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交替方向乘子法在圖像復原中的應用

0圖像噪聲項.模型復原問題20世紀60年代，圖像重建。其中B為矩陣,表示直接作用的算子,n為噪聲項.通常,將圖像進行取樣和量化,得到的結果是實數矩陣.在一般的圖像復原問題中,B表示線性作用算子.復原處理有時也稱為反卷積,則矩陣B表示一個卷積算子.由于相機與被攝物體之間可能存在相對運動,造成運動模糊、聚焦偏差等,即為模型中的噪聲項,會對觀測結果產生一定的影響.1迭代收縮算法約束優化問題的一般形式:其中ε為常數且ε≥0,φ(x)是光滑或者非光滑的目標函數.當φ(x)=‖x‖最近幾年,根據(2)式提出了壓縮感知問題針對無約束優化問題,即其中,τ稱為正則化參數.顯然,問題(3)和(2)是等價的.為了解決問題(3),提出了一些基于迭代收縮的算法,例如:加速方法SpaRSA針對目標函數是兩個函數之和的無約束優化問題,形式如下:其中g:R采用分離變量法,創建一個新的變量v,滿足v=g(u),作為f通過引入二次懲罰項的方法,將問題(6)轉化為無約束優化問題,即通過交替進行,化u和v為最小值,當α取值很大時,(7)式可逼近(6)式,同時,也與(5)式等價.對于圖像復原的無約束優化問題,如(3)式中的定義.這個問題可以寫成如下形式:則得到相應的約束優化問題:如果φ(x)=ψ(Dx),利用分離變量法,得到下面的約束優化問題:2提出的算法2.1可變換的迭代步驟其對應的拉格朗日表達式為:對稱形式的交替方向乘子法,包括以下迭代步驟:定義新變量那么上面的迭代步驟可以變為以下形式:這種交替化求最小的方法,與原來的無約束問題(5)相比,每一步的運算更容易求解.2.2v2重復算法SUMAM1)k=0,取μ=0.9,選擇v2)重復;8)滿足某個終止規則,停止.其中,對算法中第三步驟的式子求解,得到解的形式如下:其中對算法中第五步的式子求解,得到的解如下:其中3實驗結果及分析考慮關于攝影師圖像的修復問題,攝影師的原始圖像及觀察到的圖像如下圖所示,其中,觀測圖像(圖2)被高斯噪聲(SNR值為40dB)破壞,與原始圖像相比,缺失了40%的像素.利用SUMAM算法編程,通過Matlab軟件對圖2進行處理,得到結果如圖3所示,與圖1進行對比,清晰度較高,達到了非常好的修復效果.表1給出了SUMAM算法與TwIST算法、FISTA算法處理上述問題時,在迭代次數與CPU運行時間的比較.圖4表示利用SUMAM算法與TwIST算法、FISTA算法處理上述問題時,三種算法各自的目標函數隨時間的變化情況.本文所有實驗均在MatlabR2008a,win7系統,處理器AMDAthlon(tm)II×2215,CPU2.70GHz,RAM:2.00GB環境下運行.4數值實驗與分析本文針對一類無約束優化問題,利用對稱形式的交替方向乘子法SUMAM進行求解.數值實驗結果表明,該算法達到了較

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