2.2基本不等式6種常見考法歸類1、基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數a，b的算術平均數，eq\r(ab)叫做正數a，b的幾何平均數．（2）變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數，當且僅當a＝b時，等號成立．注：（1）不等式eq\f(a2＋b2,2)≥ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)中等號成立的條件相同嗎？答案相同．都是當且僅當a＝b時等號成立．(2)“當且僅當a＝b時，等號成立”的含義是什么？答案a＝b?eq\f(a2＋b2,2)＝ab；a＝b>0?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).2、基本不等式求最值用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值應注意：(1)x，y是正數．(2)①如果xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；②如果x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足．注：（1）利用基本不等式求最大值或最小值時，應注意什么問題呢？答案利用基本不等式求最值時應注意：一正，二定，三相等．（2）x＋eq\f(1,x)的最小值是2嗎？答案只有當x>0時，才有x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，即x＋eq\f(1,x)的最小值是2；當x<0時，x＋eq\f(1,x)沒有最小值，此時x＋eq\f(1,x)＝，即當x<0時，x＋eq\f(1,x)的最大值是－2.3、由公式和引申出的常用結論①（同號）；②（異號）；③或4、對基本不等式的準確掌握要抓住以下三個方面(1)不等式成立的條件是a，b都是正數．(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.(3)基本不等式的結構體現了“和式”與“積式”的相互轉化，當題目中不等號的兩端一端是“和式”而另一端是“積式”時，就要考慮利用基本不等式來解決，在應用過程中注意“一正、二定、三相等”．5、運用基本不等式比較大小的注意點(1)利用基本不等式比較兩個數(式)的大小，就是把數(式)適當的放大或縮小,達到比較的目的，在放縮的過程中，要結合不等式的傳遞性，即要保證不等號同方向．(2)要靈活運用基本不等式，特別注意其變形．(3)應注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.6、利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后轉化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．7、基本不等式求最值的兩種常用方法(1)拼湊法，拼湊法求解最值，其實質就是先通過代數式變形拼湊出和或積為常數的兩項，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值時，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗證等號成立的條件．(2)常數代換法，常數代換法解題的關鍵是通過代數式的變形，構造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應用此種方法求解最值時，靈活運用“1”的代換，在不等式的解題過程中，常常將不等式乘“1”，除以“1”或將不等式中的某個常數用等于“1”的式子代替．8、利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)先理解題意，設變量．設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．(2)建立相應的函數關系式．把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題．(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．9、求參數的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數，轉化為求代數式的最值問題．(2)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或取值范圍．考點一對基本不等式的理解考點二利用基本不等式比較大小考點三利用基本不等式證明不等式考點四利用基本不等式求最值(一）直接法(二）配湊法求最值(三）常數代換法(四）消元法(五）換元法(六）對勾函數求最值考點五基本不等式的實際應用考點六基本不等式的恒成立問題考點一對基本不等式的理解1．（2023·廣西·統考一模）《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數形結合計算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結論．【詳解】設，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因為，所以，當且僅當時取等號．故選：D.2．【多選】（2023秋·湖北十堰·高一鄖陽中學校考階段練習）下列推導過程，其中正確的是（

）A．因為為正實數，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當且僅當時，等號成立【答案】ABD【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的條件，逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，為正實數，有，且，又當且僅當時，成立，滿足均值不等式的條件，A正確；對于B，，當時，，且，顯然不存在大于3的正數a使成立，所以，B正確；對于C，因為，則，不符合均值不等式成立的條件，C錯誤；對于D，，則，且，又當且僅當時，成立，滿足均值不等式的條件，D正確.故選：ABD3．【多選】（2023春·河北邢臺·高二校聯考階段練習）下面結論錯誤的是（

）A．不等式與成立的條件是相同的.B．函數的最小值是2C．函數，的最小值是4D．“且”是“”的充分條件【答案】ABC【分析】在應用基本不等式的時候要注意基本不等式的成立條件.【詳解】不等式成立的條件是；成立的條件是，A錯；由于，故函數無最小值，B錯；由于時無解，故的最小值不為4，C錯；當且時，，，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立；而“”的充要條件是“”，因為且推不出且，所以D正確.故答案為：ABC考點二利用基本不等式比較大小4．（2023·全國·高一假期作業）已知a、b為正實數，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式計算出.【詳解】因為a、b為正實數，所以，當且僅當時，等號成立，，所以，當且僅當時，等號成立，綜上：.故選：B5．【多選】（2023·江蘇·高一假期作業）設，是正實數，則下列各式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由基本不等式即可判斷A，B，C；通過作差法即可判斷D．【詳解】對于A：，，由基本不等式得，當且僅當時等號成立，故A成立；對于B：，，則，當且僅當時等號成立，故B成立；對于C：，，則，當且僅當時等號成立，故C成立；對于D：，，因為，所以，故D錯誤，故選：ABC．6．【多選】（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】作差法比較A、B、D的大小，利用基本不等式判斷C即可.【詳解】，則，A對；，而，所以，即，B錯；且，僅當等號成立，而，故，C對；，而，所以，即，D對.故選：ACD考點三利用基本不等式證明不等式7．（2023·江蘇·高一假期作業）已知，，，且．求證：．【答案】證明見解析【分析】將證明式子中的1用代換，整理為，根據基本不等式即可證明．【詳解】因為a，b，c都為正實數，且，所以，當且僅當時取等號，所以．8．（2023秋·貴州黔南·高三統考階段練習）設，，均為正數，且，證明：(1)；(2).【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由，則，根據，，，即可得證；（2）根據，，，即可得證.【詳解】（1）由，得，又由基本不等式可知當，，均為正數時，，，，當且僅當時，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當且僅當時等號成立；（2）因為，，均為正數，則，，，當且僅當時，不等式等號均成立，則，即，當且僅當時等號成立.所以.9．（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學校考階段練習）若正數a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，應用基本不等式求最大值，注意取值條件；（2）利用基本不等式求、、，即可證結論，注意等號成立條件.【詳解】（1）由，所以，即，僅當時等號成立，綜上，的最大值為.（2）由，僅當，即時等號成立，由，僅當，即時等號成立，由，僅當，即時等號成立，綜上，，僅當時等號成立.10．（2023春·貴州·高三校聯考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．（2）化簡已知得，即，利用基本不等式即可得證.【詳解】（1）（2）因為，所以，所以．因為，，所以，當且僅當時，等號成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以．當且僅當時，等號成立則，即，當且僅當時，等號成立．【點睛】關鍵點睛：本題第二小問中用配湊法將的證明轉化為的證明，其中是解題關鍵，本題考查不等式的證明，基本不等式的應用，屬于較難題.考點四利用基本不等式求最值（一）直接法11．（2023秋·廣東佛山·高一統考期中）若，則的最小值為；【答案】【分析】由基本不等式求出最小值.【詳解】因為，故，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故答案為：12．（2023春·貴州畢節·高一統考期末）已知，則的最大值為.【答案】【分析】根據已知，利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時，取等號，所以.故答案為：.13．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）已知，若，則的最大值為．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【詳解】因為，所以，解得，當且僅當即，時，等號成立．所以的最大值為2.故答案為：214．（2023春·陜西·高二校聯考期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據題意，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因為，由基本不等式可得，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：A.15．（2023春·廣東廣州·高一校考期中）若，，，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用基本不等式可得出關于的不等式，即可解得的取值范圍.【詳解】因為，，由基本不等式可得，即，解得，即，當且僅當時，即當時，等號成立，故的取值范圍是.故答案為：.16．（2023春·湖南·高二統考學業考試）已知，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用基本不等式可求得的最大值，進而求解即可.【詳解】因為，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，所以的最大值為2.故選：D.17．（2023·全國·高三專題練習）當時，函數的最大值為.【答案】【分析】由已知條件可得出，結合基本不等式可求得函數的最大值.【詳解】因為，則，，所以，，所以，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，當時，函數的最大值為.故答案為：.（二）配湊法求最值18．（2023春·湖南長沙·高一統考期末）若，則函數最大值為.【答案】【分析】根據基本不等式即可求解.【詳解】，由于，所以，故，當且僅當時等號成立，因此，故答案為：19．（2023春·貴州遵義·高一統考期中）函數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可求得函數的最小值.【詳解】因為，則，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，故函數的最小值為.故選：C.20．（2023秋·陜西商洛·高一校考期中）已知，則取得最大值時x的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可.【詳解】，則由基本不等式得，，當且僅當，即時，等號成立，故取得最大值時x的值為故選：21．（2023·全國·高一假期作業）已知，則當取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，結合等號成立的條件，即可求解.【詳解】由，可得，則，當且僅當，即時取等號，所以時，取得最大值.故選：B.22．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，注意等號成立條件；（2）由題設知，由基本不等式求目標式最大值，注意等號成立條件.【詳解】（1）∵，且，∴，當且僅當，即，時，等號成立，∴的最小值為；（2）∵，則，∴，當且僅當即時等號成立.∴的最大值.23．（2023·江蘇·高一專題練習）當時，函數的最小值為（

）A． B．C． D．4【答案】B【分析】使用變量分離，將化為，使用基本不等式解決.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立．故選：B．24．（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數的最小值是．【答案】【分析】將函數化簡，分離常數，然后結合基本不等式即可得到結果.【詳解】因為，當且僅當，即時，等號成立.所以函數的最小值是故答案為:.25．（2023秋·高一單元測試）函數的最小值為．【答案】【分析】將函數化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以原函數的最小值為.故答案為：26．（2023秋·高一課時練習）已知，求的最大值.【答案】/【分析】化簡得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，因為，可得，當且僅當時，即等號成立，所以，即最大值為.故答案為：.27．（2023·全國·高三專題練習）（1）已知，則取得最大值時的值為．（2）已知，則的最大值為．（3）函數的最小值為．【答案】1/【分析】（1）積的形式轉化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗等號成立的條件；（2）結構為和的形式轉化為積的形式，并使積為定值，同時要檢驗等號成立的條件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出來，然后再分離，最后用基本不等式求解即可.【詳解】解：（1），當且僅當，即時，取等號．故答案為：.（2）因為，所以，則,當且僅當，即時，取等號．故的最大值為1.故答案為：1.（3）.當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.（三）常數代換法28．【多選】（2023春·安徽滁州·高一統考期末）已知正數a，b滿足，則（

）A．ab的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AB【分析】由已知結合基本不等式及相關結論分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】對于選項A，正實數，滿足，由基本不等式得，當且僅當時取等號，則A正確；對于選項B，，當且僅當時取等號，則B正確；對于選項C，，當且僅當時取等號，即，則C錯誤；對于選項D，，則，，當且僅當，即時，取等，但，故等號無法取到，故D錯誤．故選：AB.29．【多選】（2023春·江西贛州·高二統考期末）已知實數，且，則下列結論正確的是（

）A．ab的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為6 D．【答案】BD【分析】利用基本不等式求最值可判斷A；配方法求最值可判斷B；應用基本不等式“1”的代換求最值可判斷C；常量分類再利用的范圍可判斷D.【詳解】對于A：，由，則，當且僅當時,等號成立，故A錯誤；對于B：因為，，所以，由，所以當時，有最小值，故B正確；對于C：由，當且僅當即，時,等號成立，故C錯誤；對于D：由，因為，所以，，可得，所以，故D正確.故選：BD.30．【多選】（2023春·河北張家口·高二統考期末）已知，且，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用乘“1”法即可求出的最小值，利用基本不等式構造一元二次不等式不等式即可求出最小值.【詳解】由，得，，當且僅當，即時取等號，故B正確，A錯誤；，所以，即，當且僅當，即時取等號，故C錯誤，D正確；故選：BD.31．【多選】（2023春·云南迪慶·高一統考期末）設正實數，滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為4 B．的最大值為C．的最小值為2 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據基本不等式即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即，時取等號，故B正確；對于C，，則，當且僅當，即，時，故C錯誤；對于D,，當且僅當，時取等號，故D正確．故選：ABD．32．【多選】（2023春·江西南昌·高二校聯考期末）已知，且，則（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是【答案】BC【分析】利用基本不等式根據可得，即可求解選項A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解選項B；利用基本不等式可得即可求解選項C；根據，再結合等號成立條件可求解選項D.【詳解】因為，且，所以，所以，當且僅當時，等號成立，則A錯誤；由題意可得，當且僅當時，等號成立，則B正確；因為，所以，當且僅當時，等號成立，則C正確；由題意可得，此時，．因為，所以不存在，使得，則D錯誤．故選:BC.33．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中學校考階段練習）若，則的最小值是．【答案】【分析】根據“乘1法”，即可由基本不等式求解最值.【詳解】因為，所以．因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，則．故答案為：34．（2023春·云南文山·高一校考期中）若正數x，y滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】對變形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】因為正數x，y滿足，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為故選：C35．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知，下列說法正確的是（

）A．的最大值為8B．的最小值為2C．有最小值D．有最大值4【答案】B【分析】根據基本不等式運用的三個條件“一正?二定?三相等”，可知，所以A錯誤；將原式化成，即可得，即B正確；不等式變形可得，利用基本不等式中“1”的妙用可知，C錯誤；將式子配方可得，再利用基本不等式可得其有最小值，無最大值，D錯誤.【詳解】對于選項，，即，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為，A錯誤；對于選項，原式化為，故；，故；所以，當且僅當時等號成立，正確；對于選項，原式化為，故，當且僅當時等號成立，錯誤；對于D選項，，當且僅當時等號成立，故有最小值，D錯誤．故選：B36．（2023秋·江蘇鹽城·高一統考期中）已知正實數、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為正實數、滿足，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：D.37．（2023春·遼寧葫蘆島·高二統考期末）已知正實數x，y滿足，則的最小值為．【答案】25【分析】由題意得，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】因為正實數x，y滿足，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為25，故答案為：2538．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，則的最小值為．【答案】16【分析】根據給定條件，利用“1”的妙用求解作答.【詳解】因為，，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16.故答案為：16（四）消元法39．【多選】（2023春·遼寧·高二校聯考階段練習）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為6 D．的最大值為8【答案】ACD【分析】利用基本不等式一一計算可得.【詳解】對于A：，當且僅當，即時取等號，故A正確；對于B：由條件可知，所以，解得，由，得，，所以，當且僅當時取得等號，故B錯誤；對于C：由得，當且僅當，即，時取得等號，故C正確；對于D：由上述條件可知，整理得.令，則，解得，則，當且僅當，即，時取得等號，故D正確.故選：ACD.40．（2023·高一課時練習）已知正實數x，y滿足，則的最大值是.【答案】/【分析】由題可得代入，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】由可得：，則.當且僅當，即時取等.故答案為：.41．（2023春·貴州遵義·高二統考期末）已知正實數，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由題意得到關于的表達式，再利用換元法與基本不等式即可得解.【詳解】因為，，所以，則，由，得，令，則，，所以，當且僅當，即，時，等號成立，則的最小值為.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用表示，從而將轉化為關于的表達式，由此利用基本不等式即可得解.（五）換元法42．【多選】（2023春·江西上饒·高二統考期末）已知，，且，則下列結論正確的是（

）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的最小值是 D．的最小值為【答案】AC【分析】利用基本不等式構造一元二次不等式即可判斷A,B；利用多變量變單變量即可判斷CD.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當時取等號由，即，解得，即，A正確；對于，由，當且僅當時取等號，得，所以，又所以，即，故B錯誤；對C選項，因為，則，得，結合，則，所以，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D選項知:，當且僅當時，即，但由于，因此等號不成立，故D不正確.故選：AC.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用整體的思想利用基本不等式構造一元二次不等式從而判斷AB，再利用多變量統一為單變量的方法來判斷CD.43．【多選】（2023春·福建福州·高一福州三中校考期末）已知，，且，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【分析】利用基本不等式有，結合換元法解一元二次不等式求范圍，注意所得范圍端點取值判斷A；由已知得，利用基本不等式判斷B、C、D，注意最值取值條件.【詳解】因為，，所以，僅當時，即等號成立，令，則，故，所以，即，僅當時右側等號成立，所以的最大值為，A錯誤；由，則，所以，僅當，即時等號成立，故的最小值為，B正確；由，僅當，即時等號成立，所以的最小值為，C正確；由，僅當，即時等號成立，所以的最小值為16，D正確.故選：BCD44．（2023秋·天津北辰·高一校考階段練習）已知，則的最大值為【答案】/【分析】令，然后分離常數，利用基本不等式可得.【詳解】，令，則上式，因為，所以，所以，即，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：（六）對勾函數求最值45．（2023·全國·高三專題練習）函數y＝x＋（x≥2）取得最小值時的x值為．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調遞增，當t＝3時，即可求解.【詳解】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設x＋1＝t(t≥3)．因為f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調遞增，所以當t＝3，即x＝2時，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案為：2.46．（2023·全國·高三專題練習）函數f（x）＝＋1的最小值為．【答案】＋1【分析】先對函數進行化簡，然后利用對勾函數的單調性可求出有最小值.【詳解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數f（x）可轉化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數f（x）的最小值為；故答案為：.考點五基本不等式的實際應用47．（2023·江蘇常州·校考一模）甲、乙兩名司機的加油習慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算【答案】A【分析】根據題意列出甲乙兩次加油的平均單價，進而根據不等式即可求解.【詳解】設兩次的單價分別是元/升，甲加兩次油的平均單價為，單位：元/升，乙每次加油升，加兩次油的平均單價為，單位：元/升，因為，，，所以，即，即甲的平均單價低，甲更合算.故選：A48．（2023春·湖南長沙·高二湖南師大附中校考期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認為顧客購得的黃金（

）附：依據力矩平衡原理，天平平衡時有，其中、分別為左、右盤中物體質量，、分別為左右橫梁臂長．A．等于 B．小于 C．大于 D．不確定【答案】C【分析】設天平左臂長，右臂長，且，根據已知條件求出、的表達式，利用基本不等式比較與的大小關系，即可得出結論.【詳解】設天平左臂長，右臂長，且，設天平右盤有克黃金，天平左盤有克黃金，所以，所以，，則．故選：C．49．（2023秋·四川綿陽·高一四川省綿陽江油中學校考階段練習）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為xm，寬為ym．

(1)若菜園面積為18m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？(2)若使用的籬笆總長度為15m，求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由題意得，利用基本不等式求出的最小值及時等號成立；（2）根據題意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】（1）由已知可得，而籬笆總長為．又∵，當且僅當，即時等號成立．∴菜園的長x為12m，寬y為6m時，可使所用籬笆總長最小．（2）由已知得，又∵，∴，當且僅當x＝y，即x＝5，y＝5時等號成立．∴的最小值是．50．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）快遞公司計劃在某貨運樞紐附近投資配建貨物分揀中心.假定每月的土地租金成本與分揀中心到貨運樞紐的距離成反比，每月的貨物運輸成本與分揀中心到貨運樞紐的距離成正比.經測算，如果在距離貨運樞紐處配建分揀中心，則每月的土地租金成本和貨物運輸成本分別為2萬元和8萬元.要使得兩項成本之和最小，分揀中心和貨運樞紐的距離應設置為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據基本不等式即可求解.【詳解】設土地租金成本和運