極點配置與觀測器設計第1頁，課件共115頁，創作于2023年2月第一節概述一、問題的提出系統的描述主要解決系統的建模、各種數學模型(時域、頻域、內部、外部描述)之間的相互轉換等；系統的分析，則主要研究系統的定量變化規律(如狀態方程的解，即系統的運動分析等)和定性行為(如能控性、能觀測性、穩定性等)。

綜合與設計問題則與此相反，即在已知系統結構和參數(被控系統數學模型)的基礎上，尋求控制規律，以使系統具有某種期望的性能。第2頁，課件共115頁，創作于2023年2月一般說來，這種控制規律常取反饋形式，因為無論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反饋閉環系統的性能都遠優于非反饋或開環系統。在本章中，我們將以狀態空間描述和狀態空間方法為基礎，仍然在時域中討論線性反饋控制規律的綜合與設計方法。由于系統的極點決定系統的穩定性，因此，為了改善系統的動態性能，可以通過構造狀態反饋來調整系統的極點。第3頁，課件共115頁，創作于2023年2月ACB二、狀態反饋與輸出反饋的形式K1.狀態反饋反饋規律開環系統：狀態反饋后的閉環系統：開環極點：閉環極點：第4頁，課件共115頁，創作于2023年2月ACBH2.輸出反饋第5頁，課件共115頁，創作于2023年2月問題：1.狀態反饋會不會改變系統的能控性？狀態反饋會不會改變系統的能觀性？2.是否所有的系統都可以通過狀態反饋任意配置極點？若不可以，什么條件下，可任意配置極點？什么條件下，不可任意配置極點？不能任意配置極點時，能否部分配置極點使閉環穩定？3.如何選擇K？4.如何實現狀態反饋？第6頁，課件共115頁，創作于2023年2月定理5-1：開環系統完全能控

經過狀態反饋后的閉環系統完全能控。即：因為：∴開環系統完全能控閉環系統完全能控即，狀態反饋不改變系統的能控性但狀態反饋改變系統的能觀性第7頁，課件共115頁，創作于2023年2月舉例：能控,能觀系統取狀態反饋:能控不能觀第8頁，課件共115頁，創作于2023年2月系統開環極點：狀態反饋律：第9頁，課件共115頁，創作于2023年2月系統閉環極點：其中：開環能控極點可任意配置開環不能控極點無法改變從而有如下結論：1.狀態反饋只改變能控性極點；2.只有開環系統完全能控時，所有的極點都可改變，即開環系統完全能控時，可任意配置極點；3.不能控極點不穩定時（不能控極點有實部≥0），無論如何選擇K，閉環系統都不會穩定；第10頁，課件共115頁，創作于2023年2月4.只有不能控部分都具有負實部（此時稱能穩系統），反饋才有意義。定理5-2：能任意配置極點開環系統完全能控。推理5-1：當開環不完全能控，能通過狀態反饋使閉環穩定不能控極點具有負實部。第11頁，課件共115頁，創作于2023年2月第二節單輸入系統的極點配置開環系統：（完全能控）狀態反饋：閉環系統：若希望(給定)閉環極點多項式為：第12頁，課件共115頁，創作于2023年2月進行狀態反饋后，應該有：即：第13頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：分析：第14頁，課件共115頁，創作于2023年2月第15頁，課件共115頁，創作于2023年2月一、能控標準形的極點配置設n階系統為：開環極點多項式：希望閉環極點多項式：第16頁，課件共115頁，創作于2023年2月設反饋增益矩陣：閉環系統為：仍為底友陣第17頁，課件共115頁，創作于2023年2月閉環極點多項式：應有：即：用開環極點多項式系數－閉環極點多項式系數，從常數項開始第18頁，課件共115頁，創作于2023年2月歸納步驟：第19頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：由勞斯判據，顯然開環不穩定。第20頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：能控標準形要求閉環滿足：根據閉環指標，選閉環系統極點設閉環極點多項式：超調量：峰值時間：阻尼振蕩頻率：第21頁，課件共115頁，創作于2023年2月則由自控知識：取：滿足要求第22頁，課件共115頁，創作于2023年2月開環系統：第23頁，課件共115頁，創作于2023年2月二、非能控標準形的極點配置開環系統：狀態反饋：閉環系統：希望極點：化能控標準形第24頁，課件共115頁，創作于2023年2月歸納步驟：第25頁，課件共115頁，創作于2023年2月P的求法：方法一：方法二：第三章方法MATLAB中采用第26頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：容易驗證系統是能控的，但不是能控標準形（4）求變換矩陣P第27頁，課件共115頁，創作于2023年2月第28頁，課件共115頁，創作于2023年2月第三節多輸入系統的極點配置一、(A,B)能控極點配置是找適當K，使：第29頁，課件共115頁，創作于2023年2月若(A,b1)能控，即：對(A,b1)完全能控，找行向量，使為希望的極點。其余不妨取：第30頁，課件共115頁，創作于2023年2月則：但存在問題:

(A,B)能控時，不能得證(A,b1)能控。第31頁，課件共115頁，創作于2023年2月解決辦法:第32頁，課件共115頁，創作于2023年2月定理5-3給出了證明。（略）能控重排Qc：順序選n個線性無關列向量構成Q：滿足：Q：n×n階滿秩陣第33頁，課件共115頁，創作于2023年2月構造：第34頁，課件共115頁，創作于2023年2月練習Q,S的取法：例:第35頁，課件共115頁，創作于2023年2月取4個線性無關的列向量構成Q,有：第36頁，課件共115頁，創作于2023年2月例:第37頁，課件共115頁，創作于2023年2月取4個線性無關的列向量構成Q,有：第38頁，課件共115頁，創作于2023年2月例:第39頁，課件共115頁，創作于2023年2月不用反饋，對第一輸入就是能控。第40頁，課件共115頁，創作于2023年2月設計步驟:判斷(A,b1)是否完全能控，是則直接反饋求k1；否則:第41頁，課件共115頁，創作于2023年2月定理5-4m-1注意：第42頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：顯然(A,B)能控，(A,b1)不完全能控。第43頁，課件共115頁，創作于2023年2月第44頁，課件共115頁，創作于2023年2月第45頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：顯然(A,B)能控，(A,b1)不完全能控。第46頁，課件共115頁，創作于2023年2月第47頁，課件共115頁，創作于2023年2月第48頁，課件共115頁，創作于2023年2月第49頁，課件共115頁，創作于2023年2月第50頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：第51頁，課件共115頁，創作于2023年2月第52頁，課件共115頁，創作于2023年2月二、(A,B)不完全能控第53頁，課件共115頁，創作于2023年2月說明只能對能控部分配置極點第54頁，課件共115頁，創作于2023年2月歸納：第55頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：例：(1)能控性分解第56頁，課件共115頁，創作于2023年2月第57頁，課件共115頁，創作于2023年2月第58頁，課件共115頁，創作于2023年2月返回原坐標系，可得所求狀態反饋為：第59頁，課件共115頁，創作于2023年2月第四節觀測器及其設計方法狀態觀測器實質——狀態估計器(或動態補償器)。利用被控對象的輸入和輸出對狀態進行估計，從而解決某些狀態變量不能直接測量的難題。一、開環觀測器最簡單、直觀的想法是用仿真技術構造一個和上述系統一樣的系統，為：第60頁，課件共115頁，創作于2023年2月構造狀態觀測器的目的是z可以逼近x，則最終兩者誤差應趨于零。估計器的初始狀態(任意)要與系統的初始狀態完全一致。所以，開環觀測器在實際應用上無意義。原因：沒有反饋第61頁，課件共115頁，創作于2023年2月二、閉環觀測器

開環系統:只利用了系統的輸入信息，沒有考慮輸出信息；

閉環系統:利用輸出估計誤差作反饋，構成一閉環系統。整理：第62頁，課件共115頁，創作于2023年2月定理5-6：系統存在觀測器，且觀測器極點可任意配置的充要條件是系統完全能觀。推理5-2：若系統是不完全能觀的，則其存在觀測器的充要條件是不能觀部分的極點具有負實部，稱其為能檢的。第63頁，課件共115頁，創作于2023年2月開環觀測器結構圖-狀態估計值第64頁，課件共115頁，創作于2023年2月+--閉環觀測器結構圖第65頁，課件共115頁，創作于2023年2月三、狀態觀測器設計1.全階觀測器定義:如果系統的全部狀態x都用觀測器的輸出z接近，則由于系統是n階的，那么也是的方陣。觀測器即為n維全階觀測器。設計思路：利用對偶系統來考慮第66頁，課件共115頁，創作于2023年2月第67頁，課件共115頁，創作于2023年2月總結：求其對偶系統第68頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：第69頁，課件共115頁，創作于2023年2月第70頁，課件共115頁，創作于2023年2月第71頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：對偶系統：第72頁，課件共115頁，創作于2023年2月第73頁，課件共115頁，創作于2023年2月第74頁，課件共115頁，創作于2023年2月第75頁，課件共115頁，創作于2023年2月第76頁，課件共115頁，創作于2023年2月第77頁，課件共115頁，創作于2023年2月2.降階觀測器考慮系統C陣為如下形式：第78頁，課件共115頁，創作于2023年2月那么利用已知的，不通過反饋，比估計值更精確。即：只由觀測器估計x中其它n-p個未知的狀態。為此設計的觀測器即為降階觀測器。第79頁，課件共115頁，創作于2023年2月設計思路：對于單輸出系統，降階觀測器為n-1維。第80頁，課件共115頁，創作于2023年2月展開：(a)(b)(c)第81頁，課件共115頁，創作于2023年2月(d)(c)－(b)為：降階觀測器方程為：第82頁，課件共115頁，創作于2023年2月第83頁，課件共115頁，創作于2023年2月第84頁，課件共115頁，創作于2023年2月第85頁，課件共115頁，創作于2023年2月多輸出系統降維觀測器設計步驟：第86頁，課件共115頁，創作于2023年2月第87頁，課件共115頁，創作于2023年2月第88頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：直接利用步驟(4)-(7)計算，無需進行線性變換第89頁，課件共115頁，創作于2023年2月第90頁，課件共115頁，創作于2023年2月例：解：單輸出p=1C1C2第91頁，課件共115頁，創作于2023年2月第92頁，課件共115頁，創作于2023年2月第93頁，課件共115頁，創作于2023年2月第94頁，課件共115頁，創作于2023年2月第五節用狀態觀測器的反饋系統一、用狀態觀測器的反饋系統性能討論在系統實際執行狀態反饋時，并不是由被控系統的狀態x作狀態反饋，而是由其估計值z作反饋。這樣的反饋比直接反饋要復雜。狀態觀測器為：第95頁，課件共115頁，創作于2023年2月問題：1.當初配置極點時，只考慮系統本身，并沒有考慮帶有觀測器的系統。原來配置的閉環極點會不會受觀測器影響而發生變化？2.設計觀測器時也是單獨進行，這樣將兩者放在一起，會不會改變觀測器性能？

下面以全階觀測器為例分析這樣的系統，對用最低階觀測器分析結果一樣。第96頁，課件共115頁，創作于2023年2月(1)(2)(3)(4)(4)代入(1)，(3)；(2)代入(3)得：矩陣形式：(*)(6)(5)第97頁，課件共115頁，創作于2023年2月(6)－(5)得：調整(5)式得：寫成矩陣形式：第98頁，課件共115頁，創作于2023年2月圖形說明：第99頁，課件共115頁，創作于2023年2月結論：閉環系統的維數是被控系統的維數+觀測器維數。

（用降階觀測器，結論一樣）閉環極點設計分離性3.帶觀測器反饋系統的傳函與不帶觀測器反饋系統傳函一樣。（傳函不變性）4.帶觀測器反饋系統的極點具有分離性，可分開獨立設計。5.觀測器反饋與直接狀態反饋的等效性。第100頁，課件共115頁，創作于2023年2月這樣，設計時分兩部分獨立設計，為設計帶來方便。帶觀測器反饋系統的魯棒性較直接反饋差。魯棒性：當系統參數有變動時，仍有良好性能（抗干擾能力）。通常，取觀測器的極點比閉環極點遠2～3倍。即：如：則：第101頁，課件共115頁，創作于2023年2月二、動態補償器的設計穩定動態補償器問題：當x不能直接反饋時，可用x的估計值z代替，則補償器為：第102頁，課件共115頁，創作于2023年2月帶觀測器的動態補償系統這樣設計的系統可以獲得穩定的極點，使系統還穩定。設計時，閉環極點與觀測器極點具有分離性，分開來設計，最后只不過只用即可。()第103頁，課件共115頁，創作