第第頁2022-2023學年陜西省榆林市高二（下）期末數學試卷（理科）（含解析）2022-2023學年陜西省榆林市高二（下）期末數學試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知向量，若與共線，則實數的值為()

A.B.C.D.

3.等差數列的前項和為，且，則()

A.B.C.D.

4.下列函數中，在區間上單調遞增的是()

A.B.C.D.

5.某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識為了解講座效果，隨機抽取位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于

B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于

C.講座前問卷答題的正確率的方差小于講座后正確率的方差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

6.在區間上隨機抽取一個實數，則滿足的概率為()

A.B.C.D.

7.設、是兩條直線，、是兩個平面，若，，，則下列說法一定正確的是()

A.B.

C.、是兩條異面直線D.

8.已知函數的部分圖像如圖所示，則()

A.B.C.D.

9.已知，為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標為，則直線的斜率為()

A.B.C.D.

10.從名男醫生、名女醫生中選名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有()

A.種B.種C.種D.種

11.將邊長為，的菱形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為()

A.B.C.D.

12.若函數存在最小值，且其最小值記為，則的最大值是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知是虛數單位，復數，則的虛部為______．

14.已知拋物線：的焦點為，點在上，若到直線的距離為，則______．

15.函數是定義在上的偶函數，滿足，若時，，則______．

16.我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就出現了類似于砝碼的用來測量物體質量的“環權”已知枚環權的質量單位：銖從小到大構成項數為的數列，該數列的前項成等差數列，后項成等比數列，且，，，則______．

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，角，，的對邊分別是，，，滿足．

求；

若，，求的面積．

18.本小題分

某學校組織學生參加“一帶一路”知識競賽，為了解該校學生在知識競賽中的情況，采用分層隨機抽樣的方法抽取了名學生進行調查，分數分布在分之間，根據調查的結果繪制的學生分數頻率分布直方圖如圖所示將分數不低于分的學生稱為“高分選手”．

求頻率分布直方圖中的值；

現采用分層隨機抽樣的方法從分數落在、內的兩組學生中抽取人，再從這人中隨機抽取人，記被抽取的名學生中屬于“高分選手”的學生人數為隨機變量，求的分布列及數學期望．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別是，的中點．

求證：；

若，求平面與平面所成角的余弦值．

20.本小題分

已知橢圓的焦距為，離心率為．

求橢圓的方程；

若直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，且，求實數的值．

21.本小題分

已知函數恰有兩個零點，

求實數的取值范圍；

若函數，求證：在上單調遞減；

證明：．

22.本小題分

平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程是．

求曲線的極坐標方程；

設射線與曲線交于點，與直線交于點，求的值．

23.本小題分

設函數．

求不等式的解集；

若，，求證：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由集合，

根據集合交集的概念及運算，可得．

故選：．

先求得集合，根據集合交集的概念及運算，即可求解．

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

2.【答案】

【解析】解：因為與共線，

所以，

所以．

故選：．

根據向量共線的坐標表示列方程求的值．

本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：由等差數列的前項和為，且，可得，

所以．

故選：．

根據題意，利用等差數列的性質，求得，結合，即可求解．

本題主要考查等差數列的性質，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：對于，令，

可得，

所以函數在單調遞減，在單調遞增，在單調遞增，不符合題意；

對于，函數，所以函數為偶函數，

所以函數在單調遞減，在上單調遞增，不符合題意；

對于中，函數，根據指數函數的性質，可得函數在單調遞減，不符合題意；

對于中，根據正切函數的圖象與性質，可得在單調遞增，符合題意．

故選：．

根據初等函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解．

本題主要考查了函數單調性的判斷，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：講座前中位數為，所以錯；

講座后問卷答題的正確率只有一個是，個，剩下全部大于等于，所以講座后問卷答題的正確率的平均數大于，所以對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差，所以錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為，

講座前問卷答題的正確率的極差為，所以錯．

故選：．

由圖表信息，結合中位數、平均數、方差、極差的概念，逐項判斷即可得解．

本題主要考查了統計圖的應用，考查了平均數、中位數、方差和極差的計算，屬于基礎題．

6.【答案】

【解析】解：由，解得，

則在區間上隨機抽取一個實數，則滿足的概率為．

故選：．

解不等式得到，從而根據長度比求出幾何概型的概率．

本題主要考查了幾何概型的概率公式，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：，，且，

根據平面與平面平行的性質，可得，

故選：．

根據平面與平面平行的性質，可得結論．

本題考查面面平行的性質的應用，屬于基礎題．

8.【答案】

【解析】解：由函數的圖像，可得，

可得，所以，

又由，可得，

解得，因為，所以，所以，

則．

故選：．

根據函數的圖像，求得函數的解析式為，進而求得的值．

本題主要考查根據函數的部分圖像求函數的解析式，正弦函數的圖像和性質，屬于基礎題．

9.【答案】

【解析】解：設，，

則有，，

兩式相減得到，

又線段的中點坐標為，

所以，得到，

所以的斜率為．

故選：．

設出，，利用點差法即可求出結果．

本題考查點差法的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：從名醫生中選取名醫生有種方法，選取的醫生全是男醫生的有種方法，全是女醫生的有種方法，

所以不同的組隊方案共有種．

故選：．

根據給定條件，利用組合應用問題結合排除法列式計算作答．

本題考查排列組合相關知識，屬于基礎題．

11.【答案】

【解析】解：如圖所示，

因為邊長為，的菱形，

可得和均為等邊三角形，且邊長為，沿對角線折成直二面角，

取的中點為，分別連接，，則且，

所以為二面角的平面角，所以，

取等邊和的中心分別為，，

設三棱錐的外接球的球心為，連接，，

根據球的截面圓的性質，可得平面，且平面，

因為等邊和，且邊長為，可得，

且，，

在直角中，，

即外接球的半徑為，

所以四面體的外接球的表面積為．

故選：．

取的中點為，連接，，得到，取等邊和的中心分別為，，得到平面，且平面，設三棱錐的外接球的球心為，利用求得截面圓的性質，求得，結合球的表面積公式，即可求解．

本題主要考查球的表面積的求解，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：因為，所以的定義域為，，

當時，恒成立，所以在定義域上單調遞增，不滿足題意；

當時，令得，此時單調遞減，

令得，此時單調遞增，

所以當時，取得最小值，即，

，

令得，此時單調遞增，令得，此時單調遞減，

所以當時，取得最大值，即．

故選：．

先利用導數確定函數的單調性，從而確定，然后再利用導數確定的最大值．

本題主要考查利用導數研究函數的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由復數，所以復數的虛部為．

故答案為：．

根據復數的運算法則，求得，結合復數的定義，即可求解．

本題主要考查復數的運算，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：由拋物線：的焦點為，準線方程為，

因為點在上，且到直線的距離為，

可得到直線的距離為，即點到準線的距離為，

根據拋物線的定義，可得點到焦點的距離等于點到準線的距離，

所以．

故答案為：．

根據題意轉化為點到準線的距離為，結合拋物線的定義，即可求解．

本題考查了拋物線的性質，考查了運算能力，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：因為，且是定義在上的偶函數，

所以，

令，則，

所以，即，

所以函數的周期為，

又因為時，，

所以．

故答案為：．

根據，結合是定義在上的偶函數，可得函數的周期為，然后由求解．

本題主要考查函數奇偶性與周期性的綜合，函數的求值，考查運算求解能力，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：設前項的公差為，后項公比為，

則，且，可得，

則，即，可得，

所以．

故答案為：．

設前項的公差為，后項公比為，由求出，即可得解．

本題考查等差數列，等比數列的通項，屬于基礎題．

17.【答案】解：，

，

又，，

，

；

由可知，

根據余弦定理，即，

即，即，

又，則，即，

的面積．

【解析】根據正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；

利用余弦定理可推出，利用三角形面積公式即可求得答案．

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：根據頻率分布直方圖的性質，可得，

解得．

由題意，從中抽取人，從中抽取人，

隨機變量的所有可能取值為，，，，

可得，，

，，

所以隨機變量的分布列為：

所以期望為．

【解析】根據頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解；

根據題意，得到的所有可能取值，，，，利用超幾何分布的概率公式，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解．

本題主要考查頻率分布直方圖，離散型隨機變量分布列及數學期望，考查運算求解能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：證明：因為平面，平面，

所以，

因為底面為正方形，

所以，

又，且平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以．

由可知，、、兩兩垂直，

以點為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

又，分別是，的中點，

，．

，

設平面的法向量為，

則，即，

取，則，．

平面的一個法向量為，

易知平面的一個法向量為，

．

平面與平面所成角的余弦值為．

【解析】先證明，，由線面垂直的判定定理證明平面，再證明；

由可知，、、兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，根據題中數據，分別求出平面和平面的法向量，根據向量夾角公式，求出法向量夾角，進而求解．

本題考查空間中垂直關系的證明，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數學運算等核心素養，屬于中檔題．

20.【答案】解：由橢圓的焦距為，離心率為，

可得，解得，，

所以橢圓的方程為．

聯立方程組，整理得，

由，

解得．

設，，

則，

所以，

因為，

所以，

解得，

即實數的值為．

【解析】根據題意，列出關于，的方程組，求得，的值，即可求解；

聯立方程組，根據，求得，且，得到，結合向量的數量積的運算公式，列出方程，即可求解．

本題考查橢圓的標準方程及其性質，考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：由題意得，

當時，；當時，．

函數在上單調遞增；在上單調遞減，

．

又當時，，可取到負的無窮小值；

當時，，也可取到負的無窮小值；

函數恰有兩個零點，，即．

實數的取值范圍為．

證明：，，

，令，，

，

又時，有，，

，在上單調遞增，

在上單調遞增，從而，

在上單調遞減．

證明：由知，，

要證，只需證，

在上單調遞減，

只需證

，

只需證，其中，

只需證，其中，

由知，當時，，

．

．

【解析】求出函數的導數，判斷其單調性，根據函數恰有兩個零點列出不等式，求得答案；

寫出，，利用其導數證明單調性即可；

采用逆推分析的方法，將證明成立，轉化為證明成立，繼而根據在上單調遞減，需證，結合的結論，即可證明．

本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查轉化能力，屬于難題．

22.【答案】解：由曲線的參數方程為參數，

消去參數可得，即，

根據

可得曲線的極坐標方程為．

設點的極坐標為，點的極坐標為，

將代入曲線的極坐標方程可得，

又，解得．

將代入直線的極坐標方程可得，解得，

．

【解析】將曲線的參數方程化為普通方