由遞推關系求數列通項問題—“不動點”法由遞推公式求其數列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關系但又難求通項的數列綜合問題，充分運用函數的相關性質是解決這類問題的著手點和關鍵．與遞推關系對應的函數的“不動點”決定著遞推數列的增減情況，因此我們可以利用對函數“不動點”問題的研究結果，來簡化對數列通項問題的探究。筆者在長期的教學實踐中，不斷總結探究反思，對那些難求通項的數列綜合問題，形成利用函數不動點知識探究的規律性總結，以期對同學們解題有所幫助．1不動點的定義一般的，設了〔X）的定義域為D,若存在心ED，使成立，則稱為的不動點，或稱（忌冰J為圖像的不動點。2求線性遞推數列的通項定理1設冷十+也工〔訂），且為的不動點，滿足遞推關系嗎二了（冷（，總二…，證明是公比為a的等比數列。證：???是的不動點，所以，所以，所以，.??數列是公比為金的等比數列。例1已知數列｛%｝的前訊項和為且鳩二占-北廠跖，&呂川⑴證明：｛叫T｝是等比數列；（2）求數列｛$｝的通項公式，并求出使得盤+1>垃成立的最小正整證：⑴當n=1時，a=-14；當n>2時，a=S-S=-5a+5a+1,即6礙二気+10工2）即1 nnn—1 nn—1，記 ，令，求出不動點心二1,由定理1知：6066爲_1=；〔込_1_衛22），又a—1=—15弟，所以數列｛a—1｝是等比數列。（2）解略。1n3求非線性遞推數列的通項定理2設 ，且是的不動點，數列滿足遞推關系，總二…，cx-\-d2c（i）若珂工乃，則數列是公比為的等比數列；（ii）珂二冷二礎，則數列是公差為的等差a十用

數列。說眄+色 3—￡珂證：（i）由題設知□鬲亠撫 c3—C：疋同理岀-b=（a-門叨西.@—亡砧叫-\-b—刈珂a—c(d!—CX2)^n+3_必2所以數列是公比為的等比數列。（ii）由題設知=疋的解為兀1二也二心,...且=1_1說勢i_兩一莎斗上（ii）由題設知=疋的解為兀1二也二心,...且=1_1說勢i_兩一莎斗上1:喬7 0caK十』（口一皈血十土盛）3-曬血廠亦 &_%_cax一：筍+』+卞咼-c d+c^0 1— — 3_%)宓_%)a-e^a-c^%_心.a-dd+; 12c12c，所以數列是公差為 的等差數列。&一吒馬，一心務一知心+圧 □十r例2設數列｛%｝的前"項和為顯，且方程工一理-工-①二0有一根為顯-1（応時"）。求數列｛理｝的通項公式。解：依題丐二13￡,且毘“尸-叮陰"）■%二o,將比二孟-莒-1代入上式，得1 _2-Sk亍記”*丄，令"E，求出不動點心九由定理1 _2-Sk亍所以數列■■■ y—［是公差為-1的等差數列，所以E=因此數列｛%｝的通項公式為叫

例3已知數列仏｝中,曲：K+1（I）設^=|a=，求數列｛乞｝的通項公式.（II）例3已知數列仏｝中,曲：K+1（I）設^=|a=，求數列｛乞｝的通項公式.（II）求使不等式%<%戟<3成立的疔的X、—占解：（1）依題嗎+1=35 1 5^-2，記畑二%紐，令fd，求出不動點咼=h 2由定理2（i）知：直兩式相除得到M-1M+1是以工為公比’ 為首項的等比數=-2-4b_1=-2-列，所以,（II）解略。列，所以,3.I1.定理3設 ，且是的不動點，數列滿足遞推關系，左二23…，則有T.ax+d?In，故代>0，則>0是公比為?In，故代>0，則>0是公比為2的等比數列。耳+1—珂—「％—咼詛 」一瑪丁）；若門F，則'In%'是公比為2的等比數列。dj!+l_X2-務—牝J證：*?*是的不動點，???=b-tJZj ， dx2=b—曲；菖話+1-珂a-+￡■-（2lj-ljh+^）zl a-+匕2ci?j -b理+1—孔■J 1 ._ n. —a +P—（2&? +占）疋2 a-~l-?匕一Acr <y3+阪f-hx：-3例4已知數列仗」滿足叫=4， .⑴求證：心=3；⑵求證：兀敘<耳；⑶求數列的通項公式．證：⑴、⑵證略；⑶依題 ，記 ，令了㈡）二x，求出不動點兀一斗 2忙一4= = ；由定理3知：^M41￡-3= = ；由定理3知：^M41￡-3_]=（兀阪-4 2xa-4Ln尋所以汙心-1L丿￥，又呂=駅》所以咤詈斗氓圣.’ 五1一1T T兀一1 「、又 ，令 ，則數列心是首項為1，公比為，的等比數列?所以▽対?由Z心,得川二巴所以I嘉利用函數“不動點”法求解較復雜的遞推數列的通項問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數列試題的難度，本文不再對更為復雜的遞推數列進行論述，以下兩個定理供有興趣