第八節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系第九章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.能夠根據(jù)不同的情境,建立平面直線和圓錐曲線的方程.2.能夠運(yùn)用代數(shù)的方法研究直線和圓錐曲線之間的基本關(guān)系.3.能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實(shí)際問題,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2.相交弦的中點(diǎn)問題3.條件可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)倍數(shù)的問題4.求由直線與圓錐曲線的交點(diǎn)表達(dá)的量1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學(xué)抽象4.數(shù)學(xué)運(yùn)算5.數(shù)學(xué)建模強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點(diǎn),僅有一個公共點(diǎn)及有兩個相異的公共點(diǎn).(2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.①若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合).②若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ>0時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn);當(dāng)Δ=0時,直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn);當(dāng)Δ<0時,直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn).2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k(k≠0)的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(2)當(dāng)斜率k不存在時,可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接計算(利用兩點(diǎn)間距離公式).3.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題4.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型,后計算”(1)定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)計算,就是利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時,橢圓常設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0),拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0).(3)橢圓與雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常數(shù),當(dāng)A>B>0時,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;當(dāng)B>A>0時,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng)AB<0時,表示雙曲線.5.通徑:過橢圓、雙曲線、拋物線的焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的弦稱為通徑,橢圓與雙曲線的通徑長為

,過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短;拋物線通徑長是2p,過拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短.橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為a+c,最短距離為a-c.6.定值、定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點(diǎn),就是要求的定點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.7.點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部或外部的充要條件

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例突破例1.(1)過雙曲線x2-

=1的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條答案:(1)C

(2)C

∵點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.規(guī)律方法直線與圓錐曲線位置關(guān)系的解決方法:直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題有兩種類型,一是判斷位置關(guān)系,二是依據(jù)位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍.這兩類問題在解決方法上是一致的,都是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系求解.此時注意觀察方程的二次項系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條(2)若直線y=kx+1(k∈R)與雙曲線x2-y2=2有且僅有一個公共點(diǎn),則k=

.解析:(1)當(dāng)直線斜率不存在時,直線為y軸,顯然直線與拋物線只有一個交點(diǎn).當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為y=kx+1,與拋物線方程聯(lián)立得k2x2+(2k-4)x+1=0,當(dāng)k=0時,y=1代入拋物線方程求得x=

,此時直線與拋物線有一個交點(diǎn),當(dāng)k≠0時,要使直線與拋物線只有一個交點(diǎn),需Δ=(2k-4)2-4k2=0,求得k=1,綜合可知要使直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn),這樣的直線有3條.此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有且只有一個交點(diǎn),滿足題意;②當(dāng)1-k2≠0時,由直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn),考點(diǎn)二中點(diǎn)弦問題典例突破

突破方法處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.A.3x-2y-2=0 B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0 D.3x-4y-1=0(2)(2021黑龍江哈九中三模)已知橢圓

,過點(diǎn)M(2,1)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為

.

答案:(1)B

(2)9x+8y-26=0

考點(diǎn)三條件可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)倍數(shù)的問題典例突破例3.(1)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線C的兩個交點(diǎn)分別為A,B,且滿足

,E為AB的中點(diǎn),則點(diǎn)E到拋物線準(zhǔn)線的距離為(

)(2)直線l:y=k(x+1)(k>0)與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M,N,若|AM|=2|BN|,則k=

.

解析:(1)(方法1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為x=ty+1,t≠0,方法技巧1.此類問題的解法:條件可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)倍數(shù)的問題的求解方法一般有兩種,一種是利用一元二次方程求根公式直接求根;另一種是利用韋達(dá)定理整體代換,即構(gòu)造一個能用韋達(dá)定理的代數(shù)式.2.難點(diǎn)化解方法:在第(2)題中,解方程組

消去y,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由|AM|=2|BN|,得x1+1=2(x2+1),沒法利用韋達(dá)定理消元,只能用求根公式求出x1,x2代入,從方程的結(jié)構(gòu)看會有較大的運(yùn)算量,而本例上述的解法就很好地避開了較大的運(yùn)算量.答案:B

考點(diǎn)四求由直線與圓錐曲線的交點(diǎn)表達(dá)的量典例突破

(1)求橢圓的方程;(2)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).將x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入①,得k1+k2=0,所以直線MA,MB是關(guān)于直線x=2對稱的直線,即直線x=2為∠AMB的平分線,所以△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為2.解題心得本例的