河北省保定市河北祖沖之中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

） A. B. C. D.參考答案：C2.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a7+a13的值是一確定的常數(shù)，則下列各式：①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8﹣S5．其結(jié)果為確定常數(shù)的是（）A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤參考答案：A【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及已知條件求出a7是常數(shù)，即可判斷選項(xiàng)②③⑤正確．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1+a7+a13的值是一確定的常數(shù)，可得3a7是常數(shù)，故②正確；S13=13a7，所以S13是常數(shù)，故③正確；S8﹣S5=a6+a7+a8=3a7是常數(shù)，故⑤正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3.等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知求的值（）A．3

B．2

C．1

D．參考答案：A略5.如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面上的射影在直線上，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則所形成軌跡的長(zhǎng)度為

(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略6.如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是

(

)A．a(chǎn)b>ac

B．c(b-a)>0

C．cb2<ab2

D．a(chǎn)c(a-c)<0參考答案：C7.命題“x∈Z，使0”的否定是（

）

A．x∈Z,都有0

B．x∈Z，使＞0C．x∈Z,都有＞0

D.不存在x∈Z，使＞0參考答案：C略8.執(zhí)行如下程序，輸出的值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D9.曲線ρ=4sin（x+）與曲線的位置關(guān)系是（）A．相交過(guò)圓心 B．相交 C．相切 D．相離參考答案：B【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】先應(yīng)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，將曲線ρ=4sin（θ+）化為直角坐標(biāo)方程，軌跡為圓，再化簡(jiǎn)曲線為直線x+y﹣1=0，利用圓心到直線的距離公式，求出距離，判斷與半徑的關(guān)系，從而確定直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：曲線ρ=4sin（θ+）=2（sinθ+cosθ），∴ρ=2（sinθ+cosθ），化為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣2x﹣2y=0即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，圓心為（1，1），半徑為，曲線化為普通方程為直線x+y﹣1=0，則圓心到直線的距離為=，故直線與圓相交且不過(guò)圓心．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化為普通方程，及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10.已知，，，則的大小關(guān)系是

（

）A

B

C

D參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋擲一枚均勻的硬幣4次，則出現(xiàn)正面的次數(shù)多于反面此時(shí)的概率為

參考答案：12.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中.則橢圓的離心率的取值范圍是

.參考答案：略13.已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)椤?1)求集合.（2）求。

參考答案：（1）由題由解得，即（2）所以．略14.如圖，在正方體中，.分別是.的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_______參考答案：90。略15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.參考答案：16.如果任意實(shí)數(shù)x均使arctan≥–a成立，則a的取值范圍是

。參考答案：a≥017.函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：(1)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；(2)在[m，n]上的值域?yàn)閇2m，2n]，則稱區(qū)間[m，n]為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

_________________________.（填上所有正確的序號(hào)）①

②③

④參考答案：①③④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）10202030304040505060的頻率的頻率0現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站．（1）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？（2）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（1）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：解：1）表示事件“甲選擇路徑時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，表示事件“甲選擇路徑時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，，．用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率，則有：，；∵，∴甲應(yīng)選擇路徑；……………（4分），；∵，∴乙應(yīng)選擇路徑．……………（6分）（2）用A，B分別表示針對(duì)（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（1）知，，又事件A，B相互獨(dú)立，的取值是0，1，2，∴，，……………（9分）

∴X的分布列為012P0.040.420.54∴．……………（12分）19.（14分）.已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．（1）確定與的關(guān)系；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意，都有成立。參考答案：（1）;（2）見解析;（3）見解析（1）依題意得，則由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：∴-------------------------------------------------------------------------2分（2）由（1）得----------------------3分∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

∴①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，由得，由得，即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；----------------------------4分當(dāng)時(shí)，令得或，②若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；----------------5分③若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；-----------6分④若，即時(shí)，在上恒有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，------------------------------------------------------------------7分綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）證法一：由（2）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，------------11分令，則，-------------------------------------12分即---------------------------------------------------------------------------14分【證法二：構(gòu)造數(shù)列，使其前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，-----------------------------11分顯然也滿足該式，故只需證--------------------------------------------------------12分令，即證，記，則，在上單調(diào)遞增，故，∴成立，即．----------------------------------------------------------------------------14分】【證法三：令，則----10分令則，記-----------------------12分∵∴函數(shù)在單調(diào)遞增，又即，∴數(shù)列單調(diào)遞增，又，∴----------------------14分】20.（本小題滿分12分）已知在與時(shí)都取得極值．（1）求的值；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值參考答案：（1）的兩根為或有，得

---------------3分經(jīng)檢驗(yàn)符合題意

---------------1分（2）得

---------------1分得或

+0

—0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

----------4分

下結(jié)論

----------4分21.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用原料3噸、原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用原料1噸、原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗原料不超過(guò)13噸、原料不超過(guò)18噸．那么該企業(yè)分別生產(chǎn)多少噸的甲、乙兩種產(chǎn)品，可獲得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)是多少？參考答案：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x,y噸，可獲利潤(rùn)z萬(wàn)元，則，.由圖可知，當(dāng)時(shí)，z最大，且z.即該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3噸，乙產(chǎn)品4噸時(shí)，可獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為27萬(wàn)元.22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．（1）若PA=PD，求證：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM=3MC，求三棱錐P﹣QBM的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得