/2022-2023學年九年級數學上冊章節同步實驗班培優題型變式訓練（人教版）25.2用列舉法求概率題型導航用用列舉法求概率列舉法求概率題型1列舉法求概率列表法或樹狀圖法求概率題型2列表法或樹狀圖法求概率游戲的公平性題型3游戲的公平性題型變式【題型1】列舉法求概率1．（2022·全國·九年級課時練習）假定按同一種方式擲兩枚均勻硬幣，如果第一枚出現正面朝上，第二枚出現反面朝上，就記為（正，反），如此類推，出現（反，反）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由列舉法可得：擲兩枚硬幣，所有等可能的結果有：正正，正反，反正，反反，其中出現（反，反）的情況有1種，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵擲兩枚硬幣，所有等可能的結果有：正正，正反，反正，反反，其中出現（反，反）的情況有1種，∴（反，反）的概率．故選：D【點睛】本題考查了列舉法求概率，解本題的關鍵在熟練掌握概率公式．概率=所求情況數與總情況數之比．【變式1-1】2．（2021·四川·平昌縣中小學教學研究室九年級期末）如圖所示的電路中，當隨機閉合開關中的兩個時，能夠讓燈泡發光的概率為_________．【答案】【分析】根據題意可得：隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，有3種方法，其中有兩種能夠讓燈泡發光，故其概率為．【詳解】解：因為隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，有3種方法，分別為：；；；其中有2種能夠讓燈泡發光，分別是；；所以P（燈泡發光）=．故本題答案為：．【點睛】本題考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．【題型2】列表法或樹狀圖法求概率1．（2022·山西呂梁·九年級期末）第十四屆全國運動會會徽吉祥物發布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的設計方案是以陜西秦嶺獨有的四種國寶級動物“鹮朱、大熊貓、羚牛、金絲猴”為創意原型．小明和小彬各從四個吉祥物中選擇一個制作成繪畫作品，參與學校舉辦的繪畫展，則他們選中“朱朱”和“金金”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的結果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的結果有2種，∴小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的概率為，故選：C．【點睛】本題考查了樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．【變式2-1】2．（2022·全國·九年級單元測試）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，如果這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經過這個十字路口時，第一輛車向左轉，第二輛車向右轉的概率是__．【答案】【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中第一輛車向左轉，第二輛車向右轉的結果有1種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中第一輛車向左轉，第二輛車向右轉的結果有1種，∴第一輛車向左轉，第二輛車向右轉的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．【題型3】游戲的公平性1．（2022·全國·九年級單元測試）甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，描述錯誤的是（

）A．甲，乙獲勝的概率均低于0.5 B．甲，乙獲勝的概率相同C．甲，乙獲勝的概率均高于0.5 D．游戲公平【答案】C【分析】根據游戲結局共有三種情形，其中甲、乙獲勝的概率都為，即可求解．【詳解】解：甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，結局有甲獲勝（乙輸）、平局、乙獲勝（甲輸），三種結局，其中，甲、乙獲勝的概率都為，則A，B，D，選項正確，C選項錯誤．故選C【點睛】本題考查了概率公式求概率，游戲的公平性，求得概率是解題的關鍵．【變式3-1】2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，有8張標記數字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個游戲，規則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數字必須連續）；最后一個將卡片取完的人獲勝．若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則________（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是________．（只填一種方案即可）【答案】

甲

取走標記5，6，7的卡片（答案不唯一）【分析】由游戲規則分析判斷即可作出結論．【詳解】解：若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，為4，5或5，6，則剩余的卡片為1，6或1，4，然后乙只能取走一張卡片，最后甲將一張卡片取完，則甲一定獲勝；若甲首次取走標記數字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：乙取走5，6，7，則甲再取走4和8中的一個，最后乙取走剩下的一個，則乙一定獲勝，故答案為：甲；5，6，7（答案不唯一）．【點睛】本題考查游戲公平性，理解游戲規則是解答的關鍵．專項訓練一．選擇題1．（2022·全國·九年級單元測試）擲一枚質地均勻的骰子，前3次都是6點朝上，擲第4次時6點朝上的概率是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據概率的意義進行解答即可．【詳解】解：擲一枚質地均勻的骰子，前3次都是6點朝上，擲第4次時，不會受前3次的影響，擲第4次時仍有6種等可能出現的結果，其中6點朝上的有1種，所以擲第4次時6點朝上的概率是，故選：D．【點睛】本題考查簡單隨機事件的概率，理解概率的意義是正確解答的前提，列舉出所有等可能出現的結果情況是解決問題的關鍵．2．（2021·遼寧大連·一模）把標號為1，2，3的三個小球放入一個不透明的口袋中，隨機摸取一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球，兩次取出的小球的標號的和大于3的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的小球標號和大于3的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：根據題意，畫樹狀圖如下：共有9種等可能結果，其中兩次摸出的小球標號的和大于3的有6種，∴兩次摸出的小球標號的和大于3的概率是，故選：D【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．3．（2021·遼寧阜新·中考真題）小穎有兩頂帽子，分別為紅色和黑色，有三條圍巾，分別為紅色、黑色和白色，她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列表法或樹狀圖即可解決．【詳解】分別用r、b代表紅色帽子、黑色帽子，用R、B、W分別代表紅色圍巾、黑色圍巾、白色圍巾，列表如下：RBWrrRrBrWbbRbBbW則所有可能的結果數為6種，其中恰好為紅色帽子和紅色圍巾的結果數為1種，根據概率公式，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是．故選：C．【點睛】本題考查了簡單事件的概率，常用列表法或畫樹狀圖來求解．4．（2022·全國·九年級單元測試）甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，描述錯誤的是（

）A．甲，乙獲勝的概率均低于0.5 B．甲，乙獲勝的概率相同C．甲，乙獲勝的概率均高于0.5 D．游戲公平【答案】C【分析】根據游戲結局共有三種情形，其中甲、乙獲勝的概率都為，即可求解．【詳解】解：甲、乙兩人玩“石頭，剪刀，布”的游戲，約定只玩一局，結局有甲獲勝（乙輸）、平局、乙獲勝（甲輸），三種結局，其中，甲、乙獲勝的概率都為，則A，B，D，選項正確，C選項錯誤．故選C【點睛】本題考查了概率公式求概率，游戲的公平性，求得概率是解題的關鍵．5．（2022·廣東廣州·中考真題）為了疫情防控，某小區需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機抽取2名負責該小區入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意畫出樹狀圖，然后求得全部情況的總數與符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率．【詳解】解：畫樹狀圖得：∴一共有12種情況，抽取到甲的有6種，∴P（抽到甲）=．故選：A．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．6．（2022·全國·九年級專題練習）某市有6名教師志愿到四川地震災區的甲、乙、丙三個鎮去支教，每人只能去一個鎮，則恰好其中一鎮去4名，另兩鎮各去1名的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為對于這六個人來說，會被隨機分派到3個鎮中的任何一個，所以一共有種情況，而有4個人的鎮可能是3個鎮中的任何一個，剩下兩個鎮各派一個人的派法是，根據概率公式求解．【詳解】解：6名教師志愿隨機派到3個鎮中的任何一個共有種情況，有4個人的鎮可能是3個鎮中的任何一個，另兩鎮各去1名的結果數為，所以恰好其中一鎮去4名，另兩鎮各去1名的概率，故選：B．【點評】選出符合事件或的結果數目，然后根據概率公式求出事件A或的概率．二、填空題7．（2021·天津東麗·九年級期末）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，小球上分別寫有數字4、5、6，隨機摸取1個小球然后放回，再隨機摸取一個小球（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示出可能出現的所有結果；（1）求兩次抽出數字之和為奇數的概率．【答案】【分析】(1)此題需要兩步完成，所以采用樹狀圖法或者采用列表法都比較簡單；使用樹狀圖分析時，一定要做到不重不漏．(2)根據概率的求法，找準兩點：第一點，全部情況的總數；第二點，符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率．【詳解】(1)根據題意，畫樹狀圖如下：數字之和為

8，9，10，9，10，11，10，11，12由樹狀圖可知，共有9種可能的結果．(2)共有9種可能的結果，其中兩次抽出數字之和為奇數(記為事件A)的情況有4種,P(A)=故答案為：【點睛】此題考查用列表法或樹狀圖法求概率，概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果那么事件A的概率P(A)=8．（2022·全國·九年級單元測試）不透明的袋子中有兩個小球，上面分別寫著數字“”、“”，除數字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，那么兩次記錄的數字之和為的概率是______．【答案】【分析】首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與兩次記錄的數字之和為的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：列表如下：由表可知，共有種等可能結果，其中兩次記錄的數字之和為的有種結果，所以兩次記錄的數字之和為的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．9．（2018·山西·九年級專題練習）小明和小亮做游戲，先是各自背著對方在紙上寫一個自然數，然后同時呈現出來．他們約定：若兩人所寫的數都是奇數或都是偶數，則小明獲勝；否則，小亮獲勝．這個游戲對雙方_____．（填“公平”或“不公平”）．【答案】公平【詳解】分析：根據題意畫出符合要求的樹狀圖，列出所有等可能的結果，并由此計算出兩人各自獲勝的概率進行比較，即可得到結論.詳解：根據題意畫出樹狀圖如下：由圖可知：共有四種等可能結果出現，其中小明獲勝的有兩種，小亮獲勝的也有兩種，∴P（小明獲勝）=，P（小亮獲勝）=，∴P（小明獲勝）=P（小亮獲勝），∴該游戲是“公平”的.故答案為公平.點睛：本題的解題要點有兩點：（1）能夠畫出符合題意的樹狀圖；（2）在一個游戲中，當游戲雙方獲勝的概率相等時，游戲是公平的；當游戲雙方獲勝的概率不等是，游戲是不公平的.10．（2018·湖南婁底·中考真題）從2018年高中一年級學生開始，湖南省全面啟動高考綜合改革，學生學習完必修課程后，可以根據高校相關專業的選課要求和自身興趣、志向、優勢，從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個科目中，自主選擇3個科目參加等級考試.學生已選物理，還想從思想政治、歷史、地理3個文科科目中選1科，再從化學、生物2個理科科目中選1科.若他選思想政治、歷史、地理的可能性相等，選化學、生物的可能性相等，則選修地理和生物的概率為___________.【答案】【詳解】【分析】列表格得出所有等可能的情況，然后再找出符合題意的情況，根據概率公式進行計算即可得.【詳解】列表格：政治歷史地理化學化學，政治化學，歷史化學，地理生物生物，政治生物，歷史生物，地理從表格中可以看出一共有6種等可能的情況，選擇地理和生物的有1種情況，所以選擇地理和生物的概率是，故答案為.【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．11．（2022·內蒙古興安盟·模擬預測）疫情期間，進入學校都要進入測溫通道，體溫正常才可進入學校．某校有3個測溫通道，分別記為，，通道．學生可隨機選取其中的一個通道測溫進校園，某日早晨，小王和小李兩位同學在進入校園時，恰好選擇不同通道測溫進校園的概率是_____________．【答案】【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據概率公式求解即可．【詳解】畫樹狀圖為：共有9種等可能的情況，其中小王和小李從不同通道測溫進校園的有6種情況，側小王和小李兩位同學在進入校園時，恰好選擇不同通道測溫進校園的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率．12．（2022·湖南永州·模擬預測）現有兩個不透明的盒子,其中一個裝有標號分別為1,2的兩張卡片,另一個裝有標號分別為1,2,3的三張卡片,卡片除標號外其他均相同,若從兩個盒子中各隨機抽取一張卡片,則兩張卡片標號恰好相同的概率是____.【答案】【分析】先用列表法求出所有情況，再根據概率公式求出概率.【詳解】情況如表：12311,11,21,322,12,22,3共有6種情況，兩張卡片標號恰好相同有2種情況，所以，兩張卡片標號恰好相同的概率是P=.故答案為【點睛】本題考核知識點：求概率.解題關鍵點：列表求出所有情況.三、解答題13．（2022·江蘇·星港學校八年級期末）2022年冬奧會在北京舉辦．現有如圖所示“2022·北京冬夢之約”的四枚郵票供小明選擇，依次記為，，，，背面完全相同．將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好(1)小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是(2)小穎從中隨機抽取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接運用概率的公式求解即可．（2）用列表法或樹狀圖表示出所有可能的情況，再找出是B和C的情況，用概率公式求解即可．（1）解：由題意可知，共有四種等可能的情況，∴小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是，故答案為：；（2）根據題意畫樹狀圖，如圖所示，從上圖可以看出，共有12種等可能的情況，其中小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情況有2種．∴小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率為：．【點睛】本題考查了概率公式以及畫樹狀圖法與列表法求概率．解題的關鍵是把所有等可能的情況都列舉出來．14．（2022·全國·九年級單元測試）一個箱子里共3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同．(1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是______；(2)從箱子中任意摸出一個球后，放回箱子，攪勻后再摸出一個球，請畫樹狀圖或列表求2次摸出的球都是白球的概率．(3)小明向箱中放入n個紅球后攪勻，然后從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率為，求n的值．【答案】(1)(2)(3)5【分析】（1）用白球個數除以球的總個數即可；（2）用列表法列舉即可求解；（3）用白球個數除以摸出白球的概率進而求出總的求個數，再減去原有的球個數3即可求解．（1）2÷3=，即摸出白球的概率為，故答案為：；（2）列表如下：根據表格可知：總的可能情況有6種，兩次都是白球的情況有2種，即兩次都是摸出白球的概率為：2÷6=；（3）加入紅球后球的總個數：，則加入紅球的個數為：n=8-3=5，即n值為5．【點睛】本題考查了用概率公式求解概率、采用樹狀圖法或列表法列舉求解概率以及根據概率求數量的知識，掌握用樹狀圖法或列表法列舉求解概率是解答本題的關鍵．15．（2021·吉林·中考真題）第一盒中有1個白球、1個黑球，第二盒中有1個白球，2個黑球．這些球除顏色外無其他差別，分別從每個盒中隨機取出1個球，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的2個球都是白球的概率．【答案】【分析】用列表法表示所有可能出現的結果情況，進而得出兩次都是白球的概率即可．【詳解】解：用列表法表示所有可能出現的結果情況如下：白黑白白、白黑、白黑1白、黑1黑1、黑黑2白、黑2黑、黑2共有6種等可能出現的結果情況，其中兩球都是白球的有1種，所以取出的2個球都是白球的概率為．答：取出的2個球都是白球的概率為．【點睛】本題考查簡單事件的概率，正確列表或者畫樹狀圖是解題關鍵．16．（2022·江蘇·九年級專題練習）某校計劃在下個月第三周的星期一至星期四開展社團活動．(1)若甲同學隨機選擇其中的一天參加活動，則甲同學選擇在星期三的概率為______；(2)若乙同學隨機選擇其中的兩天參加活動，請用畫樹狀圖（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據概率公式即可求解；（2）采用列表法列舉即可求解．（1）總的可選日期為4個，則甲隨機選擇其中某一天的概率為1÷4=，故答案為：；（2）用A、B、C、D分別表示星期一、星期二、星期三、星期四，根據題意列表如下：總的可能情況數為12種，含星期二（B）的情況有6種，則乙同學選的兩天中含星期二的概率為：6÷12=，即所求概率為．【點睛】本題考查了基本的概率公式和用樹狀圖或列表法求解概率的知識．明確題意準確的作出列表是解答本題的關鍵．17．（2022·遼寧沈陽·中考真題）為了調動同學們學習數學的積極性，班內組織開展了“數學小先生”講題比賽