雙曲線1定義平面內與兩個定點F1，F2如圖，P是雙曲線上一點，|PFPS當PF當PF當|PF1?PF2當|PF2幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖象標準方程xy范圍x≤?a或x≥a,y∈Ry≤?a或y≥a,x∈R頂點AA軸長虛軸長2b，實軸長2a焦點FF焦距Fa、b、c的關系c離心率e=漸近線y=±y=±實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．3一些常用結論①通徑：過焦點且垂直實軸的弦，其長度為2b②焦點到漸近線的距離是b；③焦點三角形面積S=b④與雙曲線x2a⑤焦半徑PF1=exP⑥雙曲線x2a2【題型一】雙曲線的定義【典題1】平面內有兩個定點F1(－5,0)和F2(5,0)，動點P滿足條件PFA．橢圓B．雙曲線C．雙曲線的右支 D．雙曲線的左支【解析】由PF1?PF2故選：C．【點撥】①注意雙曲線的定義中“絕對值”三字；②若點P在右支，肯定PF1－PF2>0故題中的條件改為PF2－P【典題2】一動圓P過定點M(－4,0)，且與已知圓N：x－42+y【解析】動圓圓心為P，半徑為r，已知圓圓心為N，半徑為4；由題意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN－PM|=4，即動點P到兩定點的距離之差為常數4，P在以M、C為焦點的雙曲線上，且2a=4，2c=8，∴b=23，∴動圓圓心M的軌跡方程為：x【點撥】①兩圓O1、O2的半徑分別為r1②雙曲線定義中的“常數”為2a，定點為焦點.鞏固練習1(★)平面內到兩定點F1－3,0、F2A．橢圓 B．線段 C．兩條射線 D．雙曲線【答案】D【解析】根據雙曲線的定義，|MF1∴點M的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，且焦距為6．故選：D．2(★★)點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內到定圓C的距離與到定點A的距離相等的點的軌跡不可能是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支 D．直線【答案】D【解析】排除法：設動點為Q，1．當點A在圓內不與圓心C重合，連接CQ并延長，交于圓上一點B，由題意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的軌跡為一橢圓；如圖．2．如果是點A在圓C外，由QC－R=QA，得QC－QA=R，為一定值，即Q的軌跡為雙曲線的一支；3．當點A與圓心C重合，要使QB=QA，則Q必然在與圓C的同心圓，即Q的軌跡為一圓；則本題選D．【題型二】雙曲線方程【典題1】已知方程x217?k+y2k?8=【解析】方程x217?k+可得17－k>0，k－8<0，解得k<8.【點撥】曲線方程C:x當mn<0時，C為雙曲線；當m>0,n<0時，C為焦點在x軸上的雙曲線且a2當n>0,m<0時，C為焦點在y軸上的雙曲線且a2簡而言之：雙曲線,看分母正負.【典題2】雙曲線過點(4,3)、(3,5【解析】方法一當雙曲線焦點在x軸上，設方程為x2則16a2?當雙曲線焦點在y軸上，設方程為y2則3a∴雙曲線的標準方程為x2方法二由題意，設雙曲線方程為mx代入點(4,3得16m+3n=19m+54∴雙曲線的標準方程為x2【點撥】求雙曲線的方法，可用待定系數法，方法一考慮到焦點的位置作分類討論求解，方法二則簡潔些，設雙曲線方程為mx【典題3】與雙曲線C：x22?【解析】根據題意，要求雙曲線與雙曲線C：設要求的雙曲線為x2又由雙曲線經過點(3,10則有92?10則要求雙曲線的標準方程為x2【點撥】①求雙曲線漸近線的一種方法，比如求y24?該方法不需要確定焦點位置與a、b值.②與雙曲線x2a2鞏固練習1(★)若k∈R，則k>－3是方程xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程x2可得(k－3)(k+3)<0，解得：－3<k<3，方程x2k?3+所以k∈R，則k>－3是方程x故選：B．2(★★)已知雙曲線的一條漸近線方程為y=2x，且經過點(4,43)，則該雙曲線的標準方程為【答案】x2【解析】解法1：根據題意知，2×4>43，所以點(4,43)所以該雙曲線的焦點在x軸上，設標準方程為x2a2又ba=2，所以又16a2?解得a2＝4，所以雙曲線的標準方程是x2解法2：根據漸近線方程設雙曲線的標準方程是x2?y計算得k＝16?484=4，所以雙曲線的標準方程為x故選：A．3(★★)在下列條件下求雙曲線標準方程． (1)經過兩點(3,0)，(－6,－3)；(2)a=25，經過點(2,－5)，焦點在y【答案】(1)x29?【解析】(1)根據題意，若雙曲線經過點(3,0)，則雙曲線的焦點在x軸上，且a＝3，設其標準方程為x2又由雙曲線經過點(－6,－3)，則有4?9b2則雙曲線的標準方程為x29(2)根據題意，a＝25，其焦點在y設雙曲線的標準方程為：y2又由雙曲線經過點(2,－5)，則2520解可得：b2則雙曲線的標準方程為：y2【題型三】雙曲線的圖像及其性質【典題1】已知雙曲線C的方程為x2A．雙曲線C的實軸長為8 B．雙曲線C的漸近線方程為y=±3C．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3 D．雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為9【解析】∵雙曲線C的方程為x216?y2∴c=a∴實軸長為2a=2×4=8，即A正確；漸近線方程為y=±bax=±焦點(5,0)到漸近線y=34x的距離為|對于選項D，設點P(x,y)為雙曲線右支上的一點，點F為雙曲線的右焦點，當x=4時，PF取最小值1，即D錯誤．故選：D．【點撥】焦點到漸近線的距離是b；②雙曲線上的點到焦點的距離最小值是當點在頂點的位置時取到.【典題2】設雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為3．P是C【解析】根據題意，幾何關系如圖所示．設|PF2|=m若△F1PF2的面積為43，可得由雙曲線定義，可得n－m=2a，由余弦定理可得4c∴4c離心率為3．可得ca=3【點撥】①遇到焦點三角形?F②在雙曲線中，焦點三角形?F1PF2的面積為S=b2【典題3】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F【解析】方法一設Ax1,y1由y=22(x?c)則x1∵|AF2|=|B又y1化簡可得2a∴2方法二如圖，取AB中點M，連結F2M∵|AF2|=|B設|AF2|=|BF2又|BF1|－|B∴|AB|=|BF1|－|A∴|F由勾股定理，知|F即|F2M|=∴|F∴tan∠MF1F2=∴離心率e=c【點撥】①方法一是由條件“過F1作斜率為22的直線l”，想用代數法求解；代數法中②方法二是通過平幾的知識點求解，要多觀察圖形，多積累一些平幾的結論與常見已知條件的處理方法:(1)|AF2|=|BF2|?等腰三角形的三線合一；(2)斜率為22③比較兩種方法，在本題中計算量來看，方法二優于方法一；思考難度來看，方法一稍容易想到.【典題4】已知F1,F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，且|F1F2A．λ=5?12B．λ=5+12 C．點【解析】∵|F1F2|=2∵e>1，∴e=1+設△PF1F由雙曲線的定義得|PF1|－|PS△IPF1=12|P∵S△IPF1故λ=|PF1|?|PF設內切圓與PF1、PF2、F可得|PM|=|PN|．|F1M|=|由|PF|F可得|F2T|=c－a，可得T的坐標為(a,0)，即I的橫坐標為a設PI延長線與F1F2交于H由|PF1|－|PF由三角形的相似的性質可得|PK||OH|=由①②可得|PK|=a．故D正確．故選：ACD．【點撥】①得到a,b,c任意兩個量或三量的一條等式，均可得到關于離心率e的方程從而求出e.②注意內心的定義及其性質，內心是三角形的角平分線交點，則內心到三邊的距離相等！角平分線定理：如圖，在?ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則ABBD④多觀察圖形，充分利用平幾的知識點，得到各角之間或各線段之間的關系.常見的相似三角形的性質(注意A字型、8字型模型)、等腰三角形的三線合一、角平分線、圓的性質、正余弦定理等等.鞏固練習1(★)若雙曲線C：mx2?A．14 B．12 C．4 D．【答案】C【解析】雙曲線C：mx2－方程化為標準方程是C：x2由于實軸長是虛軸長的一半，故2m解得m=4．故選：C．2(★★)[多選題]已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為233A．漸近線方程為y=±3x C．∠MAN=60°【答案】BC【解析】由題意可得e=c可設c=2t，a=3t，則b=c2?圓A的圓心為(3t,0)，半徑r為雙曲線的漸近線方程為y=±bax圓心A到漸近線的距離為d=|弦長|MN|=2r可得三角形MNA為等邊三角形，即有∠MAN=60°．故選：BC．3(★★)[多選題]已知F1，F2分別是雙曲線x2a2?y2b2=1A．雙曲線的離心率3 B．雙曲線的漸近線方程為y=±2C．∠PAF2=【答案】ABD【解析】F1，F2分別是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)如圖，三角形△PF1F2是直角三角形，并且b2ca=3，ba=直線x+2y－2=0與雙曲線的漸近線不平行，所以直線與雙曲線由2個交點，所以D正確；故選：ABD．4(★★)已知點F1(－3,0)，F2(3,0)分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，M是C右支上的一點，MF1與y【答案】32【解析】設△MPF2的內切圓與MF1，MF由切線長定理可知MA=MB，PA=PQ，BF又PF∴MF由雙曲線的定義可知MF故而a=PQ=2，又c=3，∴雙曲線的離心率為e=c故選：C．5(★★★)已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的左、右支分別交于P、Q兩點，PQ【答案】y=±2x【解析】PQ→=2F1P→，可得|PQ|=2|PF1由雙曲線的定義可得|PF2|=2a+x因為F1Q→在△QF1F2中，F在△PQF2中，PF由②可得x=43a，代入①所以漸近線的方程為：y=±bax=±故選：D．6(★★★)如圖所示，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，雙曲線C的右支上一點A，它關于原點O的對稱點為【答案】3【解析】連接AF'，BF'，由條件可得|BF|－|AF|=|AF'|－|AF|=|AF|=2a，則|AF|=2a，|BF|=4a，∠F'BF=60°，所以F'F2即4c所以雙曲線的離心率為：e=c故選：C．7(★★★)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別F1，F2，過F2的直線交雙曲線右支于A，【答案】3【解析】如圖，取AF1的中點E，連接DE由AD→=1又∵AD為∠F1AF2的平分線，∵DE∥AB，∴D為BF∵DF2∥AF1，∴由雙曲線的對稱性可知，AB⊥x軸，∴|F1F解得：e=c8(★★★)已知雙曲線x24?y23=1的左、右焦點分別為F1,F2，O為雙曲線的中心，P是雙曲線右支上的點，△PF1F2的內切圓的圓心為I，且圓I【答案】1【解析】根據題意得F1(?7設△PF1F2的內切圓分別與PF1、P則|PA1|=|PB1又點P在雙曲線右支上，∴|PF1|－|PF2設A點坐標為(x,0)，則由|F1A|－|F2故|OA|=2，則△PF1F延長F2B交PF1于C，在三角形PCF∴在三角形F1CF∴|OB|【題型四】最值問題情況1求離心率范圍【典題1】已知雙曲線x2a2?y2bA．(1,2] B．[2,2] 【解析】根據題意，易得雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b；由雙曲線的意義，可得e2以實軸為角平分線的角為θ，若θ的取值范圍是[π可得1≤b進而可得：e2=c2a【點撥】求離心率的范圍的一般思路：求出a、b、c任意兩個量比值的范圍得到關于離心率e的不等式，從而求出e的范圍,同時也要注意橢圓中0<e<1,雙曲線中e>1.情況2幾何法求范圍【典題1】已知雙曲線x2－y2=1的右焦點為F，右頂點A，A．23 B．3 C．2 D．【解析】如圖：雙曲線x2－y2右頂點A(1,0)，P為漸近線y=x上一點，則|PA|+|PF|的最小值就是A關于y=x的對稱點A'到F所以A'則|PA|+|PF|的最小值為：(2故選：B．【點撥】這屬于“將軍飲馬問題”！【典題2】點F2是雙曲線C：x29?y23=1的右焦點，動點A在雙曲線左支上，直線l1：tx－y+t－2=0A．8 B．53 C．9 D．【解析】聯立直線l1，l2的方程tx?y+t?2=0可得x=?t2?1t2所以可得交點B的軌跡為圓心在(0,－2)，半徑為1的圓，由雙曲線的方程可得a=3，b=3，焦點F(－2可得|AF∴|AB|+|AF當A，F1，B三點共線時，|AB|+|A∴|AB|+|AF當過F1與圓心的直線與圓的交點B且在F∴|AB|+|AF2|的最小值為9【點撥】這屬于“三點共線取最值”模型,在圓錐曲線求最值問題用幾何法需要明確動點的運動規律，平時掌握常見模型，多觀察圖象.情況3函數法求范圍【典題1】已知P為雙曲線C：x23?y2=1上的動點，過P作兩漸近線的垂線，垂足分別為A,B，記線段PA，A．若PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1?C．4m+n的最小值為3 D．|AB|的最小值為3【解析】如圖所示，設P(x0,由題設條件知，雙曲線C的兩漸近線：l1：y=設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1所以k1?k2由點線距離公式知：PA=m=∴mn=|3x0∵4m+n≥4nm=4×3由漸近線的斜率可知∠AOx=30四邊形AOBP中易得∠APB=|AB|=P(當m=n，即點P在雙曲線的頂點位置時)所以D正確，故選：AD．【點撥】①PA，PB兩條線段長度由點P確定，根據題意用點到直線的距離公式表示出來；②求4m+n與AB=m2+③思考:如何處理含一個變量與兩個變量的式子最值問題呢？(1)含一個變量的，比如求1m?44+m(2)含兩個變量，比如本題中AB=m2+n2+mn，在高中階段常用基本不等式處理，那m2+n2+mn轉化為只含一個變量？思路有兩條，一是用n表示m消掉一個變量，但本題m,n沒明顯的關系；二是用另外一個變量表示m,n【典題2】已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=A．2 B．4 C．25 D．27【解析】雙曲線x2a2?y不妨設a=2k，b=3k，k>0∴c=a2+b設P(x0,y0)，且∵x02∴≥7k解得k=1，k=－1(舍去)，∴c=7，∴2c=2故選：D．【點撥】①本題處理數量積的方法是坐標法，設點P(x0②作到PF1→?PF2→=x02－7k③利用函數法求最值，一定要謹記“優先考慮定義域”！【典題3】如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，其內切圓與AC邊相切于點D，延長BA到E，使BE=BC，連接CE，設以E,C為焦點且經過點A的橢圓的離心率為e1，以E,C為焦點且經過點A的雙曲線的離心率為e2，則當2e1+【解析】如圖，設M，G分別是BC，BE與圓的切點．由圓的切線性質，可設AG=AD=1，CD=CM=GE=m，(m>1)，∴AC=1+m，AE=GE－AG=m－1，在△ACE中，CE以E，C為焦點且經過點A的橢圓的離心率為e1以E，C為焦點且經過點A的雙曲線的離心率為e2則2e令fm設t=4m?11，則m=∴4m?11當t=13,即m=6>1時取到等號，∴fm∴當m=6時，2e1+1e故答案為：1【點撥】①本題中沒給出任一線段長度，設AG=1②本題求最值采取函數法，這是a1鞏固練習1(★★)已知F1、F2是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>b>0)【答案】(1,2【解析】F1，F2是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>b>0)則焦點到漸近線的距離：d=|bc|所以|AB|=2a∵|AB|>|∴2a可得4a即：3a2>5所以c2所以e<2105所以雙曲線的離心率的取值范圍是：(1,22(★★)設雙曲線x216?y212=1的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線【答案】【解析】根據雙曲線x216?y2由雙曲線的定義可得：|AF2|－|A|BF2|－|B①+②可得：|AF由于過雙曲線的左焦點F1的直線交雙曲線的左支于A，B可得|AF1|+|BF1即有|AF即有|BF3(★★)已知F1，F2分別是雙曲線C：x24?y23=1的左，右焦點，動點A在雙曲線的左支上，點B【答案】7【解析】雙曲線x2a=2，b=3，c=4+3=7，圓E半徑為r=1，E(0,－3)，∴|AF|AB|≥|AE|－|BE|=|AE|－1(當且僅當A,E,B共線且B在A,E之間時取等號)，AB+≥|EF當且僅當A是線段EF∴|AB|+|AF4(★★★)設雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，|F1F2|=2c，過F2作x軸的垂線，與雙曲線在一第