PAGE空間直角坐標系要點一、空間直角坐標系1.空間直角坐標系從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是xOy平面、yOz平面、zOx平面.要點二、空間直角坐標系中點的坐標1.空間直角坐標系中對稱點的坐標在空間直角坐標系中，點，則有點關于原點的對稱點是；點關于橫軸(x軸)的對稱點是；點關于縱軸(y軸)的對稱點是；點關于豎軸(z軸)的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是.要點三、空間兩點間距離公式1.空間兩點間距離公式空間中有兩點，則此兩點間的距離.特別地，點與原點間的距離公式為.2.空間線段中點坐標空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標為.【典型例題】類型一：空間坐標系例1．畫一個正方體ABCD—A1B1C1D1，以A為坐標原點，以棱AB、AD、AA1所在直線為坐標軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系。（1）求各頂點的坐標；（2）求棱C1C中點的坐標；（3）求平面AA1B1B對角線交點的坐標。【解析】如圖所示，由棱長為1，可得（1）各頂點坐標分別是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；（2）棱CC1中點為；（3）平面AA1B1B對角線交點為。舉一反三：【變式1】在如圖所示的空間直角坐標系中，OABC—D1A1B1C1是單位正方體，N是BB1的中點，求這個單位正方體各頂點和點N的坐標．【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。例2．（1）在空間直角坐標系中，點P（－2，1，4）關于x軸對稱的點的坐標是（）．A．（－2，1，－4）B．（－2，－1，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）（2）在空間直角坐標系中，點P（－2，1，4）關于xOy平面對稱的點的坐標是（）．A．（－2，1，－4）B．（－2，－l，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）【答案】（1）B（2）A舉一反三：【變式1】如圖，長方體中，|OA|=4，|OC|=6，，與相交于點P，則點P的坐標是（）A．（6，2，1）B．（1，2，6）C．（4，6，2）D．（2，6，1）【答案】D【解析】根據題意，得：點B（4，6，0），點（0，6，2），且P是的中點，∴，即P（2，6，1）．類型二：兩點間的距離公式例3．如圖所示，在長方體OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，過點O作OD⊥AC于D，求點O1到點D的距離。【解析】由題意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）設D（x，y，0）在Rt△AOC中，|OA|=2，|OC|=3，，∴如右圖，過點D分別作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，則Rt△ODA與Rt△OMD相似，可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴同樣的，利用Rt△ODC與Rt△ODN相似，可得．∴∴舉一反三：【變式1】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，點M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且為C1D的中點，求M、N兩點間的距離．【答案】M、N兩點間的距離為。【變式2】在空間直角坐標系中，解答下列各題：（1）在x軸上求一點P，使它與點P0（4，1，2）的距離為；（2）在xOy平面內的直線x+y=1上確定一點M，使它到點N（6，5，1）的距離最小．【解析】（1）設點P的坐標是（x，0，0），由題意，即，∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1．∴點P坐標為（9，0，0）或（―1，0，0）．先設點M（x，1―x，0），然后利用空間兩點的距離公式表示出距離，最后根據二次函數研究最值即可．（2）設點M（x，1―x，0）則∴當x=1時，．∴點M的坐標為（1，0，0）時到點N（6，5，1）的距離最小．例4．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為平面A1B1C1D1的中心，求證：PA⊥PB1．【解析】如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，設棱長為1，則A（1，0，0），B1（1，1，1），，由兩點間的距離公式得：，，。∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．例5．正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，點M在AC上移動，點N在BF上移動。若|CM|=|BN|=a（）。（1）求MN的長度；（2）當a為何值時，MN的長度最短。【解析】因為平面ABCD⊥平面ABEF，且交線為AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE兩兩垂直。取B為坐標原點，過BA，BE，BC的直線分別為x軸，y軸和z軸，空間直角坐標系。因為|BC|=1，|CM|=a，且點M在坐標平面xBz內且在正方形ABCD的對角線上，所以點因為點N在坐標平面xBy內且在正方形ABEF的對角線上，|BN|=a，所以點（1）由空間兩點間的距離公式，得：，即MN的長度為（2）由（1）得，當（滿足）時，取得最小值，即MN的長度最短，最短為舉一反三：【變式1】正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為1，M為AC的中點，點N在DD1上運動，求|MN|的最小值.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意可知點M的坐標為(，，0)，由于點N在z軸上，故設N的坐標為(0，0，z)，由兩點間的距離公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，∴當點N在原點時，|MN|有最小值為.【鞏固練習】1．點（1，0，2）位于（）．A．y軸上B．x軸上C．xOz平面內D．yOz平面內1．【答案】C【解析】點（1，0，2）的縱坐標為0，所以該點在xOz平面內．2．點P（－1，2，3）關于xOy平面對稱的點的坐標是（）．A．（1，2，3）B．（－1，－2，3C．（－1，2，－3）D．（1，－2，－3）2．【答案】C3．在空間直角坐標系中，點P（3，4，5）關于yOz平面對稱的點的坐標為（）．A．（－3，4，5）B．（－3，－4，5）C．（3，－4，－5）D．（－3，4，－5）3．【答案】A【解析】關于yOz平面對稱則對應y、z值不變．4．在空間直角坐標系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）兩點的位置關系是（）．A．關于x軸對稱B．關于yOz平面對稱C．關于坐標原點對稱D．以上都不對4．【答案】C5．已知A（―3，1，―4），B（5，―3，6），設線段AB的中點為M，點A關于x軸的對稱點為N，則|MN|=（）A．3B．4C．5D．65．【答案】C【解析】∵A（―3，1，―4），B（5，―3，6），線段AB的中點為M，∴M（1，―1，1）點A（―3，1，―4）關于x軸的對稱點為N，N（―3，―1，4），∴．6．△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則△ABC的形狀為（）．A．正三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形6．【答案】C【解析】由空間兩點間的距離公式易得，，，，因為|AC|2=|BC|2=|AB|2，所以△ABC為直角三角形7．在空間直角坐標系中，x軸上到點P（4，1，2）的點的距離為的點有（）．A．0個B．1個C．2個D．無數個7．【答案】C【解析】該點的坐標可設為（a，0，0），則有，即(a－4)2=25，解得a=0或a=－1，所以滿足條件的點為（9，0，0）或（－1，0，0）．8．到兩點A（3，4，5），B（－2，3，0）距離相等的點（x，y，z）的坐標滿足的條件是（）．A．10x+2y+10z－37=0B．5x－y+5z－37=0C．10x－y+10z+37=0D．10x－2y+10+37=08．【答案】A【解析】由已知得|MA|=|MB|，即，化簡得10x+2y+10z－37=0．9．已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，則z=________．9．【答案】【解析】由，解得10．已知點A（1，，－5），B（2，－7，－2），則|AB|的最小值為________．10．【答案】【解析】由空間兩點間的距離公式易得，所以當a=－1時，|AB|的值最小，最小值為．11．在空間直角坐標系中，已知點A（2，4，―3），B（0，6，―1），則以線段AB為直徑的圓的面積等于________．11．【答案】3π【解析】∵點A（2，4，―3），B（0，6，―1），∴，∴以線段AB為直徑的圓的半徑為，面積等于．12．若A（1，2，1），B（2，2，2），點P在x軸上，且|PA|=|PB|，則點P的坐標為________．12．【答案】（3，0，0）【解析】由題意設P（x，0，0）∵A（1，2，1），B（2，2，2），|PA|=|PB|，∴，解得x=3．13．（1）在z軸上求與點A（―4，1，7）和B（3，5，―2）等距離的點的坐標．（2）在yOz平面上，求與點A（3，1，2）、B（4，―2，―2）和C（0，5，1）等距離的點的坐標．13．【解析】（1）由題意設C（0，0，z），∵C與點A（―4，1，7）和點B（3，5，―2）等距離，∴|AC|=|BC|，∴，∴18z=28，∴，∴C點的坐標是．（2）設yOz平面內一點D（0，y，z）與A，B，C三點距離相等，則有|AP|2=9+(1―y)2+(2―z)2，|BP|2=16+2(2+y)2+(2+z)2，|CP|2=(5―y)2+(1―z)2，由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，得化簡可得，解得∴點P（0，1，－2）為yOz平面內到A，B，C三點等距離的點．14．如圖以正方體的三條棱所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．（1）當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究|