新高考數學復習考點知識歸類與題型專題講解訓練專題9.7圓錐曲線綜合問題【考綱要求】1.理解數形結合、用代數方法處理幾何問題的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.【知識清單】命題的主要特點有：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎設計“連環題”，結合曲線的定義及幾何性質，利用待定系數法先行確定曲線的標準方程，進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位置關系為基礎設計“連環題”，結合曲線的定義及幾何性質，利用待定系數法先行確定曲線的標準方程，進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；三是直線與圓錐曲線的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量（共線、垂直、數量積）結合，涉及方程組聯立，根的判別式、根與系數的關系、弦長問題等.【考點梳理】考點一：圓錐曲線中的定點問題【典例1】（2020·全國高考真題（理））已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【典例2】（2019年高考北京卷理）已知拋物線C：x2=?2py經過點（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．【規律方法】1.圓錐曲線中定點問題的求解策略圓錐曲線中的定點問題往往與圓錐曲線中的“常數”有關，如橢圓的長、短軸，雙曲線的虛、實軸，拋物線的焦參數等．解答這類題要大膽設參，運算推理，到最后參數必清．2.圓錐曲線中定點問題的兩種解法【變式探究】1．（2019·北京高考真題（文））已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.2.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知P是圓F1：（x+1）2+y2＝16上任意一點，F2（1，0），線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）記曲線C與x軸交于A，B兩點，M是直線x＝1上任意一點，直線MA，MB與曲線C的另一個交點分別為D，E，求證：直線DE過定點H（4，0）.考點二：圓錐曲線中的定值問題【典例3】（2020·山東海南省高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．【典例4】（2020·浙江高三月考）已知橢圓（）的焦距為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點，設為橢圓上位于第三象限內一動點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值，并求出該定值．【規律方法】1.圓錐曲線中定值問題的特征圓錐曲線中的定點、定值問題往往與圓錐曲線中的“常數”有關，如橢圓的長、短軸，雙曲線的虛、實軸，拋物線的焦參數等．定值問題的求解與證明類似，在求定值之前，已經知道定值的結果(題中未告知，可用特殊值探路求之)，解答這類題要大膽設參，運算推理，到最后參數必清，定值顯現．2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略3.兩種解題思路①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②引進變量法：其解題流程為：【變式探究】1.（2020·黑龍江薩爾圖·大慶實驗中學月考（文））已知橢圓的左右焦點分別是，，點為橢圓短軸的端點，且的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上的一點，是橢圓上的兩動點，且直線關于直線對稱，試證明：直線的斜率為定值.2.（2019·湖北高三月考）已知橢圓：的左、右焦點，，是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓恰好經過橢圓的焦點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設直線是圓：上動點處的切線，與橢圓交與不同的兩點，，證明：的大小為定值．考點三：圓錐曲線中的最值與范圍問題【典例5】（2020·浙江高三月考）設拋物線的焦點為，點到拋物線準線的距離為，若橢圓的右焦點也為，離心率為.（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經過的直線與拋物線交于兩點，且（為坐標原點），直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值.【典例6】（2020·江蘇省高考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，點A在橢圓E上且在第一象限內，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．【典例7】（2018·湖南寧鄉一中高三月考）已知橢圓的左，右焦點分別為，該橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點在橢圓左頂點的左側）且，求證：直線過定點；并求出斜率的取值范圍.【總結提升】1．處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍．(2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系．(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍．(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍．(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍．【變式探究】1.（2020·浙江金華?高二期末）已知：拋物線，過外點作的兩條切線，切點分別為、.（Ⅰ）若，求兩條切線的方程；（Ⅱ）點是橢圓上的動點，求面積的取值范圍.2.（2019年高考全國Ⅱ卷理21）已知點A(?2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.3．（2020·陜西安康·高三三模（理））已知橢圓E：()的左焦點為，過F的直線交E于A、C兩點，的中點坐標為.（1）求橢圓E的方程；（2）過原點O的直線和相交且交E于B、D兩點，求四邊形面積的最大值.考點四：圓錐曲線中的探索性問題【典例8】（2019·全國高考真題（文））已知點A，B關于坐標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．【例9】（2019·上海市復興高級中學高二期末）已知二次曲線的方程為(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；(2)若拋物線與共焦點,求拋物線L上的動點A到點的最小值(3)為正常數,且是否存在兩條曲線其交點P與點滿足若存在,求的值；若不存在,請說明理由.【總結提升】1.探索性問題的求解方法：先假設成立，在假設成立的前提下求出與已知、定理或公理相同的結論，說明結論成立，否則說明結論不成立．處理這類問題，一般要先對結論做出肯定的假設，然后由此假設出發，結合已知條件進行推理論證．若推出相符的結論，則存在性隨之解決；若推出矛盾，則否定了存在性；若證明某結論不存在，也可以采用反證法.2.解析幾何中存在性問題的求解方法：（1）通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化，其步驟為：假設滿足條件的元素（點、直線、曲線或參數）存在，用待定系數法設出，列出關于特定參數的方程組，若方程組有實數解，則元素（點、直線、曲線或參數）存在，否則（點、直線、曲線或參數）不存在．（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法．【變式探究】1.（2020屆山東省高考模擬）已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.2．設橢圓方程，F為橢圓右焦點，P為橢圓在短軸上的一個頂點，的面積為6,（O為坐標原點）；（1）求橢圓方程；（2）在橢圓上是否存在一點Q，使QF的中垂線過點O？若存在，求出Q點坐標；若不存在，說明理由.3.（2018屆廣東省東莞市考前沖刺）在直角坐標系xOy中，已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，若橢圓M：x2a（1）求拋物線C和橢圓M的方程；（2）是否存在正數m，對于經過點P(0,m)且與拋物線C有A,B兩個交點的任意一條直線，都有焦點F在以考點五：直線、圓及圓錐曲線的交匯問題【典例10】（2020·全國高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【典例11】（2020·黑龍江道里·哈爾濱三中高二月考（文））已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2，0)，(2，0)，并且經過點，，是橢圓上的不同兩點，且以為直徑的圓經過原點.（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在圓心在原點的圓恒與直線相切，若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由.【典例12】（2019年高考江蘇卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．【總結提升】直線、圓及圓錐曲線的交匯問題，要認真審題，學會將問題拆分成基本問題，然后綜合利用數形結合思想、化歸與轉化思想、方程的思想等來解決問題，這樣可以漸漸增強自己解決綜合問題的能力．【變式探究】1.（2020屆山東濟寧市兗州區高三網絡模擬考）已知拋物線，的焦點為，過點的直線的斜率為，與拋物線交于，兩點，拋物線在點，處的切線分別為，，兩條切線的交點為．（1）證明：；（2）若的外接圓與拋物線有四個不同的交點，求