微分與差分方程模型簡介微分與差分方程模型簡介1常微分與常差分方程的定義種群動力學模型簡介流行病動力學模型簡介模型性態分析方法簡介常微分與常差分方程的定義2一.常微分與常差分方程的定義1.導數的定義及其意義

設函數在點的某域內有定義,則稱極限為函數在點處的導數.函數在某點處的導數反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度,是刻畫函數變化率的一個重要數學量.任意一個涉及到兩個變量之間變化率的實際問題均可考慮建立微分方程模型來進行討論.如速率,出生率,死亡率等.一.常微分與常差分方程的定義1.導數的定義及其意義設函數在32.常微分方程定義凡含有未知函數,未知函數的導數與自變量之間的關系的方程,叫做微分方程.未知函數是一元函數的叫常微分方程,未知函數是多元函數的叫偏微分方程.微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數叫做微分方程的階.n階微分方程形如特別地,一階微分方程為需要注意:n階微分方程的通解含有n個任意常數.若需確定這n個任意常數,需給出n個初始條件.但并非每個微分方程或方程組均可求出其解.2.常微分方程定義凡含有未知函數,未知函數的導數與自變量43.差分與差分方程定義3.1設函數y=f(x),記為yx.當x取遍非負整數時,所得函數值可排成一數列:則差稱為函數有y=f(x)的一階差分,記為3.差分與差分方程則差稱為函數有y=f(x)的一階差分,記5類似地,可定義二階以上的差分.定義3.2含有未知函數差分或表示未知函數幾個時期的符號的方程稱為差分方程.差分方程中未知函數的最大值與最小值之差稱為差分方程的階.例如定義3.3如果一個函數帶入差分方程后,方程兩邊相等,則稱此函數為差分方程的解.類似地,可定義二階以上的差分.定義3.3如果一個函數帶入6類似于常系數線性齊次常微分方程的通解的構造,我們只需找到該差分方程的n個線性無關的解,作出其線性組合即可.類似于常系數線性齊次常微分方程的通解的構造,我們只需找到該差7常見的一階差分方程設f是由區間[a,b]到其自身的一個連續映射,一階自治差分方程的一般形式為給定初值,通過上式反復迭代上述方程的解為一數列常見的一階差分方程給定初值,通過上式反復迭代上述方程的解為一8二.種群動力學模型簡介

種群動力學是用動力學的方法去研究種群生態學,而種群生態學是生態學的一個重要分支,也是迄今為止數學在生態中應用的最廣泛深入,發展的最為系統和成熟的分支.下面將通過數學生態學中的一些基本動力學模型,簡要介紹建模思想,及常用的研究方法.生態學是研究生物的生存條件,生物群與環境之間相互作用的過程及其規律的科學.在一特定時間內占據一定空間的同一物種的集合成為一個種群,種群的每個成員成為一個個體.種群生態學的著眼點在整個種群的演變規律和發展趨勢,而往往忽略個體的特性.

二.種群動力學模型簡介種群動力學是用動力學的方法去研9種群生態學研究的主要問題有兩個:(1)種群隨時間的變化規律.隨著時間的推移,種群是持續生存還是絕滅,種群規模是否具有平衡態,有幾個,是靜平衡還是動平衡等等.(2)如何對可再生資源進行開發利用才能既保持生態平衡,又獲取最大的經濟效益.(1)單種群模型1.Malthus人口模型X(t)表t時刻人口數,模型表為t時刻種群的變化率是與種群數目成正比.r為內稟增長率,是種群的出生率b與死亡率d之差.種群生態學研究的主要問題有兩個:(1)單種群模型X(t)表t10方程的解為Malthus模型當t不很長時是比較符合實際的,但當t趨于無窮大時x(t)將無限增長是與實際不符的.問題在于建立數學模型時沒有考慮到有限的資源對種群規模增長的制約作用.2.Logistic模型K>0為環境容納量.它表示保持種群規模增長,環境所能容納的最大種群規模.種群規模的相對增長率與當時所剩余的資源份量(1-x/K)成正比.方程的解為Malthus模型當t不很長時是比較符合實際的,但113.離散的Logistic模型離散模型通常用以描述世代不重疊的種群(蠶).設第n代種群規模為xn,則離散的logistic模型為4.具有時滯的單種群模型

(1)確定時滯模型是妊娠所需要的時間.事實上,t時刻種群的相對增長率取決于時刻種群的規模.時刻增加的個體,在時已孕育在母體.3.離散的Logistic模型4.具有時滯的單種群模型是妊12(2)連續分布時滯模型若t時刻種群規模的相對增長率依賴于t時刻以前的整個歷史時期中種群規模的發展,而在不同時刻又以不同的權函數p(u)影響,則有5.具有生理階段結構的單種群模型實際上,年齡是影響種群規模的一個重要指標.因為在不同年齡段的生物群體具有不同的生育力和死亡率,涉及年齡的模型有三類:(1)按年齡段劃分為若干階段(幼,成,老),建立常微分方程組模型(2)離散地劃分年齡,建立矩陣代數方程.(3)考慮年齡連續分布,建立一階偏微分方程.(2)連續分布時滯模型5.具有生理階段結構的單種群模型136.具有離散年齡結構的單種群模型把所討論物種的最大成活年齡區間分成n個相等的子區間,同時把從t0開始的時間也按與年齡子區間相等的長度加以劃分,在將這兩類子區間分別從小到達加以編號,用xij表示在第j個時間段內年齡位于第i段的種群規模.假定種群的規模只決定于時間和年齡,或略密度制約因素.a.設pi是年齡處于第i段的個體能活到i+1段的概率,即b.設Bi是年齡為i段的每一個體在一個時間段內平均生育的下一代數量,即6.具有離散年齡結構的單種群模型b.設Bi是年齡為i段的每一14即此為著名的leslie矩陣模型.即此為著名的leslie矩陣模型.157.具有擴散的單種群模型由于環境容納量的限制或者環境條件的改變等影響,種群有時會在兩個或多個棲息地間遷徙.種群規模(密度)大的斑塊上種群通常向種群規模(密度)小的斑塊遷徙或擴散.現實世界中種群不可能單獨生存,它必于相關種群相互作用,相互依存.這樣,基于單種群模型,各種多種群相互作用模型被建立與討論.7.具有擴散的單種群模型現實世界中種群不可能單獨生存,它必于16(2)雙種群模型Lotka-volterra模型x,y分別表示兩種群的規模(密度),系數b1與c2為非正常數,反映兩種群的密度制約因素.c1與b2反映另一種群對本種群的影響因素.a1與a2分別為兩種群的內稟增長率.(1)捕食型:c1b2<0,如魚和蝦米.(2)競爭型:c1<0,c2<0,每一種群的存在限制另一種群規模的增長,二者共同競爭資源.(3)合作型:c1>0,c2>0,如蜜蜂和花朵,二者相互促進對方的增長.(2)雙種群模型x,y分別表示兩種群的規模(密度),系數b117三.流行病動力學模型簡介

流行病的傳播規律和防治對策的研究是關系到人類信息和國計民生的重大問題.近年來,隨著環境的污染,生態的破壞及國際交流的頻繁,使過去得以控制的某些傳染病再次抬頭蔓延,一些新的傳染病也來勢兇猛,這使流行病的研究顯得更為重要和迫切.下面將通過一些基本模型介紹流行病動力學的建模思想,基本知識和常用的方法.(1).Kermark-mckendrick的SIR模型(倉室)1927SIR三.流行病動力學模型簡介流行病的傳播規律和防治對策的18把人群分為三類:1.易感者類,指t時刻尚未感染但有可能感染成為傳染病人者,其數量記為S(t).2.染病者類,指t時刻已被傳染成為病人者,其數量記為I(t).3.移除者類,指t時刻已恢復且具有免疫力者以及因病死亡者,其數量記為R(t).做如下三個假設:單位時間內每一病人接觸易感者的數量為,從而在時刻單位時間內被所有病人傳染的人數為.單位時間內移出染病者類即恢復的比例為常數.表示平均病程時間,在時間內或者病人全部恢復或因病死亡不考慮人口的流動和自然出生和死亡.即環境封閉,切疾病隨時間的變化與自然死亡隨時間的變化要顯著得多.把人群分為三類:19系統性質如下:S(t)+I(t)+R(t)=K,K為總人口,是常數.系統可簡化為如下系統系統性質如下:20時,隨時間的推移,染病者先將增加達到最大值而后逐漸減少最終消亡.5.令.當R0>1時疾病流行,R0<1時疾病不會流行,染病者單調減少而趨于零.R0稱為基本再生數.6.為防止疾病的流行,需控制R0<1,即可以加強治療縮短病程,也可以通過免疫接種使易感者獲得免疫力而直接成為移初者.時,隨時間的推移,染病者先將增加達到最大值而后逐漸減少最終消21(2).Kermark-Mckendrick的SIS模型1932假設恢復者不具有免疫力而被再次傳染.SI模型為系統性質如下:S(t)+I(t)=1,1為總人口數.2.系統可簡化為(2).Kermark-Mckendrick的SIS模型19223.當時,系統有唯一的平衡位置S(t)=1,從任一初值出發的解S(t)單調增加趨于1,I(t)單調減少趨于0,即疾病消失.4.當時,系統有兩個平衡位置S(t)=1(不穩定)及S(t)=(漸近穩定),從任一初值出發的解S(t)趨于,而I(t)趨于,即疾病發展成為地方病.(3)流行病動力學模型的基本形式1.不考慮出生死亡等種群動力學因素SIRSIRSa.3.當時,系統有唯一23SISISb.2.考慮出生死亡等種群動力學因素SI3.考慮出生死亡等種群動力學因素及免疫接種.SISIRAbNdSdIdRpSSISISb.2.考慮出生死亡等種群動力學因素SI3.考慮出24類似于前面,由框圖可寫出對應的微分動力學模型.所關心的問題是尋求決定疾病是否流行的閾值,其次是尋求地方病平衡點和無病平衡點的存在性及穩定性.類似于前面,由框圖可寫出對應的微分動力學模型.所關心的問題是25四.模型性態分析方法簡介對于微分動力系統模型,一般有如下討論方法可供參考:1.若系統的解可解出,最好是解出.通過直接分析解的性質,得到系統的動力學行為.MalthusModel,LogisticModel,Kermark-MckendrickModelofSIR.2.大部分系統的解難以求出,可采用定性分析的方法加以討論.二種群或多種群系統,具有動力學行為的流行病系統.3.借助于Maple,Matlab等數學軟件,求出系統的數值解,作出系統的解曲線,采用定量分析的方法討論系統的性質.四.模型性態分析方法簡介對于微分動力系統模型,一般有如下討論261.一維自治系統的平衡點與穩定性一維自治系統即是一個一階微分方程代入方程f(x)=0的實根x=x0為其平衡點，顯然它也是方程的常數解（齊解）．設x0為上述方程的平衡點，若對x0的任一鄰域U(x0)，存在一個屬于x0的鄰域U1(x0)，使得方程的每一個解x=x(t)，當x(0)∈U1時，對一切t>0，都有x(t)∈U，則稱平衡點是穩定的