二級倒立擺數學模型的建立與仿真專業：控制工程姓名：淡丹學號：1406073摘要本文用分析力學中牛頓力學法及拉格朗日方程建立了二級倒立擺的數學模型。根據已經建立的倒立擺數學模型，對其進行了可控性，可觀測性及穩定性的分析與研究，并對狀態反饋及狀態觀測器進行了仿真模擬，分析研究。并通過分析比較得出，加狀態觀測器并不影響系統的輸出的結論。關鍵詞：倒立擺狀態空間極點配置狀態反饋ABSTRACTNewtonianmechanicsanalysismethodandtheLagrangeequationofamathematicalmodelofdoubleinvertedpendulumhasbeenusedinthispaper.Accordingtotheestablishedmathematicalmodelofinvertedpendulumonthecontrollability,observabilityandstabilityoftheanalysisandresearch,andthestateobserverandstatefeedbackiscarriedonthesimulation,analysisandresearch.Andthroughtheanalysisandcomparisonofresults,plusstateobserverdoesnotaffecttheconclusionsoftheoutputofthesystem.KEYWORDS:invertedpendulumstatespacepoleallocationstatefeedback一、二級倒立擺系統的組成二級倒立擺主要由以下四部分組成:在有限長的軌道L上作直線運動的小車;與小車鉸接在一起，并能在豎直平面內分別繞q，q點轉動的下、上擺;驅動小車的直流力矩電機和轉輪、鋼絲等傳動部分;使上、下擺穩定在垂直向上的平衡位置，且使小車穩定在軌道中心位置附近的控制器。二級倒立擺的結構簡圖如圖1的監督管理功能，如實時畫面，數據采集等;數據采集卡安裝在計算機內，用完成模/數、數/模轉換;功率放大器用于電壓和功率放大;電機是系統的執行元件;電位計是系統的測量元件，它分別檢測小車相對于軌道中心點的相對位置、下擺相對于鉛垂線的角位移、上擺相對于下擺延長線方向的角位移。圖1倒立擺系統的計算機控制系統9J矩電機功率放大圖1倒立擺系統的計算機控制系統9J矩電機功率放大T濾渡電路一?fi/n-■-■Ji/U■二級倒立擺系統的整套機械部件安裝在一個鋼架上，上面固定著導軌、電機底座和轉輪等裝置。通過導軌支架安裝好小車滑行的導軌，小車用電機和轉輪通過傳動鋼絲實現運動。2、結構參數通過實際物理測量，得到二級倒立擺系統的參數如下:小車的等效質量:M=1.0kg;小車與軌道間的滑動摩擦系數:b=5.0kg/s;下擺的質量:m=0.1481kg;

下擺半長:l1=0.18m;下擺繞其重心的轉動慣量:j1=0.0019kgm2;上擺質量:m2=0.0998kg;上擺半長:l2=0.24m;上擺繞其重心的轉動慣量:j=0.0018kgm2;上、下擺重心之間的距離:L=0.29m;1上、下擺之間的轉動摩擦系數：F=0.0lkgm2/s;2下擺和小車之間的轉動摩擦系數：F=0.01kgm2/s;1電機及功率放大器的增益：K=15Nt/V。u3、Lagrange方程介紹3、Lagrange方程介紹(\STLgarnage方程為dtdq11丿STSVSD—丁+廠+——=F(i=1,2,...,k)(1-1)Sq1Sq1Sq.qii式中T—系統的動能函數,%,式中T—系統的動能函數,%,q，—Lganarge變量’分別成為廣義坐標和廣義速度Qi—作用于系統上的廣義力SVQi=—+F(i=1,2,...,k)，(1-2)Sqqi1式中：V—系統的勢能函數—SV—有勢力的廣義力Sq1F—非有勢力的廣義力qi將式(2-2)代入式(將式(2-2)代入式(2-1)得dtST了qi丿ST1SVSq1=F(i=1,2,...,k)qi二、二級倒立擺數學模型的推導二級倒立擺是一個多變量、快速、非線性、強耦合、和絕對不穩定的系統，為了簡化建立數學模型的過程，我們做了以下假設:1.上擺、下擺都是一個均勻的剛體;2.力矩電機的輸出驅動力與其輸入電壓成正比，且無滯后地直接作用在小車上;車與軌道間的摩擦力僅與小車的速度成正比，下擺與車絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比，上、下擺絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比;忽略電機的電感;忽略鋼絲的彈性。在以上假設前提下，我們采用分析力學中的Lganarge方程來建立系統的數學

模型。令:為水平導軌運動的位移，拭、氏分別為下擺和上擺偏移豎直方向的角

度。由于系統存在著摩擦力，屬于一個耗散系統，因此式(2-3)部分應該加上耗能部分，對于同時受到保守力和耗散力作用的倒立擺系統的Lagrange方程為:(、d

dtSd

dtSTSVSD—++=F(i=1,2，...,k)Sq1Sq1Sq.qiisq、1丿式中：q—廣義坐標，即r、9、0TOC\o"1-5"\h\zi12F—非有勢廣義力，當q=r時，F=GU,U為控制量，G為增益常數，當qiiqi00q=0、0時，F=0i12qiT、V、D—分別是系統的動能、勢能和消耗能T=》T、V=》V、D=》D(1-5)iiii=0i=0i=0式中：n—倒立擺的級數，這里n=2

T—小車和各級倒擺的動能iV—小車和各級倒擺的勢能iD—小車和各級倒擺的消耗能ir+ZjCOS^'^)2r+ZjCOS^'^)2+(/)sin出*—*—(r+厶sin耳+12sin02)

dt''—(Ljcos^^/2cos<92)■dl~_=￡J屈+￡叫x[(F+厶ccs^ffj+/2cos^2誨)‘+(厶sin葉價+￡sin02+玄)'V}=myglxcos^V2-m2gx(厶cos耳+Lcos^)將上述各式T,V,D(i=0,1,2)代入式(2-4),得二級倒立擺的數學模型為iiiM?,M?,&2)卑+N(0,2/詔2”0[=G(“,q,&2)(2-6)國」迢」式中：K、cos^K2cos02M=K、cos&]k2l,cos(g-q)K2cos02K2Lycos(^2-0J一一K]siaqq-K2sin6*2-N?同禺〃；)=0耳+場-K占血(爲-如-坊0心厶“n(g-q)V；-坊F2G評G仏q,&2)=K]gsin&]K2gsin61KG=M+m}+tn2K]=mJ、+叫厶K2=m2l2K3~Jx+m//+m2I^K4=J2+zm2/22式(2-6)式是一個非線性向量微分方程。考慮到系統工作時，是在平衡位置附近運動，可將式(2-6)在u=0的平衡位置r=9=0=r=9-=o-=0附近線性化,1212以線性化后的方程來代替式(2-6)的非線性向量微分方程。具體線性化是忽略二次以上的項(或因為9,9在±5。以內，故sin0Q0,1212cos9-1)，可求出關于dr，d9，d9的線性化微分方程，而后將dr，d9，d91212改寫成r，9，9，便可得到系統的狀態方程。12根據物理模型的實測數據，可求得平衡點處的常數陣:M(0,0)=M(0,0)=1,24790.05560.0240,05560.0150.00690.0240.00690.0077利用Matlab中的求逆命令，可以解得M-1（0,0）陣ATgO)二0.9609-3.7524ATgO)二0.9609-3.752403978-3.7524129.9-105,99550.3978-105.99552252846所以，對式（2-6）進行線性化后，P1rG「=-AT]((WF(0,a(W+AT'(0,0)N0所以，對式（2-6）進行線性化后，P1rG「=-AT]((WF(0,a(W+AT'(0,0)N00_系統狀態方程為：000000峪gom2l2g■u(2-7)式中:對于下擺有轉角。1時,1取上擺的相對角位移為叮°，故令;一IL-一oO1O1-11oO-「「---qrq-角故式（2-7）可改寫為岳=一坊”弋0,0卜尸（0,0衛0風甘+對"7（0,0）帆七十(2-8)定義狀態向量x為則由式（2-8）可得X=(2?式中：4廠0)-77(0,000)曠A'6;=7；M](0,0)0將物理模型的實測參數代入式（2-9），得到二級倒立擺的系數矩陣為00010000001000000IA=0-1*960.094-4,800,004-0.004046,12-25.0118,76-0,130,24_0-51.01-78J6-20.750.24-0.5700014.4137-56.286462.2532由此可知，二級倒立擺系統的數學模型為x=Ax+Bu<y=Cx式中：A二0001.00000000001.00000000001.00000-1.96000.0940-4.80000.0040-0.0040046.1200-25.010018.7600-0.13000.24000-51.010078.1600-20.75000.2400-0.5700B=00014.4137-52.286462.2532C=100100000100三．二級倒立擺穩定性，可控性及可觀測性分析3.1系統的穩定性，可控性，可觀測性1）系統的穩定性在設計和分析線性控制系統時，首先要考慮的是控制系統的穩定性［18-19］。一個線性控制系統能夠正常工作的首要條件就是它必須是穩定的。由于控制系統在實際運行中，不可避免的會受到外界或內部一些擾動因素的影響，比如系統負載或能源的波動、系統參數和環境條件的變化等，從而會使系統各物理量偏離原來的工作狀態。如果系統是穩定的，那么隨著時間的推移系統的各物理量就會恢復到原來的工作狀態。如果系統不穩定即使擾動很微弱，也會使系統中的各物理量隨時間的推移而發散，即使在擾動因素消失后，系統也不可能再恢復到原來的工作狀態，顯然不穩定的控制系統是無法正常工作的。由于穩定性的研究角度不同，線性控制系統穩定性在不同意義下的描述不盡相同，但是不同意義下穩定性描述的本質是相同的。當線性系統用輸入輸出模型（微分方程或傳遞函數）表示時，其穩定性定義通常有如下兩種：第一種描述：如果線性系統受到擾動的作用而使被控量產生偏差，當擾動消失后，隨著時間的推移，該偏差逐漸減小并趨向于零，即被控量趨向于原來的工作狀態，則稱該系統穩定。反之，若在擾動的影響下，系統的被控量隨著時間的推移而發散，則稱該系統不穩定。第二種描述：若線性系統在有界的輸入量或干擾量的作用下，其輸出量的幅值也是有界的，則稱系統是穩定的。否則如果系統在有界輸入下，產生無界的輸出，則稱系統是不穩定的。線性控制系統穩定性的充分必要條件：系統的所有極點必須位于s左半平面。（2）系統的可控性線性定常連續系統x=Ax+Buy=Cx+Du（3-i）如果存在一個分段連續的輸入u（t）,能在有限時間區間（t,t）內，使一系統0f由某一初始狀態x（t），轉移到指定的任一終端狀態x（t），則稱此狀態是能控的。0f如果系統的所有狀態都是能控的，則稱此系統是狀態完全能控的，或簡稱系統是能控的。能控性判據能控性判據一：線性定常連續系統（如（3-1）式）狀態完全可控的條件為：當且僅當向量組B,AB,...,An-iB是線性無關的，或nXn維矩陣［B,AB,...,An一iB］的秩為n。能控性判據二：（1）當系統特征值互異時，若線性定常連續系統的特征值九，九，…,九互異，i2n則狀態完全可控的充分必要條件是系統經非奇異線性變換后的對角線標準型：

x+Bu3-2)的矩陣B中不包含元素全為零的行。3-2)（2）當系統含有重特征值時，其重特征值九（m重）九重）???,九重）￡m—n;且當i豐j時，九乂九，1122kkiij也就是說每一個重特征值只用一個約當塊表示。則系統狀態完全能控的充分必要條件為，系統經非奇異變換后的約定標準型x+Bu3-3)3-4)x(t)-■010…0_o003-3)3-4)x(t)-■010…0_o001…00:::?:x(t)+:000…10—a—a—a?—a1012n—1y—lbb…bL(t)21n-1u(t)（3）系統的可觀測性線性定常連續系統x—Axy—Cx（3-5）如果對任意給定的輸入u，都存在一有限觀測時間t>t，使得根據［t,t］期間的f00f輸出y唯一的確定系統在初始時刻的狀態x（t），則稱此狀態x（t）是能觀測的。00如果系統的所有狀態都是能觀測的，則稱此系統是狀態完全能觀測的，或簡稱系統是能觀測的。能觀測性判據能觀測性判據一：線性定常連續系統如式（3-5）狀態完全可觀測的充分必要條件是其能觀測矩陣

Q=OQ=OCCA滿秩。CAn-1能觀測性判據二：（1）當系統特征值互異時，若線性定常連續系統的特征值九，九，…,九互異,12n則狀態完全能觀測的充分必要條件是系統經非奇異線性變換后的對角線標準型y=Cx3-6)的矩陣c中不包含元素全為零的列。（3）當系統含有重特征值時，其重特征值九（m重）九（m重）???,九（m重）為m=n;且當i豐j時，九北九，1122kkiiji=1則系統狀態完全能觀測的充分必要條件為，系統經非奇異變換后的約定標準型3-7)y=Cx中，和每個約當塊J（=1,2,…,k）的首列相對應的C矩陣中的所有那些列，其元素不全為零。y(y(t)=t)「0……0-a—b-10…00—a1b01??.:i—axC)+.2::???02:_00…1—ab_x(t)=n-1n-1o…oihC)u(t)3-8)3.2二級倒立擺的可控性、可觀測性及穩定性分析（1）二級倒立擺系統的可控性、可觀測性程序如下：A=[000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57];B=[00014.4137-52.286462.2532];B1=B';C=[100000;010000;001000];rct=rank(ctrb(A,B1))OB=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A]Q=rank(OB)rct=6OB=1.00000000001.00000000001.00000000001.00000000001.00000000001.00000-1.96000.0940-4.80000.0040-0.0040046.1200-25.010018.7600-0.13000.24000-51.010078.1600-20.75000.2400-0.570009.7965-0.863923.1980-1.98070.11640-55.007623.7731-97.466846.2695-25.2530080.8145-52.5041115.9299-51.261078.6255>>Q=6由以上可知系統是可控和可觀測的（2）二級倒立擺系統的穩定性用函數eig（）求矩陣A的特征值與特征向量A=[000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57];[V,D]=eig(A)V=1.0000-0.0006-0.0069-0.0015-0.02650.101900.04200.16060.03990.07950.24830-0.09420.1362-0.08460.15030.08250-0.0059-0.03190.01560.1516-0.348100.40530.7453-0.4246-0.4553-0.84870-0.90830.63180.9004-0.8603-0.2821D=00000009.64760000004.6397000000-10.6452000000-5.7244000000-3.4177由此可知系統有兩個極點位于s右半平面，有一個極點位于坐標原點，所以系統不穩定。因此可以對系統進行控制器的設計，使系統穩定。四：系統反饋矩陣的設計及狀態圖：首先，使用MATLAB，判斷系統的能控性矩陣是否為滿秩。程序如下：A=[000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57];B=[00014.4137-52.286462.2532];B1=B';C=[100000;010000;001000];rct=rank(ctrb(A,B1))計算結果為：rct=6根據判別系統能控性的定理，該系統的能控性矩陣滿秩，所以該系統是能控的。因為系統是能控的，所以，可以通過狀態反饋來任意配置極點。不失一般性，不妨將極點配置在s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5在MATLAB中輸入程序：A=[000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57];B=[00014.4137-52.286462.2532];B1=B';P=[-6-6.5-7-7.5-8-8.5];K=place(A,B1,P)計算結果為：K=4.869628.242536.05166.31367.83205.7267因此，求出狀態反饋矩陣為K=4.869628.242536.05166.31367.83205.7267采用MATLAB/Simulink構造二級倒立擺狀態反饋控制系統的仿真模型，如下圖所示。五、狀態觀測器實現狀態反饋極點配置及其仿真首先，使用MATLAB，判斷系統的能觀性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序A=[000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57];B=[00014.4137-52.286462.2532];B1=B';C=[100000;010000;001000];rob=rank(obsv(A,C))rob=6因為該系統的能觀測性矩陣滿秩，所以該系統是能觀測的。因為系統是能觀測的，所以，可以設計狀態觀測器。而系統又是能控的，因此可以通過狀態觀測器實現狀態反饋。設計狀態觀測器矩陣，使的特征值的實部均為負，且其絕對值要大于狀態反饋所配置極點的絕對值。通過仿真發現，這樣才能保證狀態觀測器有足夠快的收斂速度，才能夠保證使用狀態觀測器所觀測到的狀態與原系統的狀態充分接近。不妨取狀態觀測器的特征值為：si=—20,s2=—21,s3=—22,s4=—23,s5=—24,s6=—25。輸入以下命令：A=[000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57]A1=A';C=[100000;010000;001000];C1=C';P=[-20-21-22-23-24-25];G1=place(A1,C1,P);G=G1'求出狀態觀測器矩陣為G=38.26000.1197-0.283617.790344.72640.7555-17.46520.688946.5137275.96101.1437-5.5261690.8092544.3198-7.4808-704.7150-33.5983609.9059采用MATLAB/Simulink構造具有狀態觀測器的二級倒立擺狀態反饋控制系統的仿真模型,如下圖所示。

XdGainlCunstantGain3XdGainlCunstantGain3UutlIntegrator六．總結。倒立擺作為一個多變量、非線性、不穩定的典型系統，是控制領域重要的研究對象，是驗證各種控制算法的理想模型;很多抽象的概念如系統的穩定性、可控性、可觀性、魯棒性和系統的抗干擾能力等，都可以通過對倒立擺的控制直觀的表現出來。針對倒立擺控制方法的研究對兩輪自平衡小車及其它相似實驗設備的開發都具有重要的研究意義。本文用分析力學中牛頓力學法及拉格朗日方程建立了二級倒立擺的數學模型。根據已經建立的倒立擺數學模型，對其進行了可控性，可觀測性及穩定性的分析與研究，并對狀態反饋及狀態觀測器進行了仿真模擬，分析研究。通過比較得出具有狀態觀測器的二級倒立擺狀態反饋系統的控制效果和沒有狀態觀測器的控制系統的控制效果是一樣的。可見，加狀態觀測器并不影響系統的輸出。感言通過本學期線性系統理論的學習使我受益良多，線性系統理論這門課理論性較強學起來非常吃力，加之之前本科是學電氣工程的對控制類學科基礎知識了解甚少，在剛開始學習時的確遇到了不少困難。很多時候都會產生放棄學習這門課的念頭而去學習自己感興趣的東西，但是最后還是一步步堅持了下來，從一開始的什么都不懂，到后來逐漸建立起概念，一直到現在開始去喜歡這門課，其實興趣也是建立在你去了解的基礎之上的，只有你去了解你才談得上是否對它感興趣，而從一開始遇到困難就覺得沒興趣就是典型的知難而退。通過對本次二級倒立擺的仿真控制的學習研究，使自己深深認識到，理論終究還要付諸于實踐，只有自己親自嘗試去做一遍才能真正檢驗自己知識是否真正掌握，好多書上不理解的東西通過這樣一次實踐，然后回過頭再去看理論知識時你會有一種豁然開朗的感覺，而且往往還有額外的收獲，通過仿真分析對比研究會使你知識更加準確清晰，往往通過這樣一個環節下來，你會有這樣的自信：對這塊知識的掌握，我相信沒有人會比我更清楚。剛開始做二級倒立擺時也遇到過許多難題，比如模型的建立，matlab的掌握與應用，必備的基礎知識等，而這些的學習往往需要收集資料，看別人以前做過的東西，然后自己研究，先完成別人做過的，然后在添加自己的東西，這的確需要時間和一定的工作量，有時候即使是別人已經做好的東西看的時候也許要翻閱很多資料，因為它里面也會涉及好多陌生的概念，你必須去閱讀才能一步步搞懂。科研本來就是一件苦差事，你必須耐得住寂寞，靜