§1

連續函數的概念一、函數在一點的連續性三、區間上的連續函數二、間斷點的分類返回定義1由定義1知，我們是通過函數的極限來定義連續一、函數在一點的連續性性的，換句話說連續就是指例如：這是因為又如：函數極限由極限的定義,定義1可以敘述為:對于任意正數e,這是因為存在d>0,這樣就得到函數f(x)在點x0可改寫為連續性的另外一種表達形式.定義2如果對任意的存在當時應的函數(在

y0處)的增量為狄利克雷函數.證注意:上述極限式絕不能寫成例1由上面的定義和例題應該可以看出:函數在點x0類似于左、右極限，下面引進左、右連續的概念.要求這個極限值只能是函數在該點的函數值.極限存在是函數連續的一個必要條件)，而且還x0

連續，那么它在點x0

必須要有極限(這就是說,有極限與在點x0

連續是有區別的.首先f(x)在點定義3很明顯,由左、右極限與極限的關系以及連續函數0既是左連續，又是右連續.點x定理4.1f在有定義，若的定義可得：例2討論函數解因為點擊上圖動畫演示綜上所述,所以,二、間斷點的分類定義4定義.若f在點x0無定義,或者在點x0有定義但卻由此,根據函數極限與連續之間的聯系,如果f在點x0

不連續,則必出現下面兩種情況之一:或不連續點.在該點不連續,那么稱點x0為函數的一個間斷點等于f(x0).根據上面的分析,我們對間斷點進行如下分類：1.可去間斷點:

若一個可去間斷點.注x0是

f

的跳躍間斷點與函數

f在點

x0是否有定點.3.第二類間斷點:若

f在點x0的左、右極限至少可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點.義無關.有一個不存在,證因為例3所以并且是的一個可去間斷點.注1.例4討論函數在x=0處是否連續？若不連續，則是什么類型的2.若點x0是的可去間斷點,那么只要重新定

x0

連續.間斷點？所以

f(x)在

x=0處右連續而不左連續,從而不解因為斷點是跳躍間斷點.連續.既然它的左、右極限都存在，那么這個間例5解因為由歸結原理可知，均不存在，點？三、區間上的連續函數若函數f在區間I上的每一點都連續,則稱f為I例如,以及都是R上的連續函數；而函數是區間[-1,1]上的連續函數,在處的連續分別指右連續和左連續.數在該點連續是指相應的左連續或右連續.上的連續函數.對于閉區間或半閉區間的端點,函如果函數f在[a,b]上的不連續點都是第一類的,復習思考題能要添加或改變某些分段點處的值).是由若干個小區間上的連續曲線合并而成(當然可一個按段連續函數.從幾何上看,按段連續曲線就并且不連續點只有有限個,那么稱f是[a,b]上的§2

連續函數的性質

在本節中,我們將介紹連續函數的局一、連續函數的局部性質四、一致連續性三、反函數的連續性二、閉區間上連續函數的性質這些性質是具有分析修養的重要標志.部性質與整體性質.熟練地掌握和運用返回一、連續函數的局部性質所謂連續函數局部性質就是指:連續(左連續或右連續),則可推知f

在點

x0

的某號性、四則運算的保連續性等性質.個局部鄰域(左鄰域或右鄰域)內具有有界性、保故|f(x)|的一個明確的上界.證注意:我們在證明有界性時,而不是用術語定理4.2（局部有界性）則定理4.3（局部保號性）則對任意一個滿足證注在具體應用保號性時,我們經常取

于是證得定理4.4（連續函數的四則運算）

此定理的證明可以直接從函數極限的四則運算得也是連續函數.我們知道,常函數

與線性函數都是

R上到,具體過程請讀者自行給出.的連續函數,故由四則運算性質,易知多項式函數同理,有理函數(分母不為零)同樣是連續函數.下面這個定理刻劃了連續這個性質在復合運算下定理4.5是不變的.證于是

對這個定理我們再作一些討論,以加深大家對該定請大家仔細觀察定理4.5的證明,看看此時究竟哪理的認識.里通不過.應用定理4.5,就得到所(*)式相應的結論仍舊是成立的.則有改為需要的結論.事實上,只要補充定義（或者重新定義）上述(1)和(2)究竟有什么本質的區別呢?請讀者作例1解合，所以出進一步的討論.例2解例3解所以

均有使得對一切存在,,0DxDx??在本節中將研究f在二、閉區間上連續函數的性質定義1若點,的最大值不存在,最小值為零.注意:既無最大值,又無最小值.定理4.6（最大、最小值定理）

例如,符號函數的最大值為1,最小值為-1;的最大值為1,最小值為-1;函數(其上確界為1,下確界為-1)這個定理刻畫了閉區間上連續函數的一個深刻的推論這是因為由定理4.6可知,值,從而有上界與下界,于是f(x)在[a,b]上是有雖然也是連續函數,但是內涵,在今后的學習中有很廣泛的應用.界的.這說明定義在開區間和閉區間上的連續函數的性定理4.7（介值性定理）上連續,則(至少)存在一點質有著根本的區別.從幾何上看,當連續曲線

從水平直線的一側穿到另一側時,兩者至少有一個交點.

推論（根的存在性定理）應當注意,此推論與定理4.7是等價的.于是,只要則至少存在一點使下面用確界定理來證明上述推論,大家要注意學習證明了推論,也就完成了定理4.7證明.確界定理的使用方法.(E為圖中x軸上的紅

證

不妨設

并設零點.證明如下：的最大值就是函數的線部分)從幾何上看,E因為所以又E是有界的,故由確我們來否定下面兩種情形:1.由f(x)在點是連續的,根據保號性,存在界定理,存在，顯然2.同樣根據保號性,同時由x0=supE,對上述d,存在

排除了上面兩種情形后,就推得由介值性定理與最大、最小值定理立刻得到如下下面再舉一些應用介值性定理的例題.設在上連續,那么它的最大值M與最結論:小值m存在,并且證

先證存在性：由極限的保號使使得(讀作r的n次算術根).例3則存在唯一的正數連續，我們只需證明嚴格遞增即可.事實上，即例4

求證:再證唯一性:證即任意的實數r,f(x)=r

至多有有限個解.證明：證與的解至多為有限個.例5

設

在區間內滿足介值性,并且對于

在內連續.1.由介值性條件不難證明：即2.如果解為空集,任意取證不妨設f(x)嚴格增,那么就是反上連續,且與f(x)有相同的單調性.定理4.8

若函數f(x)在上嚴格單調且連續,則反函數三、反函數的連續性函數的定義域.1.(證明見定理1.2).2.(如圖所示)①每一②對應③任給⑤取④對應請讀者類似地證明該函數在端點的連續性.這就說明了上連續.對于任意的正數且嚴格增.關于其它的反三角函數均可得到在定義域內連續的結論.例6

因此它的反函數上也是連續嚴格增.例7連續且嚴在上亦為連續且格增,那么其反函數在本節中，我們將介紹一致連續性這個及其重要只要就有

四、一致連續性任意的正數,使得對任意,存在定義2.

設

為定義在區間I上的函數,如果對于則稱在區間I上一致連續.的概念.首先來看兩個例題.例8

證證首先我們根據一致連續的定義來敘述f(x)在區例9

但仍有確實不是一致連續的.總有間I上不一致連續的定義：試問,函數在區間I上一致連續與在區間I上連續的區別究竟在哪里？僅與有關.

對于任意正數

,所得答:(1)首先,對于如果在區間I上連續，那么,

不僅與

有關,而且還與所討論的點而在區間I上一致連續.那么在例8中顯然關.

過程中有一個正下界(當然(2)函數f(x)在每一點連續,下述定理是連續函數在閉區間上的又一整體性質.區間I上就一致連續了.這個下界只與

有關,而與x0無關),則此時f(x)在上連續,則上一致連續.這個定理告訴我們:定義在閉區間上的函數,連例10

設區間的右端點為,區間的左端定理4.9（一致連續性定理）若函數f在閉區間上一致連續,在區間上也一致連續.證明：若分別在點也為續和一致連續是等價的.連續，所以分別存在使得當當則對于任意的證

對任意的因為在上一致此時自然有有以下兩種情形：注意到可得綜上，證得在區間上一致連續.注

例10的條件

是重要的.比如在區間與區間

上分別一致連續,但在區間[1,3]上不連續,當然也不一致連續.例11

設上連續,并且證明上一致連續.證因為,所以對任意的正數存在又上連續,故由定理4.9可知f(x)上一致連續.因此對上述

，存在正數使對任意只要,必有現對任何討論如下.情形2.注意到所以若情形1不成立,必然有于是§3

初等函數的連續性

在學習了連續函數的定義及其一系一、指數函數的連續性二、初等函數的連續性上總是連續的.要結論：初等函數在其有定義的區間列基本性質后，現在可以證明一個重返回一、指數函數的連續性在第一章中,我們已經定義了指數函數并指出它在R內是嚴格單調的.所以,若能證明指首先證明指數函數的一個重要性質.定義域內也是連續函數.數函數是連續函數,那么它的反函數對數函數在其證當是有理數時,這是我們熟知的一個結果.對于任意存在有理數定理4.10

設為任意實數,則有先設由定義，使因為是任意的,所以反之,存在有理數再取有理數于是有仍因

是任意的,又得這就證明了只要令就有定理4.11

指數函數在R上是連證我們仍舊先假設首先證明指數函數在處連續,即這是因為對于任意的正數取所以在x=0處連續.續的.對于一般的點由定理4.10得到

所以在R上連續.對于只要設由就可得到相應的結論.注也是連續的.例1

設證明

推論1對數函數在定義域上是連續的.續