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文檔簡介

常數項級數的概念與斂散性常數項級數的概念與斂散性

1.常數項級數的概念知識點講解2.

典型例題講解常數項級數的概念引例

用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正邊形，設表示內接正三角形面積,表示邊數增加時增加的面積，

則圓內接正邊形面積為當

時，這個和逼近于圓的面積

.即常數項級數的概念定義1給定數列稱無限和為常數項無窮級數，或無窮級數.稱為級數的部分和.常數項級數的概念定義2

若級數的部分和極限存在，即若不存在，則稱數項級數發散.則稱數項級數收斂，稱為數項級數的和，記為常數項級數的概念定理若數項級數收斂，則稱差值為級數的余項.若數項級數收斂于,典型例題講解例1

判斷數項級數是否收斂.解故級數收斂，且和為1.典型例題講解(1)當時，(2)當時，不存在，此時級數發散；例2

討論等比級數(也叫幾何級數)的斂散性.解當時，此時級數收斂，且和為典型例題講解此時級數發散.(3)當時，不存在，此時級數發散；(4)當時，不存在，課程小結1.介紹了常數項級數的概念及斂散性

2.兩種常見級數的斂散性

無窮級數的性質常數項級數的概念與斂散性

1.無窮級數收斂的性質知識點講解

2.典型例題講解無窮級數收斂的性質性質1證明

令則說明級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.

若級數收斂于是任意常數，則也是收斂的，其和為無窮級數收斂的性質性質2

若有兩個收斂級數證明

令則級數也收斂，其和為這說明級數也收斂，其和為級數的性質級數

收斂的充要條件是：推論1

若級數收斂，則

級數的柯西收斂準則無窮級數收斂的性質（2）若兩級數中一個收斂一個發散，則它們的和、差必發散；（1）收斂級數可逐項相加減；（3）若兩級數都發散，它們的和、差不一定發散.

例如，取此時收斂；取此時發散.性質2表明無窮級數收斂的性質推論2

若加括號后的級數發散，則原級數必發散.

性質3

在級數前面加上或減去有限項，不會影響級數的斂散性.

性質4

收斂級數加括號所成的級數仍收斂于原級數.

典型例題講解證明

因為

所以級數是發散的.例1

證明級數

是發散的.典型例題講解例2

證明調和級數

是發散的.證明

因為

由推論1無法判斷級數是發散的.在柯西收斂準則中，取

所以調和級數是發散的.

典型例題講解例3

判斷級數

是否收斂；若收斂，求其和.解

因為級數

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