高中數學貫穿高中階段的200條知識點.元素與集合的關系芯已A=苴爸G/，3keQ-J臺工更X,.德摩根公式Cr-(jn.2)=Cl-AuG比uJ)=c「4flClB,4包含關系MDS=X=JUB=工3aCl.BcCl-AQS=①QQ-ytU^=無.容斥原理cardUA)二cardA+cardB-carti(A「B)U2UU>=curcLi十cardB-vcardC—card(A°E)一皿d(A門約-eard(BDQ-CM)+card(AA^AC).5.集合卬呵，…烏｝的子集個數共有印個；真子集有3-：1個：羊空子集有廠-1個；非空的真子集有二-2個.6,二次函數為解析式的三種形式(1)一般式/出=后十以十47H0)；(2)頂點式.國=日(工-獷+鼠a工0)；：；3.；零點式汽工)=口(文-為乂工-電溫*0).工解連不等式津常有以下轉化形式、皿、MVN.M-N4力—A「八= 、 .)(0―N嘰.. .= 8,方程?、?0在后;上)上有且只有一個實根［與不等價，前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程加+打工十e=0g=。)有且只有一個實根在困丸)內，等價于TOC\o"1-5"\h\z,或f的)二。且瓦二-一y—一：二，或了的)=0且2<7 2右十七 b,— <--<Jt,.2 2a.閉氏間上的二次函數的最值二次函數」(X)二一+5工+武。工0)在I壬區間艮4]上的最值只能在尤=_g處及區間的兩端點處取得，具體如下：2&(1)當屋。時，若玄=—--E值㈤，則2a/Mhh：=/(--、曰｛/<M:/⑷｝；2ax=—。史區4f3妗｛/⑶J(g?，/⑴坨擾,近｛/(^)=/(?>｝.⑵當也<0時，若》=-5匕區力則/住得=hW3)J(血;若更M4則皿=max(/Cp):/(^)}J/Cm=min(/(p>:/(^)]..一元二次方程的實根分布依據：若/金>/㈤ 則方程/㈤=口在區間切㈤內至少有一個實根.設/00=丐+尸匯寺中才貝U(1)方程F3=0在區間(阻+^)內有根的充要條件為f(m)=G產一4口之0P ；-->掙12(21方程/(x)二。在區日一(也㈤三爺根.無充要條件為/(m)/(K)<0或，以、心口/(?)>0 或，以、心口/(?)>0 、7?1—之?；颉癙m<-—<?7'真因二?道V?5))0了5)=0*aftm)>0'(3)方程/8二。在區同(7㈤內尋根的充要條件為/(m)<0戶二一4《之0或P---<11，.定區間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據①在給定區間(>鼠珂的子區閭上(形如&用，?-嗎閭.M同

不同）上含參數的二次不等式門X浪o（『為參數）恒成立的充要條件是/（中》.之0仁名￡）.（2）在給定區間Jxg）的子區間上含參數的二次不等式（f為參數）恒成立的充要條件是/（甚。皿4。（.七更L）.a>0（3）f（_x）二or，十陽十c>口恒成立的充要條件是b>0或o0a<0V￥—A-ac<014.四種命題的相互關系若非P則非Q14.四種命題的相互關系若非P則非Q互逆Pq非pp或qp且qM冒.假真.假假真：假假M1B假.假傀真假假13.常見結論的否定形式原結論反設詞原結論反謾詞是忝是至少有一個一個也沒有都是不都是至終有一個至小有兩個大于不大于至少有出個’至多有（中-1）,個小于不小于至多有孔個至少有（上十1￥個對所有X，成交存在某X；不成立P颯一中且「反?對任何打不成遼存在某，J成上〃且4F?或「用逆命題若q則p互為 互否逆否逆否命題若非Q貝琳P.充要條件（1）充分條件:若png,則總是g充分條件.（2）必要條件；若g個F，則p是.必要條件.（3）充要條件，若尸=＞§,且gn尸，則p是q充要條件-注;如果目是乙的■充分條件T則乙是甲的疝要條件；反之亦然..函數的單調性Q）設再.巧匕］看了三那么Q］-均）卜⑷-/5）］＞0。弋二產〉口°。正危上耳上是增函數:a- 『區）k。。一二二二?三：■《。=/工）在@可上是減函物一 再丐（2）設函數產汽切在某個區間內可導，如果門》＞0,則一㈤為增函數：如果/3亡5則代公為減函數.行.如果函數了㈤和w㈤都是減函數，則在公共定義域內，和函數與劉十樂》也是減函數；如果函數f=/W）和察=宮⑴在其對應的定義域上都是減函數，則復臺函數片m31是增函數.1S.奇偶函數的圖象特征奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對標;反過來,如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數， _.若函數丁二八月是偶函數，則/&十力=/（-工-0；若函數￥=/燧卜力是偶函數,則/（元+時=/（-工+嘰.對于函數尸=外0（第七尺）“仁十⑦=?。▎?切恒成立，則圖數的對稱軸是函數工=彳；兩個函數y=十力與F=/他-力的圖象關于直線x二一對稱..若二工）二-八t+g,則函數十二代砌的圖象關于點0:0）對稱若」3=-fO十稅則函數p= 為周期為筋的周期函數”.多項式函數產⑻“K+4_13rl+…4%的奇偶性多項式函數F⑸是奇函數。產3的偶次項（印奇數項）的系數全為專，多項式函數玳月是偶函數O尹⑴的奇次項（即偶數項）的系數全為令，.函數了二〃工）的圖象的對稱性（1）函數f=八力的圖象關于直線,=口對稱0/（口+工）=/（口-月O/0D—工）=/出.（2）函數L的圖象關于直線丁=等對稱—f（a+知匹）=f（b—mx）=fQa+Zj—mx）=/（??2x）..兩個函數圖象的對稱性（1）函數與函數”月-工）的圖象關于直線工=0（即『軸）對稱：⑵函數p=于（曄一*與函數丫=f8-向》的圖象關于直線工=3對稱，2用（3）函數y=/<工）和）二廣1（力的圖象矢丁亙笠y=x對稱.25若將函數r=/U）的圖象右移八上移，個單位，得到函數卜,二外-4十%的圖象；著將曲線K>c1=◎的圖象右移口、上移后個單位，得到曲線/住-qp-與=。的圖象.26.互為反函數的兩個函數的關系/⑹=3尸⑶=口.2,若函數存在反函數,則其反函數為F=；［廣⑶-句，并不是y=［八（丘十5），而函數了=［八（丘十方）是>'=1［/W-&］4勺.反函數.28,幾個常見的函數方程.（D正比例函數/⑴=R/（X+>■）=f（jc）十f（y）:f（l）=c.<2）指數函數/⑴=白工,/8+j）=/⑴八琉川）=修金機（3）對數函數/（x）=l。丸工，=fM+/<>,）=/（?>=l（a>0=a1）.（4）慝函數/3=d,/5）=m

⑸余弦函數f（x）=CO5JC,正弦函數=sinx，八工一四二八工）汽M+第》成田，Q~fX}〃0）=口加?=1,3X29.幾個函數方程的周期（約定a>0）（1-）第鈍，鑼羊④，則了⑺的周期I；間(2)f(.x)=/(x+<?>=01f(jc±a)=f(jc±a)=g)孫或用+加得8g嘰或;十-尸㈤二『（工十日WO）小?,則/在）的周期T=2a；(3)，3二1一——-——(f(x)0>iELF㈤的周期T=3a^/(x十日)J（Ai+峋）=/（儀）=1（/（兩）/溝）？1二口<|而-第142G，則八用為周期T=4a；（5）f（的討5+6吐K”包曲:對交葉4尹玲=*成*第十口）汽工十%IfG；十%次為十旬,JSJ] 的，周期T=5a；（6）/（工+口）二/㈤-7（工+日）+則/㈤的周期T=6a.30,分數指數毫之1：,1'-i；n=-^=\O-Jm.fieAT*且曰>1).- 1<2xaK=—^- 0.m,wEArf且ft〉1).rlQg31.根式的性質(雙”衰.(2)當乳為奇數時，?！?；當卸為偶數時，^^目昨卜"一°.1—a:rrcU-32.有理指數募的運算性質:_1>a''￡?'=a:~~(a> ￡Q)..("),二&=(q>Q：r：5EO).⑶梅丁=//g>0：后>Q:rE0.

注：若a>OTp是一個無理,數，則密表示一個確定的實數.上述有理指數幕的運算性質，對于無理數指數惠都適用.33.指數式與對數式的互化式￡。品N=b0S=耳 口:。于1=N+0）.34,.對數的換底公式冥且口工】：,優冥且口工】：,優nO,且叨工，A「>0）.推論logy=—logdb（￡7>0,且仃>1,%璉、。,且用于1』并產1,掙1.V>0）.35.對數的四則運算法則若2>3a^bM>0,N>0,貝!！10gLXa/N）=3MM十后心州；a）lag^=logaA/-loga.V;（3）1"衛虹 虹（叱町,36,設函數/㈤二10限（如】十如十c?hO）,記A=51-4礎.若?、榈亩x域為M則公1且；若汽匯）的值域為"則口>0,且心。.對于。=0的情形，需要單獨檢驗.37_對數換底不等式及其推廣若力％。，i>0,3t>0, 則函數了二儂具蚯）（1）當c百時，在@3和（L”）上丁=3舐（3為增函數.a ct. ⑵當僅C白時,在g3和J+X）上『=匕%（與為減函數，aa推論：設內）附。1，p>0*a>Qf且心工1,貝L111k>昌陽+f（jt+P）《1口口俎乳.I工［logsml（xSan<log^^—.38,平均增長率的問題如果原來產值的基礎數為N,平均增長率為力則對于時間元的總產值門有）=陽1+⑼二39..數列的同項公式與前口項的和的關系

（數列4%）的前II項的和為%=+4+.-.+丹）.40,等差數列的通項公式&=+(總-1必=E抬+$一H(kEA7*);其前II項和公式為d2. 1皿=—+（口］一_d）冷.4L等比數列的通項公式其前11項的和公式為42.等比差數列上」:—歿干磷比融的*0）的通項公式為&十（臨=1TOC\o"1-5"\h\z%=V附'.+3—萬）號“一一一壯 ;一二 :-- -］L年-1其前口項和公式為修5~1■網修一1}H:（q=1）4=廠d、1—/d 八，- 3---）—V+；—展g工DI—q/—1 1-q.分期付款（按揭貸款）每次還款工=筌工元（貸款口元沖次還清［每期利率為白〉q+bjL—1.常見三角不等式（［匚若比E。馬，貝Gsiiijcex<tanm.若he(Ol).1<sin ■2|simc；4-|cosx[>1..同角三角函數的基本關系式g5in-&+匚口％-8=1,tan&——--，tan8-cotO-1.cos■日.正弦、余弦的誘導公式空尸為招都 nK (―I)15JHCEL如(7+陽= 對[(一1尸cosdz「K歸為硬拿) f+、亍r捽？r (-1)Jccsff,8乂 (■，：=*2 ㈣[-1)2sinor..和角與差角公式或宜《“土灼=UflMCCtE/5土C”或口產'c-os(tz =cosacos]BTsintzsin：fi；tati出土tan產團(國土用二— 三,1+tan次tan皆時試儀十向面-向=sifl，值-而"(平方正弦公式)；cos(ct4-/J)cos(a—/5)=cos2a—sin2p,os■出+匕cosa-J1十3；5由(久+乃(、轉I-J牢口所在象限由點(c?=2)的泰限決定，tan腎=色)..二倍角公式sin2d.=siniZcos凄.cas2tif=cqsicr—sin2tz=2gqsxa—\=1—25tn2a,2tan第tm"= —,1—tan*€C49.三倍角公式gr85,39=4 9—3gsF=4cm8cp3(三一08乂三十8)'33="匕=t期/骨（三—+&）,1—3的TH 3 3.三角函數的周期公式函數F=三皿/工+取），x￡R及函數量=cos（0x+如，冗￡R.%p為高數,且AW。/<0〉0）的周期丁=二1；函數了=tan（/x+g）G）工.上H+$k七Z（氏3,3為常數，目AW0,3>0）的周期『=（.5L正弦定理工二工二」="siei月sinBsinC.余弦定理<r=5,十￡，-2bccosJ;獷=L+M-2f￡7COs5；c1=ef-I-￡j2—l.abcosC.53,面積定理（1）S=g碩j=*%=；也（心想、也分別表示以、b、C邊上的高〉.（2）S=—cj&sinC=~&csin>1=-casin5.2 2 2⑶s”=I#|說卜1場：—..三角形內角和定理在△ABC中?有x十8=江=c二；t-（m+8）=?二 02。二2才一201十萬）..簡單的三角方程的通解sinh=口<=>x=k玨+(―I)1arcane?(AeZ.ia|^1),cosx=a<=>x=2A；jt±arccosEZ=；u|<1).taak=&=k=匯態+arctana(Jc€Z.c?eJ?).特別地，有sincs=siny?^=>at=江江十(-1)"做keZ).es支=cosp=m—2Kr±eZ).tanCf=tar/5 cz=匕r十P(kcZ).56,最藺單的三角不等式及其群集sinjc> r歸1)Q工曰{2kJr1arcsinf?:2k^:-rjt—arciini?)=keZ.sinx<<s(|-c?l<1)0工E(兼TT—笈一arcsina.2Ar^+arcsina).kEZ.cos工了值(舊悍1)=蒐七(2兀河一arccsa:+arccosa\k^Z.cos工匚如白色1)<=>jc三(2止7F+arccos.az1卜定+171—arccos.￡j):IceZ.tanx>a(￡t三意)nxE(kn4arctan&k7i4：)=在EZ,tanx<eR)=he{k?L——.arctankEZ..實數與向量的積的運算律設Ar□為實數，那么(1)結合律：(Jia)=(AM;⑵第一分配律：(X-u)a=Aa-ua;(3)第二分配律二人(a-b)-Aa<Ab..向量的數量稅的運算律：?b=b-a(交換律);(Aa)*b=z(a-b)=/用?b=a-(_ab);(3)(斯b》-c=a*c+b*c..平面向量基本定理如果匕1、e3是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量,有且只有一對實數人】、A2t使得a=A0+翻崎七?不共線的向量6、比叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.60,向量平行的坐標表示設展《孫乃)>b二(無，二總)j且b手。?貝LaZb(br0)令/兩一再兇=Q.53,目與b的數量積(或內積)a■b=abcos0..a-b的幾何意義數量積sl?b等于阻的長度2與b在副芭方向上的投影b：cos0的乘積..平面向量的坐標運算⑴設a二(孫乂)，b=(三二%)+則a+b=O14aM+%)，{2}設a=區H),b二(如必)，則a_b=(x1-^:y\-v2).出｝設A（&M）tB（可京），貝憶必二=（西-西|-防）.（4）設a二（七琉六人貝！ha二（qUW.（5）設a二（肛防），b=（%㈤貝Ua■b=［國十了正＞?.兩向量的夾角公式co^=-r==^7==r1田=（玉=m）,b二（丐二均））.J4+即.JM+線.平面兩點色的距離公式%二|新二點正方=Jf.一元『十〔工」—Ji）［以［工1J：）,■B〔電：后））”.向量的平行與垂直設叢二田防），b=（孫M）,且h,。,貝^Abab=&a=5產：一吭m=。.a_!_b（a^；0）＜=＞a■b=0=5石+改%二0.TOC\o"1-5"\h\z66線段的定比分公式 ^設48:乃）,鳥⑸取h尸（工仍是線段44.的分點,比是實數，且杼二尤至"貝U；_再，?巧 _ _i+工c會」…逅_-1――12 1+A1—1+―=5?=西+0—辦魂（仁一）.67.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為A（%%k5（.,巧八C值,先），則Aabc的重心的坐標是團二—二—二」s：『l）,68,點的平移公式|工=七+&IX=X—k-7 TTvJ=1 OOP=OPVPP.v=V+A：［T=l1—k注：圖形F上的任意一點P（xg在平移后圖形＞上的對應點為產（7）,且麗的坐標為的g@9.“按向量平移”的幾個結論（1）點/蒞窗按向量戰二&后平移后得到點Pg幾r十符.（2）函數沖代工＞的圖象c按向量a=（也的平移后得到圖象J則C的函數解析式為%氏-粉+匕(3)圖象d按向量a二仇。平移后得到圖象J若。的解析式尸=發明則C的函教解析式為v=g府-丘⑷曲線C：打”)=力.按向量包二由闈平移后得到圖象3則C1的方程為打算-瓦》-的=。.(5)向量印二(覆四按向量a二色后平移后得到的向量仍然為ffl=(x:y).'70-三角形五川心”向量形式的充要條件設。為團C所在平面上一點,角乩耳。所對邊長分別為口立?則0為瓦43c的外心=小丁=麗:=歷)d為AJZC的重心=■》十歷十元=K(3)。為AABC的童心Q屈.歷二51撫二沅.西.(4)。為工4ZC的內心04石”就+白灰==(5)。為ijac■的乙4的旁心W?疝5=%/+。災\71_常用不等式二&bERn核+護之2M(當且僅當a=b時取“二”號).日9員-n與蘭娟(當且僅當a=b時取J*號).13/C7-1+i'+tJ3abc(a>0:￡j>0-1t>0).(4)柯西不等式(a1十二叉”十/)>g十bd立@b:c:deR.(5)同一例二|口+b,㈤+例.72,極值定理已知茗F都是正數.，則有(1)若積可是定值_?，則當工=丁時和工十》有最小值26；(2)若和工十了是定值一則當工?時積升有最大值%，推廣已知工”即則有(工+才=(工-工丁+2空(1)若積可是定值，則當|工-團最大時J工十了|最大；當口-p|最小時"丁+川最小.(2)若和|x+mI是定值，則當I耳rI最大時，I切最?。划擨工-了I最小時，HI最大

ir3. ?！垭恫坏仁絫ix，十bx-\-c> <0)(/H0=△=3"-4口白>0),如果口與加十日工十匚同號.貝!;其解集在兩根之外；如果口三一十取十c異號，貝&其解集在兩根之間，簡言之，同號兩根之外，異號兩根之間.國工工〈問臺■（x—西乂羌一應）<0［西<j&i）;工亡餐:亞工<=>（x—石乂工一汽）O0q<X,）74,含有絕對值的不等式當心。時，有x:口今X*>0工>口目工兀<一以75.無理不等式（1）占⑶+向互O」百㈤之◎J(XP￡3⑵4八公?式⑵4八公?式40T了3之。鼠動之。 或，7w>0

占3《o，力之。C3>4尺自vm（k）=一虱自〉口76_指數不等式與對數不等式H）當日>1時?口三"a『（自>晨公;了3>。0qf（x）>logag（DC）Q，g（x）>Q⑵當0“正時，a限口備忒粉西制（期;7?>o站目上AX）>1限或力O"g（X）>0J8<氟工）77.斜率公式在=二一:匕：片（五：%）、4（過二打））■

7&直線的五種方程（1）點斜式v-的=奴工-西）（直線『過點耳5且斜率為止）.（2）斜截式”展+Mb為直線『在y軸上的截距），（3（3）兩點式上二=二%一財三一七苴，當）\4（.國.；Pl）r6《巧:了。（甌力巧））.（G截距式：+”（0、占分別為直線的橫、縱截距，久以0）（5）一般式加+型+C=。（其中A、B不同時為0）.79.兩條直線的平行和垂直fl）^r'I]：J，=十瓦[4：J,=k2KH-l?-i■Jj4II，■:=左=拓：4金瓦；②4—/s<=>%&--]..（2）若J]：4%+為》+G=。3：曲第"1■/P+G=。,且A[rA]rB[>&都不為零！，①『II4=且二旦工9；4星G②4Q44+BXB.=0；8。.夾扁公式⑴"標一a：,=匕元+&,&二]二與工+&二瓦比于T）仁）1311aHl1_4與1遙應+8/；（/「4工+鼻）十好=04:黃產+況#十q=0二44+以#:金口）.直線『1匕時，直線）】與力的夾角是]8L&到4的角公式⑴tana=二_二.]十后用（仁）=&工+&*g二丁二與工十國,比能6一1）⑵由口“明_鼻耳.'' 44十名為（；[：+國2,+c_=o,4：A^x十&“1+G=o34工與+凡打工o）.直線4q二時,直線A到&的角是1S2,四種常用直線系方程（1）定點亙線系方程：經過定點取心力）的直線系方程為挈-外二奴工-不）（除直線工二n其中在是待定的系數；經過定點昂（對此）的直線系方程為出其-與）+研p-％）=0,其中A..B是待定的系數.⑵共點直線系方程：經過兩直線4二4#十/了+0］=0，y城工十2水十6=0的交點的直線系方程為（^JC+B-^y+CL）+z（Xx5-；］.'+C;）=0（除+其中入是待定的系數.（3）平行直線系方程:直線看版十》中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程.與直線毋+用+C=0平行的直線系方程是小+格+尤=0（比二a）J入是參變量.（4）垂直直線系方程］與直線生+a+。二o（AHCbBW0）垂直的直線系方程是以-為高=力工是參變量.83.點到直線的距離八號等薩1（點直線/：小十母十已=0）.84,出:十母■十c＞o或c口所表示的平面區域設直線一石+44。=。.則為+於'+C%。或m所表示的平面區域是：若田工0上當8與本+為'+C同號時，表示直線『的上方的區域;當又與￡+為+C異號時，表示直線/的下方的區域.簡言之:同號在上，異號在下.若需=0,當/與取+坳+C同號時，表示直線『的右方的區域;當W與也+為+C異號時,表示直線f的左方的區域,.尚言之，同號在右，異號在左. 、85.（/聲+Bj3Gx4尤+占P+GA0或父。所表示的平面區域設曲線c：qv+丞f+gx遙看+a在+G）=。（鳥當此外工。），貝!！Q4/49金+匚說4工4%）斗弓）＞口或￡口所表示的平面區域是:（中十/F十GX4七十分,十G”G所表示的平面區域上下兩部分；（4x+Ej+GX4x+%+G）＜。所表示的平面區域上下兩部分.86,圓的四種方程

（1）圓的標準方程（工-4十@-%尸=d.（2）圓的一般方程三4+尸=。①口+5-4聲＜3）圓的參數方程；—y=￡i+rsin&（4）圓的直徑式方程也-西后-西）+5-理分-為）=。（圓的直徑的端點是出在J，）、取笑.））,.園系方程（1）過點以&ji）,身:天通）的圓系方程是（胃一藥算工一9）十（v-^X?-v2）+x［（jr-再X巧-*J-（v-M）（*—七）］=0=（鬣一百）（犬一9）+（下一HX＞一%）+距比+加+或=。j其中g■十%+a=G是直線里的方程，入是待定的系數.⑵過直線F：缶:+即+C=0與圓C：,，+/+加+號”=0的交點的圓系方程是儲十/十Qx十迎十F十用小;十為十⑦=0,人是待定的系數.過圓G： 3+工二+馬工+區丁4耳=0與圓G:『十尸:十鼻工十耳了十月=。的交點的圓系方程是/+F*十9工~1■西尸~1■耳-!--Z（jr+y*4~刃/+亙■:靠+再）=0,A侍定的系婁i..點與圓的位置關系 ’點尸與圓（買-城+O-獷=6的位置關系有三種若d=十g_*則dAF=點產在圓外：d=尸一點？在圓上；d5=點?在園內，89,直線與圓的位置關系直線的+為+C=0與圓（又一口尸4（f一5尸=『的位置關系有三種：d＞k=相離合A。0；壯二F=相切＜=＞A=0,：壯士￥=相?交=X＞。,.兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為?！?。門半徑分別為匕,%口川廣d＞八+r＜=＞處離＜=＞4條公切線；d=勺+々臺外切03條公切線；

h—尸』父dv口+廣]=相交Q2條公切線；d二h一廣10內切Q1條公切線；0<d<心一則|=■內含=無公切名貴..圓的切線方程（1）已知圓/+》，+必+&+F=0.①若已知切點小袂）在圓上，則切線只有一條，其方程是中+9+項1力+國彳十差+產二0.當餐做）圓外時，呼+牘+號義+弛產+廣=。表示過兩個切點的切點弦方程， "②過圓外一點的切線方程可設為L典二低工-修、再利用相切條件求k,這時必有兩條切線,注意不要漏掉平行于y軸的切線.③斜率為k的切線方程可役為懺%+人再利用相切條件求b,必有兩條切線_（2）已知圓/十丁=尸.①過圓上的弓（馬打）點的切線方程為可,+pf=戶；②斜率為由的圓的切線方程為y=Ax±rJl+k^.孫橢圓三小6的參數方程是產=[%ad [v=b3ine93,橢圓三4g:1（心St））蕉半徑公式|咫|=心十?，戶周=董（一期,.橢圓的的內外部⑴點產值㈤在橢圓[+W=ig>&*的內部=寫+哮<1.Wb' *if（2）點P&J，Q在橢圓三十工=lQb"的外部a二十盛八95,橢圓的切線方程⑴橢圓三十會=l（a>^>G）上一點P（跳:汴）處的切線方程是殍十岑二1才卜.

（2）過（2）過橢圓三+J-4=igm＞為外一點外如如）所引兩條切線的切點弦方程是孝十矍=L（3）癇圓=44=&3白〉口）與直線上+為4＜?=0相切的條件是//十/職=/..雙曲線衛-的需半徑公式|嘴上心十二）|,|班卜式:-幻|?97,雙曲線的內外部⑴點打孫班）在雙曲線二-1=1＜心口,屋0）的內部與三一浮＞1W斤 Wb⑵點嚴（小凡）在雙曲線上《二13”10）的外部01-1＜1"獷 {/萬工.雙曲線的方程與漸近線方程的關系（1）若雙曲線方程為5—5=1=漸近線方程：g==0O"=士工.d& a⑵若漸近線方程為好±2=王土/m雙曲線可設為aaba1P⑶若雙曲線與1-W=i有公共漸近練可設為￡.匕=九＜…*焦點在X軸上.九＜0.焦點在y軸上）..雙曲線的切線方程口）雙曲線1=1（口”金》劣上一點尸小?）處的切線方程是￡1Dwy（）y—~TT~~1'ad（2）過雙曲線-C-￡-=4＞0田＞0）外一點網海;用）所引兩條切ag線的切點弦方程是鏟y&'_1~『~u~~x1ad.兩個常見的曲線系方程（1）過曲線工（五月=0,工仕尸）=0的交點的曲線系方程是族力）+防（2）=0（%為參數）.（2）共焦點的有心圓錐曲線系方程十＜二1,其中0—kb-kk亡max儲方？,當士＞曲門8［百,｝時,表不橢圓；當min max｛/方｝時」表示雙曲線“.直線與圓錐曲線相交的弦長公式|月囚|二J（7一西1＞'十（防—Mi）’或|J5|= + 電一kJ*=1西一天lIJ1十ET==藥—Vn|Jl+c■1t*=（弦瑞點A（巧:＞口33?。?，由方程，；\十心消去M得到京+加+白=0,［_F（x=y）=0A、0,應為直線登的傾斜角，比為直線的斜率）..圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線產（工工1）=0美十點成中心對稱的曲線是產匹2此一y）=°，（2）曲線產（工?。?0關于直線J±x十為,十C=0成軸對稱的曲線是.,「工五/工十曲■'十C）.28（右十揖■■十C）r'A~~/謂-r-T+京 ~,."四線”一方程對~Z 般史二次曲線Ax^十曲p十6,十7）工十迎十F=0,用jc^x代x11用收代用國產代中，用空代皿用早代［即得方程￡ 工 后3+亂研產+%下+0一若Z+工一號1+9=口.曲線的切線，切點弦，中點弦,弦中點方程均是此方程得到..證明直線與宜線的平行的思考途徑C1）轉化為判定共面二直線無交點：（2）轉化為二百線同與第三條直線平行；（3＞轉化為線面平行接C4）轉化為線面垂國；（5）轉化為面面平行.H0,證明直線與平面的平行的思考途徑CD轉化為直線與平面無公共點；(2)轉化為線線平行；(3)轉化為面面平行..證明平面與平面平行的思考途徑(1)轉化為判定二平面無公共點；(2)轉化為線面平行：(3)轉化為線面垂直..證明亙線與直線的垂直的思考途徑(1)轉化為相交垂直；⑵轉化為線面垂直；(3)轉化為線與另一線的射影垂亙；(4)轉化為線與形成射影的斜線垂直..證明直線與平面垂直的鬼考途徑(1)轉化為該直線與平面內任一直線歪直；(2)轉化為該亙線與平面內相交二直線垂亙；(3)轉化為該亙線與平面的一條垂線平行：(4)轉化為該直線垂直于另一個平行平面；(5)轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直..證明平面與平面的垂直的限考途徑(1)轉化為判斷二面角是直二面角；(2)轉化為線面垂直,.空間向曼的加法與數乘向量運算的運算律加法交換律：a+b=b+a.(2》加法結合律：(a+b)+e=a+(b+c；.⑸數乘分配律；X(a+b；=入a+Ab.116,平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個向量心取bHO),我方小㈡存在實數工使a=ArRa8三點共線=APIITA<=>AP-tABOOP-(1—f)CL4-\-tOB.城CD0JiS、詼共線且川&CD不共線O=f①且MB、CD不共線.11區共面向量定理向量P與兩個不共線的向量3、b共面的=存在實數對工4,1更7=?+￡）*1，推論空間一點P位于平面MAE內的o存在有序實數對毛了,使礪二屈十》礪，或將空間任一定點0,有序實數對工?便礪=國?+麗.對空間任一點。和不共線的三點A.B、C,滿足OP=xdA-^-yOB+zOC（工十n十x二由"則當詼=1時，對于空間任一點0,總有F、MB,C四點共面；當時,若。e平面ABC,則AA、B.C四點其面；若。武平面ABG則P、&B、C四點不共面.AB.C.D四點共面Q商與互、工共面OAD=xAB+yAC=QD=（1-x-j^S+y^OC 色平面ABC）..空間向量基本定理如果三個向量雙、b、c不共面，那么對空間任一向量p,存在一個唯一苴有序實數組軸yt7使p=xa+yb-zc.推論設。、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點匕都存在唯一的三個有序實數不yt心便訴二工既十p就十工面.12L射影公式已知向量數二出和軸3e是/上與『同方向的單位向量.作息點在『上的射影作B點在『上的射影下，則AB=AB|cos<④e;=3-e.向量的直角地標運算.設用=（藥9二心），b=1瓦也二切則（1）田+b=（丹+瓦/工+區必+寓）*'-..—JabSi—%=%一瓦=口三一%）；（3）入a=（祠/自立里）（AER）；（4）&*b=西可十0曲十佻配*123.設“芍島⑷，B&&蠲1則AR-0B—0A~(x,—jq:y2—y1：z2—4).124,空間的線線平行或垂直

TOC\o"1-5"\h\z、r工 a -—（工,白二（9 ,又|jjq=無句L1 11. ￡ *&Pb4=>0=Ab（b止0）0"=乃=入內;［丐=工巧LH 1IaJ-S= =0<=>玉米-i-j正+司馬=0.125-夾角公式設3=（碼=勺色）/b=（瓦二瓦盤）p則>2 ;■ & h\二勾自十小團十里當LU3 \ aj U/―? _ ._1 ；-，&;+藥+4試+與人方；推論g瓦+o■通+口也fvg；+<7i+鬲）面+巖+zf）j此即二維柯西不等式.126,四面體的對棱所成的角四面體加6中，與班）所成的角為凡則uO'S-—2ACBD|西西十十與句|.異耳鳥線所成角cos9=|cos.|西西十十與句|, 2, 2+必+4=^4U「__一廠im?出?J, 2, 2+必+4（其中日為異面直線9所成角，聯上分別表示異面直線2的方向向量）.直線AS與平面所成角P=arcP=arc5mA3-rai{m為平面酬的法向量）..若a超C所在半面若/與過若的平面值成前韋氏另兩邊/u,7c與平面0成的角分別是司、鳥，a3為角c■的兩個內角，則骨口,可十5也’氏=（3口,/十sin'3）5iiT8.特別地，當乙id=w時,有或口，司+sirT%=sin.若XABC所在平面若尸與過若AB的平面a成的角扎另兩邊NC,EC與平面立成的角分別是西、氏￡A為A四。的兩個內角3則tan*i9l+tan:&-.=（。口，4+ski，百）tan，9.特別地，當4以=卬時，有址n，珞+sin?珞二sin，日.13L二面角氏T-尸的平面角8二口叫80二;或.一日y8&二匕Cm,用為平面cn力的法向量）.|m||^| I制II盯I132,三余弦定理設AC是□內的任一條直線，且ECL4C,垂足為G又設&0與AB所成的角為也，AB與AC所成的角為4,AO與AC所成的司為6.貝Lcos8=匚c.0-s%,133,三射線定理若夾在平面角為印的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是%區,與二面電的棱所成的角是日，則有siiT（iJsiiii&—時『員+疝E色一2sin區疝口區cos0；同-氏區口￡1酊-?+%）（當且僅當9=90,時等號成立）.13生空間兩點間的距離公式若A（』=M，與〉#B（吃山=馬）,貝U心二14用=^AB-AB=J（石一百丫十：約一兇丁十Q口一馬于■135點。到直線/距離人=5版而尸而討（點尸在直線『上，直線『的方向向量a=PAt向量b二邁），13日異面直線間的距寓川=卓石（//是兩異面直線,其公垂向量為氤cD分別是“人上任一點,H為L旬的距離）.137.點2到平面a的距離了二西向《為平面◎的法向量，金是經過面尻的一條斜線.I川AEa）.13&異面直線上兩點距離公式d= '十陋‘十干？同kcosm.n=J尸+冽二+/一工周盟七心區守(^?=￡—AA—F").?::兩條異面直線M、b所成三角為九其公亙線眼上生長度,為11.在直線a、b上分別取兩點E、F,AE=m?AF=n,EF=d).139.三個向量和的平方公式--，- -J.-1_r —— —— —一（口+5十二）'=仃十3+c+2a-b+lb-c-\-2ca=a+b+士421口上網gs,:方）4~213卜|。|但白）421仁|.|140.長度為r的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為原“0，夾角分別為今冬生,則有「=R;R+g=CO5.2%+己以-2+ ，冬=1Osiil，g+si6244口，鳥=2.(立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例1.14L面積射影定理cos^《平面多邊形及其射影的面積分別是5、S，它們所在平面所成銳二面角的為短..斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是『，側面積和體積分別是與性部和噎轉,它的直截面的周長和面積分別是何和冷則①,等程曰=勺,,②嚓^二.作截面的依據三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行..棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比(對應角相等.對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方)；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比.

.歐拉定理《歐拉公式）廠+?―（簡單多面體的頂點數僅棱數E和面數F）.E二各面多邊形邊數和的一半,特別地，若每個面的邊數為用的多邊形』則面數F與棱數E的關系；F=（2）若每個頂點引出的棱數為俄,則頂點數V與棱數E的關系：E=g用，..球的半徑是兄則其體積/=￥列其表面積5二4ML.球的組合體（1）球與長方體的組合體；長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.（2）球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.（3）球與正四面體的組合體：棱長為門的正四面體的內切球的半徑為*心外接球的半徑為邪-148i柱體、錐體的體積%=*卜（S是柱體的底面積、歷是柱體的高）.嗑怦=g甑（5是錐體的底面積、內是錐體的身）：；,：.分類計數原理（加法原理）=的1+嗎H 卜叫*150,分步計數原理（乘法原理）y=響乂叫工…x叫,15L排列數公式舊—附）|.L口,班EN1%且小工理〉舊—附）|.L口,班EN1%且小工理〉.注:私定=1.152,排列恒等式(1)4二但一成十以廣】；(6)1!十2⑵+33+…+舊訊=01+1)1—1153.組合數公式—￡—版——1)…?！恳磺?1)_ 修！H；1N2腎?一/陰m\-(n-m)\ffa<r?),154.組合數的兩個性質⑴cr=cl:注:規定C：=L155,組合恒等式(1)m(3)片二一C^：mw(4)2r-0(5)C；+C34- 十…+C：=C匚:.⑹C：4C*j.+C；j,+C—。⑺媼y+或jyv+c：4……⑻C；+宅+3C：+…4仁二心-】.⑼/或+匕七：+…+琛。」?(10)+??+附+-*5=4.

.排列數與組合數的關系w冏_vj.pj*1.單條件排列以下各條的大前提是95個元素中取酬個元素的排列.“在位*'與“不在位”①某（特）元必在某位有,01種；②某（特）元不在某位有或—31《補集思想）=*3心|（著眼位置）=心十4/：（著眼元素）種.（2）窠貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：封上4加工抽個元在固定位的排列有星*黑種.②浮動緊貼.h個元素的全排列把k個元排在一起的排法有《方建種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有E11個Cjt<Jr+l）,把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數有種.⑶兩組元素各相同擰插空陰個大球W個小球排成一列，小球必分？E間有多少種排注？當和A制+1時，無解；當汽V附+1時』有爭=41種排法，（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和口個,各組元素分別相同的排列數為.’158.分配問題（1）（平均分組有歸屬問題）將相異的a'孔個物件等分給,個人，各得的件,其分配方法數共有TT_尸用尸僧 尸州尸"_［喇可卜！二\= .口"差"［加?航 5把■J-.（2）（平均分組無歸屬問題）將相異的也?疔個物體等分為無記號或無順序的想堆,其分配方法數共有ml（叫龍（3）（非平均分組有歸屬問題）將相異的P（Pf54…+門_）個物體分給次個人，物件必須被分完，分別得到批小件，體分給次個人，物件必須被分完，分別得到批小件，/這初個數彼此不相等，則其分配方法數共有小代一小晨（4）（非完全平均分組有歸屬問題）將相異的FT和+1V…個物體分給次個人，物件必須被分完，分別得到”M…，心件,且啊，%這次個數中分別有a、L匚、…個相等，則其分配方法數有N=中與；/一澗=——也——.出白5!… %％!…/!（小分!e!…）（G（非平均分組無歸屬問題）將相異的POiV為十…+Q個物體分為任意的修，與，…，％；件無記號的跳堆，且修，嗎,…,/這加個數彼此不相等,則其分配方法數有町陽…叫（6）（非完全平均分組無歸屬問題）將相異的P（PF|S+…+0個物體分為任意的巧$瑪.…j2件無記號的加堆,且/,%"…3時這次個數中分別有3出C、…個相等，則其分配方法數有《7）（限定分組有歸屬問題）將相異的中【尸二弭+叫十…+縱）個物體分給甲'乙、丙， 等班個人，物體必須被分完，如果指定甲得利件,乙得叱件f丙得巧件,…時》則無論沔》限等屈個數是否全相異或不全相異其分配方法數恒有159.“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信用封信與口個信封全部錯位的組合數為 F（-1）^一］.41 加推廣：叫個元素與耳個位置［其中至少有陰個元素錯位的不同組合總數為/8時=4—03—罩十比5-?）!—C&—沙十片伊一到 +（—1了C氫內一戶）!+…+（-1）*。在內一嘮！160.不定方程均+西+…+/=加的解的個數(1)方程三+/+--+/=出(GV*)的正整數解有'Ct個一(2)方程再飛+…十賴-m(&msw.M*)的非負整數解有個.⑶方程通+…七。=例(鼻耳后y)滿足條件天“(丘產,2M的l1)的非負整數解有0欲7個.⑷方程西+西+…+/=也(n:jnexV*)滿足條件維工兀(丘個，2 )的正整數解有-C1C*i十C」C^i 個.mtbtLx_2ur^nk_2irfKTR-iJM b_2Elr~f-T在.二項式定理g十曠二號十十c：產%a十，?,十十小十c酎；二項展開式的通項公式了有二仁產寶①二川,？…,江.等可能性事件的概率.互斥事件A,B分別發生的概率的和p(a+b)=p(a)+p(b).j個互斥事件分別發生的概率的和F(Ai+42T FAn)=P(Ai)+P(A2)H FPUn)..獨立事件A,B同時發生的概率P(A*B)=P(A)*P(b￡.n個獨立事件同時發生的概率P(Ai-A2 An)=P(Ai)■P(A2) F(AQ.16An次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率.離散型隨機變量的分布列的兩個性質￡之儀i=12…)；(2)4+用+…=1...數學期望=國或+9用+…+小舄+…170.數學期望的性質（1）萬（□手+》）二口￡（?。?$,（2）若！?電乾二⑼，貝［|24=呼.⑶若占服從幾何分布,且產仁=階=既用=產產,則碼」.P17L方差M=（西—Eg-m十后—邃」-為十…十（再―E4廣口+….標準差遭二世，.方差的性質（1〉口（遭+白］=山，必；（2）若4?砥氏p）*貝二即（1一⑼一⑶若《服從幾何分布，且F（"粉二出則瑯咦..方差與期望的關系 「竺=衛$-（糜%171正態分布密度函數/⑺=卞=7-一：萬4-取十融卜式中m勺實數口,cr（八。）是參中陽6數,分別表示個體的平均數與標準差..標準正態分布密度函數于3=1飛笈6曰'二.對于陽國寸），取值小于冥的概率尸㈤m產（工1<x0<x/l=尸（工<jc21—F［x<kJ三F——二晨三及二