1.特征值與特征向量的概念與計算

2.特征值與特征向量的性質§5.1矩陣的特征值與特征向量1.特征值與特征向量的概念與計算§5.1矩陣的特征值1定義5.1.1

設A是n階復(實)矩陣,若

為復(實)數,0是一復(實)n維向量,使得A

(0

)，則稱

為A的特征值,

為A的屬于

的特征向量.1

只有方陣才有特征值和特征向量;2

特征向量是非零向量.說明：

1.特征值與特征向量的概念與計算定義5.1.1設A是n階復(實)矩陣,若為復(實)2定義5.1.2

設A是n階矩陣,

的多項式

I

A

稱為A的特征多項式,并記為fA

I

A

.fA

I

A=0稱為A的特征方程,特征方程的根即為A的特征值.

I

A

稱為A的特征矩陣。定義5.1.2設A是n階矩陣,的多項式I3求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟：4定義對方程

f

x

0,若有x*使得f

x*

0,則稱x*為方程f

x

0的根或函數f

x

的零點.特別是,如果函數f

x

能寫成f

x

x

x*

mg

x

且g

x*0,

m

1,則稱x*為f

x

0的m重根,或為f

x

0的m重零點.一重根

m

1

通常稱為單根.定義對方程fx0,若有x*使得fx*5例1

設求A的特征值與特征向量．解

例1設求A的特征值與特征向量．解6線性代數特征值一課件7得基礎解系為：得基礎解系為：8例2解例2解9線性代數特征值一課件10線性代數特征值一課件11例3

證明：若

是矩陣

A的特征值，

是A的屬于

的特征向量，則

m必為Am的特征值，這里m為正整數.證明例3證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于12

比例3更一般的結論：

若

是矩陣

A的特征值，

是A的屬于

的特征向量，g

x

=

asxs+as1xs1+…+a1x+a0

為任一多項式，試用特征值定義證明：g

是矩陣多項式g

A

=asAs+as1As1+…+a1A+a0I的特征值，

仍是g

A

的屬于g

的特征向量。比例3更一般的結論：若是矩陣A的特征值13例4

設A是n

階方陣，其特征多項式為解說明:但特征向量不一定相同。例4設A是n階方陣，其特征多項式為解說明:但特14特別地:對角矩陣它們的特征值均為主對角元a11,a22,

,ann.

三角形矩陣

特別地:對角矩陣它們的特征值均為主對角元a11,a22,15

2.特征值與特征向量的性質性質1

設

A

aij

是n階矩陣，則2.特征值與特征向量的性質性質1設Aaij16性質2

n階矩陣設

A有且僅有n個特征值,其中m重特征值以m個計.性質2n階矩陣設A有且僅有n個特征值,其中m重特17性質3設

1

,

2

,

,

n為

A的n個特征值(i未必互異),則

3

A不可逆

A

0

A有零特征值.2

A可逆

A

0

A的特征值均非零;

且若

為可逆矩陣A的特征值,則

1為A1的特征值.且AX

0的基礎解系即為屬于零特征值的線性無關的特征向量.注:1

可用此性質驗證所求的特征值是否正確;性質3設1,2,,n為A的n個特征18線性代數特征值一課件19定義稱特征子空間V

0的維數dimV

0為

0的幾何重數.性質5設

0為A的m重特征值,則dimV

0

m.即特征值的幾何重數不超過其代數重數.

特別地:m

1時,dimV

0

1.dimV

0

n

r

0I

A

0對應的線性無關的特征向量的個數定義稱特征子空間V0的維數dimV0為0的幾何重數.20注意特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；但一個特征向量不能屬于不同的特征值．注意特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，21

1.矩陣的對角化§5.2矩陣的對角化1.矩陣的對角化§5.2矩陣的對角化22定義5.2.1

設A,B為兩個n階矩陣.若有可逆矩陣P,使得P1AP

B.則稱A與B相似，記作A～B.注：矩陣相似關系滿足:(1)

反身性:A～A;(2)

對稱性:若A

～

B則B～A;(3)

傳遞性:若A

～

B,B

～

C,則A

～

C.相似變換矩陣。

1.矩陣的對角化定義5.2.1設A,B為兩個n階矩陣.若有可逆矩陣23

2

A～BA與B均為n階方陣2A～BA與B均為n階方陣24性質5.2.1證明定義：如果矩陣A相似于對角矩陣,就稱A可對角化.性質5.2.1證明定義：如果矩陣A相似于對角矩陣,就稱A可25P1APdiag1,

2,

,

n

.矩陣P稱為將A對角化的變換矩陣,P的每一列是A的特征向量,而對角矩陣的主對角元恰為A的特征值.

A的n個線性無關的特征向量

1,

2,

,

n所組成的矩陣就是變換矩陣P,

但要注意

1,

2,

,

n的排列順序必須與

1,

2,

,

n的排列順序相對應.P1APdiag1,2,,n.矩26推論5.2.1如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A必可對角化，反之不一定成立。推論5.2.1如果n階矩陣A的n個特征值互不27線性代數特征值一課件28，A能否對角化？例5

解

若能對角化，，A能否對角化？例5解若能對角29得基礎解系即線性無關的特征向量為得基礎解系即線性無關的特征向量為30所以可對角化。所以可對角化。31注意即矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的位置