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文檔簡介

第五節隨機變量的函數的分布問題的提出離散型隨機變量的函數的分布連續型隨機變量的函數的分布小結布置作業第五節隨機變量的函數的分布問題的提出一、問題的提出

在實際中，人們常常對隨機變量的函數更感興趣.求截面面積A=

的分布.比如，已知圓軸截面直徑d

的分布，一、問題的提出在實際中，人們常常對隨機變量的函在比如，已知t=t0

時刻噪聲電壓V

的分布，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.在比如，已知t=t0時刻噪聲電壓V的分布，求功

設隨機變量X

的分布已知，Y=g(X)(設g是連續函數），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面進行討論.

這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.設隨機變量X的分布已知，Y=g(X)二、離散型隨機變量函數的分布解：當X

取值

1，2，5時，

Y取對應值

5，7，13，例1設X求

Y=2X+3的概率函數.～而且X取某值與Y取其對應值是兩個同時發生的事件，兩者具有相同的概率.故二、離散型隨機變量函數的分布解：當X取值1，2，如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當并項即可.一般地，若X是離散型r.v，X的分布律為X～則

Y=g(X)～如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當一般地，如：X～則Y=X2

的分布律為：Y～如：X～則Y=X2的分布律為：Y～三、連續型隨機變量函數的分布例2設X~求Y=2X+8的概率密度.三、連續型隨機變量函數的分布例2設X~求Y=2X+8例3

設

X具有概率密度,求

Y=X2的概率密度.解設Y和X的分布函數分別為和

，例3設X具有概率密度,求Y=X2若則Y=X2

的概率密度為：若則Y=X2的概率密度為：

從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過程中，關鍵的一步是設法從{g(X)≤y}中解出X,從而得到與{g(X)≤y}等價的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2

≤

y}

這樣做是為了利用已知的

X的分布，從而求出相應的概率.這是求r.v的函數的分布的一種常用方法.從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過例4

已知隨機變量X的分布函數F(x)是嚴格單調的連續函數,證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.

下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數的概率密度.例4已知隨機變量X的分布函數F(x)是嚴格單調的連續函數,其中，X=是

y=g(x)的反函數.定理

設

X是一個取值于區間[a,b]，具有概率密度f(x)的連續型

r.v,又設y=g(x)處處可導，且

是嚴格單調函數

，則Y=g(X)是一個連續型r.v.，它的概率密度為此定理的證明與前面的解題思路類似其中，X=是y=g(x)的反函數解例5

設隨機變量服從正態分布，證明

也服從正態分布.解例5設隨機變量概率2-5隨機變量及其分布ppt課件四、小結

對于連續型隨機變量，在求Y=g(X)的分布時，關鍵的一步是把事件

{g(X)≤y}

轉化為X在一定范圍內取值的形式，從而可以利用X

的分布來求P{g(

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