+8),

r(x)=a+5

由曲線f(x)=ax+blnx-1在點(14(1))處的切線為直線y=0,

可得得1)1°二=>解得｛廣11；

(/⑴=Q+b=03=—1

(口)由(1)可得，/(x)=x-Znx-l,

故9(%)=y—mx+m/(x)=-%2—minx—m,

g(x)的定義域為(0,+8),g，(x)=x_?=?,

當?n<0時，g'(%)>0在％G(0,+8)上恒成立，

即g(%)在(0,+8)上單調遞增；

當?n>0時，令g'(x)=0,解得x—訴i或x——7^(舍)，

①當x6(