第第頁第八章函數的應用復習課（含解析）編號：056課題:函數應用復習課

教學課時安排

1、上課時間：_________________．

2、課時安排：_________________．

3、上課班級___________________．

學科目標要求

1.理解并掌握解答函數應用題的操作步驟；

2.掌握應用問題中的變量關系；

3.會利用函數模型解決實際問題；

4.理解并掌握實際問題中函數模型的選擇問題（數學建模）．

本節重點難點

重點：利用函數模型解決實際問題；

難點：實際問題中函數模型的選擇問題（數學建模）．

學科素養目標

通過函數的應用，了解函數與方程之間的關系，體會二分法求一些簡單方程的近似解的方法，盡管這個解也許不準確，但可以通過有效的方法控制精確度；通過數據擬合，體會到現代信息技術是數學課程的一個重要部分；會利用函數知識分析問題、解決問題，能準確、清晰、有條理地表述問題以及問題的解決過程，使學生明白函數與方程是研究事物變化的重要工具，逐步形成利用運動、變化的觀點觀察事物的理性思維能力、辯證思維能力、分析問題和解決問題的能力，以及數學表達、交流的能力，進一步培養學生的創新意識與探究能力、數學建模能力和實踐能力．

知識結構簡圖

教學過程賞析

基礎知識積累

1.函數的零點

(1)概念:使函數y=f(x)的值為0的___________.

零點、圖象與x軸的交點、方程實數解的關系:

(2)本質:方程f(x)=0的根、函數y=f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標.

(3)應用:利用零點、圖象與x軸的交點、方程實數解的關系,實現三種問題的相互轉化.

2.函數零點范圍的判定

(1)條件:函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,

且有_________________;

(2)結論:函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點.

(3)本質:利用函數的性質判斷零點的存在性.

(4)應用:判斷零點的存在性、求參數的范圍等.

3.解決函數應用問題的一般程序是：

審題，設未知量；

尋找等量關系；

列出方程；

解方程；

驗根或證明；

結論或作答.

【課堂檢測達標】

題1.一等腰三角形的周長是20，底邊y是關于腰長x的函數，它的解析式為()

A．y＝20－2x(x≤10)

B．y＝20－2x(x＜10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10)

D．y＝20－2x(5＜x＜10)

題2．函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1，3)內，則實數a的取值范圍是()

A．(7，＋∞)

B．(－∞，－1)

C．(－∞，－1)∪(7，＋∞)

D．(－1，7)

題3．對于實數a和b，定義運算“”：ab＝設函數f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R，若函數y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是()

A．(－∞，－2]∪

B．(－∞，－2]∪

C．

D．

題4．將進貨價為每個80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，每漲價1元，銷售量就減少20個，為了使商家利潤有所增加，則售價a(元/個)的取值范圍應是()

A．90＜a＜100B．90＜a＜110

C．100＜a＜110D．80＜a＜100

題5．已知函數f(x)＝的定義域為R，若關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有5個不同的根x1，x2，x3，x4，x5，則的值為()

A．B．16C．5D．15

題6．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)＝已知某家庭今年前四個月的煤氣費如表：

月份一月份二月份三月份四月份

用氣量/m3452535

煤氣費/元441419

若五月份該家庭使用了22m3的煤氣，則其煤氣費為()

A．12.5元B．12元

C．11.5元D．11元

題7．在直角坐標平面內的兩個不同點M，N滿足條件：①M，N都在函數y＝f(x)的圖象上；②M，N關于原點對稱．則稱點對[M，N]為函數y＝f(x)的一對“友好點對”(注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”).已知函數f(x)＝則此函數“友好點對”有()

A．0個B．1個

C．2個D．3個

題8．統計學家對人體的眼睛詳細研究后發現：我們的眼睛看到圖形面積的大小與此圖形實際面積的0.7次方成正比．例如：大圖形是小圖形的3倍，眼睛感覺到的只有30.7(約2.16)倍．觀察某個國家地圖，感覺全國面積約為某縣面積的10倍，那么這個國家的實際面積大約是該縣面積的(lg2≈0.3010，lg3＝0.4771，lg7≈0.8451)()

A．18倍B．21倍

C．24倍D．27倍

題9(多選題)．下面說法正確的有()

A．f(x)＝log2(x－1)的零點是(2，0)

B．f(x)＝－log2x與f(x)＝()x互為反函數

C．已知p：x∈R，＞0，則﹁p：x∈R，≤0

D．f(x)＝不是偶函數

題10(多選題)．給定函數f(x)＝，則下列說法正確的是()

A．f(x)的圖象關于原點對稱

B．f(x)的值域是[－1，1]

C．f(x)在區間[1，＋∞)上是增函數

D．f(x)有三個零點

題11(多選題)．設函數f(x)＝若實數a，b，c滿足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c).則下列結論恒成立的是()

A．ab＝1B．c－a＝

C．b2－4ac＜0D．a＋c＜2b

題12(多選題)．下列幾個說法，其中正確的有()

A．已知函數f(x)的定義域是，則f(2x)的定義域是(－1，3]

B．當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則實數m的取值范圍為m＜－5

C．已知關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的一根比1大且另一根比1小，則實數a的取值范圍是a＜－1或a＞0

D．若函數f(x)＝4＋x2ln在區間[－，]上的最大值與最小值分別為M和m，則M＋m＝8

題13．某學校決定對教室用藥熏消毒法進行消毒，根據藥學原理，從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為y＝據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室學習．那么從藥物釋放開始，至少需要經過____________小時后，學生才能回到教室．

題14．已知函數y＝x2－4x＋m，若該函數的兩個零點都在區間[1，＋∞)內，則實數m的取值范圍是____________；若該函數僅有一個零點在區間[1，＋∞)內則實數m的取值范圍是____________．

題15．某水果超市從12月15日至1月5日(共計22天，12月15日為第1天，12月16日為第2天，…，1月5日為第22天)，某種蘋果的銷售量y千克隨時間第x天變化的函數圖象如圖所示，則該超市在12月20日大約賣出了這種蘋果____________千克．

題16．已知函數f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數．

(1)求實數k的值；

(2)設g(x)＝m，若f(x)＝g(x)最多有一個實數解，求實數m的取值范圍．

題17．已知函數f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1).

(1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；

(2)若f(x)在[1，3]上有零點，求實數a的取值范圍．

題18．5G技術的價值和意義是在自動駕駛、物聯網等領域．其數學原理之一是香農公式：C＝W·log2(1＋)，其中：C(單位：bit/s)是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W(單位：Hz)是信道的帶寬，P(單位：dB)是平均信號率，N(單位：dB)是平均噪聲功率，叫做信噪比．

(1)根據香農公式，如果不改變帶寬W，那么將信噪比從1023提升到多少時，信道容量C能提升10%

(2)已知信號功率P＝P1＋P2，證明：W＝log2(1＋)＝Wlog2(1＋)＋Wlog2(1＋)；

(3)現有3個并行的信道X1，X2，X3，它們的信號功率分別為P1，P2，P3(P1＜P2＜P3)，這3個信道上已經有一些噪聲或者信號功率．根據(2)中結論，如果再有一小份信號功率，把它分配到哪個信道上能獲得最大的信道容量？(只需寫出結論)

題19．已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數，h(x)為指數函數且h(x)的圖象過點(2，4).

(1)求f(x)的表達式；

(2)若方程f(|x2＋3x|)＋f(－a|x－1|)＝0恰有2個互異的實數根，求實數a的取值集合．

編號：056課題:函數應用復習課

教學課時安排

1、上課時間：_________________．

2、課時安排：_________________．

3、上課班級___________________．

學科目標要求

1.理解并掌握解答函數應用題的操作步驟；

2.掌握應用問題中的變量關系；

3.會利用函數模型解決實際問題；

4.理解并掌握實際問題中函數模型的選擇問題（數學建模）．

本節重點難點

重點：利用函數模型解決實際問題；

難點：實際問題中函數模型的選擇問題（數學建模）．

學科素養目標

通過函數的應用，了解函數與方程之間的關系，體會二分法求一些簡單方程的近似解的方法，盡管這個解也許不準確，但可以通過有效的方法控制精確度；通過數據擬合，體會到現代信息技術是數學課程的一個重要部分；會利用函數知識分析問題、解決問題，能準確、清晰、有條理地表述問題以及問題的解決過程，使學生明白函數與方程是研究事物變化的重要工具，逐步形成利用運動、變化的觀點觀察事物的理性思維能力、辯證思維能力、分析問題和解決問題的能力，以及數學表達、交流的能力，進一步培養學生的創新意識與探究能力、數學建模能力和實踐能力．

知識結構簡圖

教學過程賞析

基礎知識積累

1.函數的零點

(1)概念:使函數y=f(x)的值為0的___實數x___.

零點、圖象與x軸的交點、方程實數解的關系:

(2)本質:方程f(x)=0的根、函數y=f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標.

(3)應用:利用零點、圖象與x軸的交點、方程實數解的關系,實現三種問題的相互轉化.

2.函數零點范圍的判定

(1)條件:函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,

且有_____f(a)f(b)<0________;

(2)結論:函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點.

(3)本質:利用函數的性質判斷零點的存在性.

(4)應用:判斷零點的存在性、求參數的范圍等.

3.解決函數應用問題的一般程序是：

審題，設未知量；

尋找等量關系；

列出方程；

解方程；

驗根或證明；

結論或作答.

【課堂檢測達標】

題1.一等腰三角形的周長是20，底邊y是關于腰長x的函數，它的解析式為()

A．y＝20－2x(x≤10)

B．y＝20－2x(x＜10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10)

D．y＝20－2x(5＜x＜10)

【解析】選D.依題意得2x＋y＝20，所以y＝20－2x，

由三角形三邊關系可得即0＜20－2x＜2x解得5＜x＜10.

因此函數解析式為y＝20－2x(5＜x＜10).

題2．函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1，3)內，則實數a的取值范圍是()

A．(7，＋∞)

B．(－∞，－1)

C．(－∞，－1)∪(7，＋∞)

D．(－1，7)

【解析】選D.因為y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函數，

所以f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函數，所以只需f(1)·f(3)＜0即可，即(－1－a)·(7－a)＜0，解得－1＜a＜7.

題3．對于實數a和b，定義運算“”：ab＝設函數f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R，若函數y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是()

A．(－∞，－2]∪

B．(－∞，－2]∪

C．

D．

【解析】選B.若x2－2－(x－x2)≤1，f(x)＝x2－2，則2x2－x－3≤0，解得

－1≤x≤；

若x2－2－(x－x2)＞1，f(x)＝x－x2，則2x2－x－3＞0，則x＜－1或x＞，

所以f(x)＝作出f(x)的函數圖象如圖所示：

作出直線y＝c，

因為函數y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，

所以y＝f(x)與y＝c有兩個交點，只需c∈(－∞，－2]∪.

題4．將進貨價為每個80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，每漲價1元，銷售量就減少20個，為了使商家利潤有所增加，則售價a(元/個)的取值范圍應是()

A．90＜a＜100B．90＜a＜110

C．100＜a＜110D．80＜a＜100

【解析】選A.設每個漲價x元，漲價后的利潤與原利潤之差為y元，

則a＝x＋90，y＝(10＋x)·(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.

要使商家利潤有所增加，則必須使y＞0即x2－10x＜0得0＜x＜10，

所以90＜x＋90＜100，所以a的取值為90＜a＜100.

題5．已知函數f(x)＝的定義域為R，若關于x的方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有5個不同的根x1，x2，x3，x4，x5，則的值為()

A．B．16C．5D．15

【解析】選D.由函數f(x)解析式作出函數圖象如下：

由方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有5個不同的根知，f(x)必有一個解為1，

即1＋b＋＝0b＝－，則f2(x)－f(x)＋＝0(2f(x)－1)(f(x)－1)＝0，

則方程另一個解為，設x1＜x2＜x3＜x4＜x5，

則f(x)＝1x＝0，1，2，f(x)＝x＝－1，3，

故＝(－1)2＋02＋12＋22＋32＝15.

題6．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)＝已知某家庭今年前四個月的煤氣費如表：

月份一月份二月份三月份四月份

用氣量/m3452535

煤氣費/元441419

若五月份該家庭使用了22m3的煤氣，則其煤氣費為()

A．12.5元B．12元

C．11.5元D．11元

【解析】選A.根據表格可得C＝4，根據三月和四月的數據可得

解得A＝5，B＝0.5，

所以f(x)＝f(22)＝12.5.

題7．在直角坐標平面內的兩個不同點M，N滿足條件：①M，N都在函數y＝f(x)的圖象上；②M，N關于原點對稱．則稱點對[M，N]為函數y＝f(x)的一對“友好點對”(注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”).已知函數f(x)＝則此函數“友好點對”有()

A．0個B．1個

C．2個D．3個

【解析】選A.由函數f(x)＝

當x＞0時，可得－x＜0，則f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x，

則函數y＝－x2－4x(x≤0)的圖象關于原點對稱的函數為y＝x2－4x(x≥0)，

由題意知，作出函數y＝x2－4x(x≥0)的圖象及函數y＝2x(x＞0)的圖象，如圖所示，

由圖象及指數函數、冪函數的變化速度可得兩個函數圖象沒有交點，即函數f(x)的“友好點對”有0個．

題8．統計學家對人體的眼睛詳細研究后發現：我們的眼睛看到圖形面積的大小與此圖形實際面積的0.7次方成正比．例如：大圖形是小圖形的3倍，眼睛感覺到的只有30.7(約2.16)倍．觀察某個國家地圖，感覺全國面積約為某縣面積的10倍，那么這個國家的實際面積大約是該縣面積的(lg2≈0.3010，lg3＝0.4771，lg7≈0.8451)()

A．18倍B．21倍

C．24倍D．27倍

【解析】選D.由題意可知，看到圖形面積大小y與圖形實際面積x之間滿足y＝x0.7，所以若看到全國面積約為某縣面積的10倍，則10＝x0.7，解得lgx＝≈1.43，因為lg27＝3lg3≈1.43，所以x≈27.

題9(多選題)．下面說法正確的有()

A．f(x)＝log2(x－1)的零點是(2，0)

B．f(x)＝－log2x與f(x)＝()x互為反函數

C．已知p：x∈R，＞0，則﹁p：x∈R，≤0

D．f(x)＝不是偶函數

【解析】選BD.令x－1＝1，則x＝2，所以f(x)＝log2(x－1)的零點是x＝2，不是(2，0)，所以A錯誤；

f(x)＝－log2x＝與f(x)＝()x互為反函數，所以B正確；

已知p：x∈R，＞0，則﹁p：x∈R，＜0或x＝2，所以C錯誤；

f(x)＝的定義域是{x|x≠1}，不關于原點對稱，所以不是偶函數，所以D正確．

題10(多選題)．給定函數f(x)＝，則下列說法正確的是()

A．f(x)的圖象關于原點對稱

B．f(x)的值域是[－1，1]

C．f(x)在區間[1，＋∞)上是增函數

D．f(x)有三個零點

【解析】選AB.因為函數f(x)的定義域為R，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函數f(x)是奇函數，

所以f(x)的圖象關于原點對稱，故A正確；當x＝0時，f(x)＝0，

當x≠0時，f(x)＝，又x＋≥2或x＋≤－2，所以0＜f(x)≤1或－1≤f(x)＜0，

綜上得f(x)的值域為[－1，1]，故B正確；因為t＝x＋在[1，＋∞)單調遞增，所以由B選項解析得，f(x)在區間[1，＋∞)上是減函數，故C不正確；

令f(x)＝0，即＝0，解得x＝0，故D不正確．

題11(多選題)．設函數f(x)＝若實數a，b，c滿足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c).則下列結論恒成立的是()

A．ab＝1B．c－a＝

C．b2－4ac＜0D．a＋c＜2b

【解析】選ABC.根據函數表達式作出函數圖象；

設f(a)＝f(b)＝f(c)＝k，則0＜k＜1；

因為0＜a＜b＜c，則a＝()k，b＝2k，c＝()k＋；

選項A，ab＝()k·2k＝1，正確；

選項B，c－a＝()k＋－()k＝，正確；

選項C，b2－4ac＝(2k)2－4×()k[()k＋]，設2k＝t∈(1，2)，則b2－4ac＝t2－－；

設h(t)＝t2－－，由y＝t2，y＝－，y＝在(1，2)均為增函數，

則函數h(t)在(1，2)上單調遞增，則h(t)＜h(2)＝4－1－3＝0；

所以b2－4ac＜0成立，正確；

選項D，取k＝，有a＋c＝＞2b＝2，錯誤．

題12(多選題)．下列幾個說法，其中正確的有()

A．已知函數f(x)的定義域是，則f(2x)的定義域是(－1，3]

B．當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則實數m的取值范圍為m＜－5

C．已知關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的一根比1大且另一根比1小，則實數a的取值范圍是a＜－1或a＞0

D．若函數f(x)＝4＋x2ln在區間[－，]上的最大值與最小值分別為M和m，則M＋m＝8

【解析】選AD.對于A，因為函數f(x)的定義域是，所以由＜2x≤8，得－1＜x≤3，所以f(2x)的定義域是(－1，3]，所以A正確；

對于B，當x∈(1，2)時，由x2＋mx＋4＜0得m＜－恒成立，因為x∈(1，2)所以－5＜－＜－4，所以m≤－5，所以B錯誤，

對于C，令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a，因為關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的一根比1大且另一根比1小，所以f(1)＜0，即a2＋a＜0，得－1＜a＜0，所以C錯誤，

對于D，令g(x)＝x2ln，在區間[－，]上，因為g(－x)＝(－x)2ln＝x2ln()－1＝－x2ln()＝－g(x)，所以g(x)＝x2ln為奇函數，所以g(x)的最大值與最小值的和為0，所以f(x)最大值與最小值的和為8，所以D正確．

題13．某學校決定對教室用藥熏消毒法進行消毒，根據藥學原理，從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為y＝據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室學習．那么從藥物釋放開始，至少需要經過____________小時后，學生才能回到教室．

【解析】當0≤t≤0.1時，y＝10t＝0.25，t＝0.025，但是隨著時間的增加，室內的含藥量也在增加，所以此時學生不能回到教室，所以有y≤0.25＝，所以，所以t－0.1≥，所以t≥0.6，所以至少需要經過0.6小時后，學生才能回到教室．

答案：0.6

題14．已知函數y＝x2－4x＋m，若該函數的兩個零點都在區間[1，＋∞)內，則實數m的取值范圍是____________；若該函數僅有一個零點在區間[1，＋∞)內則實數m的取值范圍是____________．

【解析】(1)由二次函數y＝x2－4x＋m有兩個零點都在區間[1，＋∞)內，函數對稱軸為x＝2，

結合二次函數的圖象與零點存在性定理可知，

解得3≤m≤4，所以實數m的取值范圍為[3，4]；

(2)若該函數僅有一個零點在區間[1，＋∞)內，則有

①當函數只有一個零點時，解得m＝4；

②當函數有兩個不同的零點時，解得m＜3；

綜上，實數m的取值范圍是(－∞，3)∪{4}．

答案：[3，4](－∞，3)∪{4}

題15．某水果超市從12月15日至1月5日(共計22天，12月15日為第1天，12月16日為第2天，…，1月5日為第22天)，某種蘋果的銷售量y千克隨時間第x天變化的函數圖象如圖所示，則該超市在12月20日大約賣出了這種蘋果____________千克．

【解析】當1≤x≤10時，設直線方程為y＝kx＋b，

將點(1，10)，(10，30)代入直線方程解得k＝，b＝，

故y＝x＋.當x＝6時，y＝≈21.

答案：21

題16．已知函數f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數．

(1)求實數k的值；

(2)設g(x)＝m，若f(x)＝g(x)最多有一個實數解，求實數m的取值范圍．

【解析】(1)因為f(x)是偶函數，

所以f(x)＝f(－x)，

即log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx恒成立，故log4＝－2kx恒成立，

又log4＝log4＝log44x＝x，所以x＝－2kx在x∈R上恒成立，即k＝－.

(2)由(1)知：f(x)＝log4(4x＋1)－，

令x1＞x2＞0，則f(x1)－f(x2)＝log4(＋1)－－log4(4＋1)＋

＝log4－log4＝log4，

又2＋2－2－2＝(2－1)(2－2)＞0，

所以2＋2＞2＋2，即f(x1)－f(x2)＞0，

所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上遞增，由偶函數知：在(－∞，0)上遞減，

所以f(x)≥f(0)＝，要使f(x)＝g(x)＝m最多有一個實數解，則m≤.

所以實數m的取值范圍為.

題17．已知函數f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1).

(1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；

(2)若f(x)在[1，3]上有零點，求實數a的取值范圍．

【解析】(1)函數f(x)的圖象為開口向上，對稱軸為直線x＝a的拋物線，所以f(x)在[1，a]上單調遞減，

所以即解得a＝2.

(2)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)在[1，3]上有零點，即x2－2ax＋5＝0在[1，3]上有解，

即2a＝x＋在[1，3]上有解．

令h(x)＝x＋，因為h(x)＝x＋在[1，]上是減函數，在[，3]上是增函數，

所以2≤h(x)≤6，所以2≤2a≤6，所以≤a≤3，