§1

連續(xù)函數(shù)的概念一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)二、間斷點(diǎn)的分類(lèi)返回定義1由定義1知，我們是通過(guò)函數(shù)的極限來(lái)定義連續(xù)一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性性的，換句話說(shuō)連續(xù)就是指例如：這是因?yàn)橛秩纾汉瘮?shù)極限由極限的定義,定義1可以敘述為:對(duì)于任意正數(shù)e,這是因?yàn)榇嬖赿>0,這樣就得到函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可改寫(xiě)為連續(xù)性的另外一種表達(dá)形式.定義2如果對(duì)任意的存在當(dāng)時(shí)應(yīng)的函數(shù)(在

y0處)的增量為狄利克雷函數(shù).證注意:上述極限式絕不能寫(xiě)成例1由上面的定義和例題應(yīng)該可以看出:函數(shù)在點(diǎn)x0類(lèi)似于左、右極限，下面引進(jìn)左、右連續(xù)的概念.要求這個(gè)極限值只能是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值.極限存在是函數(shù)連續(xù)的一個(gè)必要條件)，而且還x0

連續(xù)，那么它在點(diǎn)x0

必須要有極限(這就是說(shuō),有極限與在點(diǎn)x0

連續(xù)是有區(qū)別的.首先f(wàn)(x)在點(diǎn)定義3很明顯,由左、右極限與極限的關(guān)系以及連續(xù)函數(shù)0既是左連續(xù)，又是右連續(xù).點(diǎn)x定理4.1f在有定義，若的定義可得：例2討論函數(shù)解因?yàn)辄c(diǎn)擊上圖動(dòng)畫(huà)演示綜上所述,所以,二、間斷點(diǎn)的分類(lèi)定義4定義.若f在點(diǎn)x0無(wú)定義,或者在點(diǎn)x0有定義但卻由此,根據(jù)函數(shù)極限與連續(xù)之間的聯(lián)系,如果f在點(diǎn)x0

不連續(xù),則必出現(xiàn)下面兩種情況之一:或不連續(xù)點(diǎn).在該點(diǎn)不連續(xù),那么稱(chēng)點(diǎn)x0為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)等于f(x0).根據(jù)上面的分析,我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類(lèi)：1.可去間斷點(diǎn):

若一個(gè)可去間斷點(diǎn).注x0是

f

的跳躍間斷點(diǎn)與函數(shù)

f在點(diǎn)

x0是否有定點(diǎn).3.第二類(lèi)間斷點(diǎn):若

f在點(diǎn)x0的左、右極限至少可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).義無(wú)關(guān).有一個(gè)不存在,證因?yàn)槔?所以并且是的一個(gè)可去間斷點(diǎn).注1.例4討論函數(shù)在x=0處是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類(lèi)型的2.若點(diǎn)x0是的可去間斷點(diǎn),那么只要重新定

x0

連續(xù).間斷點(diǎn)？所以

f(x)在

x=0處右連續(xù)而不左連續(xù),從而不解因?yàn)閿帱c(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn).連續(xù).既然它的左、右極限都存在，那么這個(gè)間例5解因?yàn)橛蓺w結(jié)原理可知，均不存在，點(diǎn)？三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)若函數(shù)f在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱(chēng)f為I例如,以及都是R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù)是區(qū)間[-1,1]上的連續(xù)函數(shù),在處的連續(xù)分別指右連續(xù)和左連續(xù).數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)是指相應(yīng)的左連續(xù)或右連續(xù).上的連續(xù)函數(shù).對(duì)于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點(diǎn),函如果函數(shù)f在[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類(lèi)的,復(fù)習(xí)思考題能要添加或改變某些分段點(diǎn)處的值).是由若干個(gè)小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成(當(dāng)然可一個(gè)按段連續(xù)函數(shù).從幾何上看,按段連續(xù)曲線就并且不連續(xù)點(diǎn)只有有限個(gè),那么稱(chēng)f是[a,b]上的§2

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在本節(jié)中,我們將介紹連續(xù)函數(shù)的局一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)四、一致連續(xù)性三、反函數(shù)的連續(xù)性二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這些性質(zhì)是具有分析修養(yǎng)的重要標(biāo)志.部性質(zhì)與整體性質(zhì).熟練地掌握和運(yùn)用返回一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指:連續(xù)(左連續(xù)或右連續(xù)),則可推知f

在點(diǎn)

x0

的某號(hào)性、四則運(yùn)算的保連續(xù)性等性質(zhì).個(gè)局部鄰域(左鄰域或右鄰域)內(nèi)具有有界性、保故|f(x)|的一個(gè)明確的上界.證注意:我們?cè)谧C明有界性時(shí),而不是用術(shù)語(yǔ)定理4.2（局部有界性）則定理4.3（局部保號(hào)性）則對(duì)任意一個(gè)滿足證注在具體應(yīng)用保號(hào)性時(shí),我們經(jīng)常取

于是證得定理4.4（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算）

此定理的證明可以直接從函數(shù)極限的四則運(yùn)算得也是連續(xù)函數(shù).我們知道,常函數(shù)

與線性函數(shù)都是

R上到,具體過(guò)程請(qǐng)讀者自行給出.的連續(xù)函數(shù),故由四則運(yùn)算性質(zhì),易知多項(xiàng)式函數(shù)同理,有理函數(shù)(分母不為零)同樣是連續(xù)函數(shù).下面這個(gè)定理刻劃了連續(xù)這個(gè)性質(zhì)在復(fù)合運(yùn)算下定理4.5是不變的.證于是

對(duì)這個(gè)定理我們?cè)僮饕恍┯懻?以加深大家對(duì)該定請(qǐng)大家仔細(xì)觀察定理4.5的證明,看看此時(shí)究竟哪理的認(rèn)識(shí).里通不過(guò).應(yīng)用定理4.5,就得到所(*)式相應(yīng)的結(jié)論仍舊是成立的.則有改為需要的結(jié)論.事實(shí)上,只要補(bǔ)充定義（或者重新定義）上述(1)和(2)究竟有什么本質(zhì)的區(qū)別呢?請(qǐng)讀者作例1解合，所以出進(jìn)一步的討論.例2解例3解所以

均有使得對(duì)一切存在,,0DxDx??在本節(jié)中將研究f在二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義1若點(diǎn),的最大值不存在,最小值為零.注意:既無(wú)最大值,又無(wú)最小值.定理4.6（最大、最小值定理）

例如,符號(hào)函數(shù)的最大值為1,最小值為-1;的最大值為1,最小值為-1;函數(shù)(其上確界為1,下確界為-1)這個(gè)定理刻畫(huà)了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)深刻的推論這是因?yàn)橛啥ɡ?.6可知,值,從而有上界與下界,于是f(x)在[a,b]上是有雖然也是連續(xù)函數(shù),但是內(nèi)涵,在今后的學(xué)習(xí)中有很廣泛的應(yīng)用.界的.這說(shuō)明定義在開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性定理4.7（介值性定理）上連續(xù),則(至少)存在一點(diǎn)質(zhì)有著根本的區(qū)別.從幾何上看,當(dāng)連續(xù)曲線

從水平直線的一側(cè)穿到另一側(cè)時(shí),兩者至少有一個(gè)交點(diǎn).

推論（根的存在性定理）應(yīng)當(dāng)注意,此推論與定理4.7是等價(jià)的.于是,只要?jiǎng)t至少存在一點(diǎn)使下面用確界定理來(lái)證明上述推論,大家要注意學(xué)習(xí)證明了推論,也就完成了定理4.7證明.確界定理的使用方法.(E為圖中x軸上的紅

證

不妨設(shè)

并設(shè)零點(diǎn).證明如下：的最大值就是函數(shù)的線部分)從幾何上看,E因?yàn)樗杂諩是有界的,故由確我們來(lái)否定下面兩種情形:1.由f(x)在點(diǎn)是連續(xù)的,根據(jù)保號(hào)性,存在界定理,存在，顯然2.同樣根據(jù)保號(hào)性,同時(shí)由x0=supE,對(duì)上述d,存在

排除了上面兩種情形后,就推得由介值性定理與最大、最小值定理立刻得到如下下面再舉一些應(yīng)用介值性定理的例題.設(shè)在上連續(xù),那么它的最大值M與最結(jié)論:小值m存在,并且證

先證存在性：由極限的保號(hào)使使得(讀作r的n次算術(shù)根).例3則存在唯一的正數(shù)連續(xù)，我們只需證明嚴(yán)格遞增即可.事實(shí)上，即例4

求證:再證唯一性:證即任意的實(shí)數(shù)r,f(x)=r

至多有有限個(gè)解.證明：證與的解至多為有限個(gè).例5

設(shè)

在區(qū)間內(nèi)滿足介值性,并且對(duì)于

在內(nèi)連續(xù).1.由介值性條件不難證明：即2.如果解為空集,任意取證不妨設(shè)f(x)嚴(yán)格增,那么就是反上連續(xù),且與f(x)有相同的單調(diào)性.定理4.8

若函數(shù)f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù),則反函數(shù)三、反函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的定義域.1.(證明見(jiàn)定理1.2).2.(如圖所示)①每一②對(duì)應(yīng)③任給⑤取④對(duì)應(yīng)請(qǐng)讀者類(lèi)似地證明該函數(shù)在端點(diǎn)的連續(xù)性.這就說(shuō)明了上連續(xù).對(duì)于任意的正數(shù)且嚴(yán)格增.關(guān)于其它的反三角函數(shù)均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論.例6

因此它的反函數(shù)上也是連續(xù)嚴(yán)格增.例7連續(xù)且嚴(yán)在上亦為連續(xù)且格增,那么其反函數(shù)在本節(jié)中，我們將介紹一致連續(xù)性這個(gè)及其重要只要就有

四、一致連續(xù)性任意的正數(shù),使得對(duì)任意,存在定義2.

設(shè)

為定義在區(qū)間I上的函數(shù),如果對(duì)于則稱(chēng)在區(qū)間I上一致連續(xù).的概念.首先來(lái)看兩個(gè)例題.例8

證證首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來(lái)敘述f(x)在區(qū)例9

但仍有確實(shí)不是一致連續(xù)的.總有間I上不一致連續(xù)的定義：試問(wèn),函數(shù)在區(qū)間I上一致連續(xù)與在區(qū)間I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？?jī)H與有關(guān).

對(duì)于任意正數(shù)

,所得答:(1)首先,對(duì)于如果在區(qū)間I上連續(xù)，那么,

不僅與

有關(guān),而且還與所討論的點(diǎn)而在區(qū)間I上一致連續(xù).那么在例8中顯然關(guān).

過(guò)程中有一個(gè)正下界(當(dāng)然(2)函數(shù)f(x)在每一點(diǎn)連續(xù),下述定理是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的又一整體性質(zhì).區(qū)間I上就一致連續(xù)了.這個(gè)下界只與

有關(guān),而與x0無(wú)關(guān)),則此時(shí)f(x)在上連續(xù),則上一致連續(xù).這個(gè)定理告訴我們:定義在閉區(qū)間上的函數(shù),連例10

設(shè)區(qū)間的右端點(diǎn)為,區(qū)間的左端定理4.9（一致連續(xù)性定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間上一致連續(xù),在區(qū)間上也一致連續(xù).證明：若分別在點(diǎn)也為續(xù)和一致連續(xù)是等價(jià)的.連續(xù)，所以分別存在使得當(dāng)當(dāng)則對(duì)于任意的證

對(duì)任意的因?yàn)樵谏弦恢麓藭r(shí)自然有有以下兩種情形：注意到可得綜上，證得在區(qū)間上一致連續(xù).注

例10的條件

是重要的.比如在區(qū)間與區(qū)間

上分別一致連續(xù),但在區(qū)間[1,3]上不連續(xù),當(dāng)然也不一致連續(xù).例11

設(shè)上連續(xù),并且證明上一致連續(xù).證因?yàn)?所以對(duì)任意的正數(shù)存在又上連續(xù),故由定理4.9可知f(x)上一致連續(xù).因此對(duì)上述

，存在正數(shù)使對(duì)任意只要,必有現(xiàn)對(duì)任何討論如下.情形2.注意到所以若情形1不成立,必然有于是§3

初等函數(shù)的連續(xù)性

在學(xué)習(xí)了連續(xù)函數(shù)的定義及其一系一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性上總是連續(xù)的.要結(jié)論：初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間列基本性質(zhì)后，現(xiàn)在可以證明一個(gè)重返回一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中,我們已經(jīng)定義了指數(shù)函數(shù)并指出它在R內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)的.所以,若能證明指首先證明指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).定義域內(nèi)也是連續(xù)函數(shù).數(shù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù),那么它的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)在其證當(dāng)是有理數(shù)時(shí),這是我們熟知的一個(gè)結(jié)果.對(duì)于任意存在有理數(shù)定理4.10

設(shè)為任意實(shí)數(shù),則有先設(shè)由定義，使因?yàn)槭侨我獾?所以反之,存在有理數(shù)再取有理數(shù)于是有仍因

是任意的,又得這就證明了只要令就有定理4.11

指數(shù)函數(shù)在R上是連證我們?nèi)耘f先假設(shè)首先證明指數(shù)函數(shù)在處連續(xù),即這是因?yàn)閷?duì)于任意的正數(shù)取所以在x=0處連續(xù).續(xù)的.對(duì)于一般的點(diǎn)由定理4.10得到

所以在R上連續(xù).對(duì)于只要設(shè)由就可得到相應(yīng)的結(jié)論.注也是連續(xù)的.例1

設(shè)證明

推論1對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.續(xù)