第二節等差數列第六章內容索引0102強基礎固本增分研考點精準突破課標解讀1.理解等差數列的概念.2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系,并能用等差數列的有關知識解決相應的問題.4.理解等差數列與一次函數的關系.強基礎固本增分1.等差數列的概念一般地,如果數列{an}從第

2

項起,每一項與它的前一項之差都等于

同一個常數d

,即

an+1-an=d

恒成立,則稱{an}為等差數列,其中d稱為等差數列的

公差

.

2.等差數列的通項公式及其推廣若等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=

a1+(n-1)d

.該式可推廣為an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).

3.等差數列通項公式與函數的關系an=a1+(n-1)d可化為an=nd+a1-d的形式.如果記f(x)=dx+a1-d,則an=f(n),而且(1)當公差d=0時,f(x)是常數函數,此時數列{an}是常數列(因此,公差為0的等差數列是常數列);(2)當公差d≠0時,f(x)是一次函數,而且f(x)的增減性依賴于公差d的符號,因此,當d>0時,{an}是遞增數列;當d<0時,{an}是遞減數列.這也說明,當用直角坐標系中的點來表示等差數列時,所有的點一定在一條直線上.4.等差中項在一個等差數列中,中間的每一項(既不是首項也不是末項的項)都是它的前一項與后一項的等差中項.5.等差數列的前n項和公式微點撥1.在等差數列中,從第2項起,每一項都是它前一項與后一項的等差中項,即an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).證明一個數列是等差數列的“等差中項法”2.任何兩個實數都有等差中項,且等差中項是唯一的.6.等差數列的常用性質(1)等差數列的通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若數列{an}為等差數列,且m+n=p+q,則

am+an=ap+aq

(m,n,p,q∈N*).

特別地,若m+n=2t,則am+an=2at(m,n,t∈N*).(3)若數列{an}是等差數列,公差為d,前n項和為Sn,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數列.數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差數列,公差為m2d.常用結論1.數列{an}為等差數列的充要條件是an=kn+b(k,b∈R).2.若數列{an}的前n項和為Sn,則數列{an}為等差數列的充要條件是Sn=an2+bn(a,b∈R).3.在等差數列{an}中,若Sm=Sn,則Sm+n=0.4.在等差數列{an}中,若d>0,則數列{an}為遞增數列;若d<0,則數列{an}為遞減數列;若d=0,則數列{an}為常數列.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.若數列{|an|}不是等差數列,則{an}也不是等差數列.(

)2.在等差數列{an}中,若m+n=p,則am+an=ap.(

)3.在等差數列{an}中,若m+n+p=3t,則am+an+ap=3at.(

)4.若數列{an}的前n項和為Sn=-n2+5n,則{an}中不存在相等的兩項.(

)××√√題組二

雙基自測5.

在等差數列{an}中,若S15=5(a2+a6+ak),則k=

.

答案

16解析

因為S15=15a8=5×(3a8),所以3a8=a2+a6+ak,因此有2+6+k=24,故k=16.6.

數列{an},{bn}都是等差數列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100.求數列{an+bn}的前100項的和.解

依題意{an+bn}為等差數列,其首項a1+b1=5+15=20.又a100+b100=100,所以{an+bn}前100項的和為研考點精準突破考點一等差數列基本量的運算題組(1)(2023·山東煙臺高三月考)已知在等差數列{an}中,Sn為其前n項和,S4=24,S9=99,則a7等于(

)A.13 B.14 C.15 D.16(2)(多選)(2023·湖南岳陽高三模擬)已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn,若a9=S17,下列說法正確的是(

)A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10答案

(1)C

(2)BC規律方法

解決等差數列基本量運算的思想方法(1)方程思想:等差數列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯系,整體代換即可求解.(3)等價轉化思想:運用等差數列性質可以化繁為簡,優化解題過程.考點二等差數列的判斷與證明規律方法

等差數列的判斷與證明的方法

方法解讀適合題型定義法an-an-1(n≥2,n∈N*)為同一常數?{an}是等差數列解答題中證明問題等差中項法2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立?{an}是等差數列通項公式法an=pn+q(p,q為常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列選擇、填空題中的判定問題前n項和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常數)對任意的正整數n都成立?{an}是等差數列對點訓練(2023·廣東惠州高三期中)記Sn為數列{an}的前n項和,已知Sn=nan-n2+n.(1)證明:{an}是等差數列;(1)證明

由已知Sn=nan-n2+n,①∴Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n≥2).②由①-②,得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=2(n≥2且n∈N*).故{an}是以2為公差的等差數列.

考點三等差數列的性質及其應用(多考向探究預測)考向1等差數列的性質題組(1)(2023·安徽阜陽高三月考)設等差數列{an}的前n項和為Sn,3a3+2a8=35,則S9=(

)A.56 B.63 C.67 D.72(2)(2022·山西太原二模)等差數列{an}的前n項和為Sn,若

=-2,則{an}的公差d=(

)A.1 B.2 C.-1 D.-2(3)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2,S2n=6,則S4n=(

)A.8 B.12 C.14 D.20答案

(1)B

(2)D

(3)D

(4)A解析

(1)(方法1)由于3a3+2a8=a3+2(a3+a8)=a3+2(a5+a6)=2a5+2a6+a3=2a5+(a5+a7)+a3=3a5+(a7+a3)=3a5+2a5=5a5=35,于是a5=7,故S9=9a5=63.故選B.(3)由已知得Sn=2,S2n-Sn=6-2=4,因此Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n構成首項為2,公差為2的等差數列,于是S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=2+4+6+8=20.故選D.答案

D規律方法

利用等差數列的性質解題的關注點(1)等差數列中兩項和的轉換是最常用的性質,利用2am=am-n+am+n可實現項的合并與拆分,在

中,Sn與a1+an可以相互轉化.(2)在等差數列中,前奇數項的和與中間項的關系S2n-1=(2n-1)an可以將中間項與前n項和聯系起來,相互轉化.(3)在等差數列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,并不是Sm,S2m,S3m成等差數列,在運用時注意區分.考向2等差數列前n項和的最值例題(2023·