第4講幾何問題與一元二次方程【題型一】判別式、根系關系與三角形【例1】已知關于％的一元二次方程X2—(2k+1)%+4k-3=0(1)求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；(2)當Rt△ABC的斜邊長a=用,且兩條直角邊長b和C恰好是這個方程的兩個根時，求^ABC的周長【解析】(1)???4=(2k-3)2+4>0,.?.無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；(2)由根系關系得，b+c=2k+1,bc=4k—3.Vb2+c2=a2，得(2k+1?—2(4k-3)=31,解得，k=3或一2,又4k-3>0,.?.k=3,Λ△ABC的周長=a+b+C=7+√31.【題型二】判別式、根系關系與四邊形1【例2】已知關于％方程X2—(k+1)%+ k2+1=0的兩個根是一個矩形兩鄰邊的長.4(1)k取何值時，方程有兩個實數根？(2)當矩形的對角線長為√5時，求k的值.… 3【解析】(1)k≥—；(2)k=2.【題型三】判別式、根系關系與幾何【例3】如圖，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且關于％的方程(a+c)X2+2b%+C=a有兩個相等的實數根.(1)判斷△ABC的形狀；(2)若CD平分∠ACB,且AD⊥BD,AD、BD為方程X2—2m%+n2=0的兩根，試確定m與n的數量關系,并說明理由.【解析】(1)V?關于％的方程(a+C)X2+2b%+C=a有兩個相等的實數根，?'?A=4b2—4(a+C)(c—a)=0.得a2+b2=C2,.?.△ABC為直角三角形，∠ACB=90°；(2)由對角互補四邊形模型，得DA=DB,???方程有兩個相等實數根，A=4m2—4n2=0,m2=n2VAD+DB=2m>0,m>0,.?m=n或m+n=0.針對練習111.已知關于X的方程X2—(2k+1)X+4(k--)=0,若等腰三角形ABC的一邊長a=4,另一邊長b,c恰好是這個方程的兩個實數根，求△ABC的周長.解：若等腰三角形的腰長為4時，42-4(2k+1)+4(k—1)=0,k=5此時方程為X2-6X+8=0,X=4,X=2,三角形的三邊分別為4,2,2,滿足題意，△ABC的周長為121 310；若等腰三角形底邊為4,則A=b2-4ac=(2k+1)]2-4×1×4(k-)=0,k= ,X2—4X22+4=0,X=2,X=2,三角形的三邊分別為4,2,2,不滿足題意，舍去；綜上所述，△ABC的周長12為10.2.已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD的長是關于X的方程X2-mx+m-1=0的兩個實數根.24(1)當m為何值時，平行四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；(2)若AB=2,那么平行四邊形ABCD的周長是多少？解：(1)當AB=AD時，該平行四邊形ABCD是菱形，二原方程有兩個相等的實根即可，故A(-m)2-4(———)=0,.?.m=1,故原方程為x2—X+—=0,，X=X=—，故AB=AD=—，即當m=124 4 1 22 21時，平行四邊形ABCD是菱形，這時菱形的邊長為；(2)當AB=2時，即原方程的一根為2,，22-2m+m-1=0,即m=*，即原方程為2X2-5X+224 2=0,，X=2,X=1,又AB=2,故AD=1，即平行四邊形ABCD的周長是5.\o"CurrentDocument"1 22 23.如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°,CD和BC的長是關于X的方程1X2-(m+2)X27+(2m2—m+不)=0的兩個實數根，若AD=2,求AC的長.解:???A=(m+2?-2(2m2(m-l)2≤0,而CD,BC是方程的兩根，A≥0,故m=1,，原方程有兩個相等的實數根，，CD=BC=3.延長AB到點E，使BE=AD=2,則4CBE/△CDA,.△ACE是等腰直角三角形，設AB=亂過點C作CH⊥AB于點H,.CH=1AE=?+1,HB=β-(-+1)=--1, (-t+l)2 (N-I)2=9,，苞=√14,，AC=J2CH=√12(?14+2 2 2 2 21)=V7+√2【板塊二】運動與方程點運動形成三角形的面積或線段的長度.【題型一】運動+面積【例1】如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm.點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/S的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/S的速度移動.如果P、Q同時出發，幾秒后，可使△PCQ的面積為8cm?(2)點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.【解析】(1)設運動的時間為ts,S=1×(6-1)×2O=8,解得t=2,t=4;2PCQ2 1 2故P、Q出發2s或4s后，△PCQ的面積為8Cm2S=1×(6-1)×2O=1×6×8×1,化簡得t2-6O+12=0,PCQ2 2 2?.?A=36—48=-12<0,??.方程無解，???不存在.【題型二】運動+勾股【例2】如圖，已知A,B,C,D為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直移動到點B為止；點Q以2cm/S的速度向點D移動(P點停止移動時，點Q也停止移動).設移動的時間為O(s),問(1)當t為何值時，P、Q兩點間的距離是10cm?(2)當t為何值時，P、Q兩點間的距離最小？最小距離為多少？P、Q兩點間距離能否是18cm?若能，求出t的值;若不能，請說明理由.【解析】AP=3O,CQ=2O，過Q作QH⊥AB于點H，則PH=16-51,在Rt△PHQ中，PQ2=62+(16-5t>,(0≤t≤).

3(1)當PQ=10時，102=62+(16—5t>，解得，t1=8,t_24=T;2(2)當t=16時，PQ最小=6；⑶s-5t八62=182，解得tι=—>136(舍去),t216-12√2 /…、=-5—<0(舍去)，???P、Q間距離不能為18cm.針對練習21.如圖所示:在平面直角坐標系中，四邊形OACB為矩形，C點坐標為（3,6）,若點P從O點沿OA向A點以1cm/s的速度運動，點Q從A點沿AC以2cm/s的速度運動，如果P、Q分別從O、A同時出發，問：（1）經過多長時間，△PAQ的面積為2Cm2？&）△PAQ的面積能否達到3Cm2？（3）經過多長時間，P,Q兩點之間的距離為√17cm？Bl C?

qpa*解：⑴設經過鄧,△PAQ的面積為2Cm2,由題意得：2（3—%）×2尸2,解得xI=1，x2=2.所以經過1秒或2秒時，△PAQ的面積為2Cm2；1（2）設經過鄧,△PAQ的面積為3Cm2,由題意得：2（3—X）×2X=3,即x2—3X+3=0，在此萬程中b2