專題3.22函數中幾何壓軸題(一)

1.(2022?江蘇徐州?徐州市第十三中學校考三模)如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

點E是CO的中點，P是射線D4上一點，延長EP交直線A3于尸，過P作PGLEF,分別

交射線C8、直線A8于G、H.

EP

(1)□當PQ=3時，—=____；

rCr

□點尸在A/)上取不同位置，器的值是否變化？若不變，求出它的值，若改變，請說

明理由；

(2)連接FG,當是等腰直角三角形時，求尸￡＞的長；

(3)直接寫出CG的最小值

(備用圖)

2.(2022?山東荷澤?統考三模)如圖,直線y=-x+4與x軸交于點三與y軸交于點8,

拋物線y二以。+x+c經過8,C兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)E是直線8c上方拋物線上的一動點，當點￡到直線8c的距離最大時，求點E的坐

(3)。是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P,使得以P,Q,B,C為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點尸的坐標：若不存在，請說明理由.

3.（2022?天津河東?統考二模）已知，平面直角坐標系中有一個邊長為6的正方形。4BC,

M為線段OC上的動點，將.AQW沿直線4M對折，使。點落在O'處.

圖①圖②

(1)如圖口,當NQ4M=30°時,求點。'的坐標;

⑵如圖口，連接CO',當CO'〃AM時.

求點M的坐標;

口連接。8,求△AO'M與‘AO8重疊部分的面積;

（3）當點拉在線段OC（不包括端點）上運動時，請直接寫出線段O'C的取值范圍.

4.（2022?浙江溫州?溫州市第二實驗中學校考二模）如圖，點”在y軸正半軸上，點8

坐標為(-4,0),點C坐標為(4,0).。為/C邊上一點,記。點的橫坐標為〃，過點D作。E〃x

軸，與48邊交于點F,與過8,O,。三點的拋物錢交于點及連結F。，EC交于點、H,EC

交于點G.

(1)求。凡OE的長(用含〃的代數式表示).

(2)求EC:G”的值.

5.(2022?上海松江?統考二模)如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=2x+8與x軸

交于點/、與V軸交于點8,拋物線y=-￡+6x+c經過點Z、B.

(1)求拋物線的表達式；

(2)尸是拋物線上一點，且位于直線上方，過點尸作軸、PN〃x軸，分別交

直線AB于點M、N.

□當時，求點尸的坐標；

2

口連接OP交AB于點C,當點C是MN的中點時，求g的值.

6.(2022?河北唐山?統考二模)如圖，在直角坐標系X。y中，直線y=x經過點/(-

4,a),直線心與//交于點與y軸交于點8,點/關于x軸對稱的點4在直線/2

上.

(1)求直線/2的函數表達式；

(2)連接48,求A/OB的面積；

(3)過點。(〃，0)作x軸的垂線，分別交//,/?于點M,N,若“，N兩點間的距離不

小于5,直接寫出〃的取值范圍；

(4)若。是直線/2上的一個動點，將。繞點P(l,0)順時針旋轉90。，得到點。，連

接。0',直接寫出O。'的最小值.

7.(2022?廣東深圳?深圳市觀瀾第二中學校考模擬預測)已知，點加為二次函數

y=—(x—0)2+助+1圖像的頂點，直線y=〃ir+5分別交x軸正半軸，y軸于點/,B.

(1)判斷頂點M是否在直線y=4x+l上，并說明理由；

(2)如圖，若二次函數圖像也經過點4B,且加x+5>-(》-匕)2+4。+1,根據圖像，寫

出x的取值范圍.

(3)如圖，點/坐標為(10,0),點M在內，若點0［，丫2)都在二次

函數圖像上，試比較M與乃的大小.

8.(2020?貴州遵義?統考二模)如圖，直線y=-x+4交x軸于點8、y軸于點C,拋物

線經過點8,點C,且過A(-3,0),連接AC,BC,點P是第一象限內拋物線上的一個動點.

(1)求此拋物線的表達式：

(2)動點尸運動到什么位置時，PBC的面積最大？若存在，請求出符合條件的P點的

坐標；若不存在，請說明理由：

(3)過點P作軸，垂足為點PM交BC于點Q.試探究點P在運動過程中,

是否存在這樣的點0,使得以4C,。為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此

時點P的坐標，若不存在，請說明理由；

9.(2023?遼寧鞍山?統考一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=以2+桁-3與x

軸交于A(TO),8(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點。(0,-1),點尸為線段8C上一動點，連接。尸并延長交拋物線于點，，連結

BH,當四邊形。￡>/陽的面積為］時，求點，的坐標；

(3)已知點E為x軸上一動點，點。為第二象限拋物線上一動點，以CQ為斜邊作等腰

直角三角形CEQ,請直接寫出點E的坐標.

10.(2022?云南文山?統考三模)已知拋物線y=加+(1-34b-3與X軸交于4、B兩點

(點/在點8左側)，頂點坐標為點.

(1)求m的值；

(2)設點P在拋物線的對稱軸上，連接3P,求。P+6BP的最小值.

3

11.(2023?四川綿陽?統考二模)拋物線丫=-聲2+法+。(6>0)與x軸分別交于A,8兩

O

點(點A在點8的左側)，與y軸交于點C(0,3),拋物線對稱軸為x=l,點尸是第一象限拋

物線上動點，連接8C,PB.

(1)求拋物線和直線3c的解析式；

(2)如圖1,連接E4,交BC于點、M,設AASM的面積為酬，一P8M的面積為反，求會

的最小值及此時點尸的坐標；

(3)如圖2,設NCBA=。，在直線8c上方的拋物線上是否存在點P,使得NP8C恰好

a

等于券，若存在，求出點尸的橫坐標；若不存在，請說明理由.

12.(2023?安徽滁州?校考一模)如圖，已知拋物線y=o?+瓜-3經過點A(-3,0),8(1,0),

與軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P為該拋物線上一點，且點尸的橫坐標為，

□當點尸在直線AC下方時，過點P作P￡〃x軸，交直線AC于點E,作PF〃y軸.交

直線AC于點尸，求PE+PF的最大值;

口若NPCB=3NOCB,求機的值.

13.(2023?云南曲靖?統考一模)如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線

y=or2+bx+c(awO)的頂點坐標為C(3,6),并與>軸交于點網0,3),點A是對稱軸與x軸

的交點，直線AB與拋物線的另一個交點為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接BC、CD,判斷△BCD是什么特殊三角形，并說明理由；

(3)在坐標軸上是否存在一點P,使為以3。為直角邊的直角三角形？若存在,

直接寫出點尸坐標；若不存在，說明理由.

14.(2023?遼寧阜新?校考一模)如圖1,拋物線y=板經過點于4(5,12),與x軸

交于點8(15,0)兩點，點”與點C關于拋物線的對稱軸對稱.

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點C的坐標;

(2)如圖2,點。是線段BC上一點，過點力作AE//OD交8C延長線于點E,若S四邊“小

:S四邊彩3c=2：3,求線段8。的長；

(3)在拋物線上存在點P,請直接寫出到直線04和到x軸的距離相等時點P的坐標.

15.(2023?四川宜賓?校考模擬預測)如圖，頂點為。的拋物線y=-x2+6x+c與x軸交

于A,B兩點(點A在點8的左側)，與y軸交于點C,直線y=-x+3經過點8,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AC,CD,BD.求證：AACO^ADBC；

(3)點P為拋物線對稱軸上的一個動點，點〃是平面直角坐標系內一點，當以點A,C,

M,P為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點尸的坐標.

16.（2023?山東濟南?校聯考模擬預測）正方形ABCD的邊長為4,AC,80交于點￡在

點4處建立平面直角坐標系如圖所示.

.點E的坐

x

標是,雙曲線的解析式是;

（2）如圖（2）,雙曲線y=&與BC,8分別交于點M,N（反比例圖像不一定過點E）.求

X

證M/V〃肛

L

（3）如圖（3）,將正方形A8CQ向右平移”（〃?＞（））個單位長度，使過點￡的雙曲線y

與A8交于點P.當_但是以AE為腰的等腰三角形時，求機的值.

L

17.(2023?遼寧鞍山?統考一模)如圖，已知函數y=：(%HO)經過點A(2,3),延長AO

交雙曲線另一分支于點C,過點工作直線AB交y軸正半軸于點。，交x軸負半軸于點E,

交雙曲線另一分支于點8,且。E=24).

(1)求反比例函數和直線A8的表達式；

(2)求.ABC的面積.

>

x

18.(2023?四川成都?統考一模)已知一次函數%=(x+2與反比例函數%=七的圖象交

于A(2,/M)、8兩點，交y軸于點C.

(1)求反比例函數的表達式和點8的坐標；

(2)過點。的直線交x軸于點E,且與反比例函數圖象只有一個交點，求CE的長；

(3)我們把一組鄰邊垂直且相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形叫做“維納斯

四邊形設點尸是v軸負半軸上一點，點。是第一象限內的反比例函數圖象上一點，當四

邊形AP8。是“維納斯四邊形”時，求。點的橫坐標”的值.

19.(2022?山東濟南?統考一模)圖，在平面直角坐標系中，矩形。4BC的頂點8的坐標

為(4,2),OA,OC分別落在x軸和y軸上，。3是矩形的對角線，將。鉆繞點。逆時針旋

轉，使點B落在y軸上，得到。DE,。。與C8相交于點反比例函數y='(x>0)的圖象

X

經過點F,交A8于點G.

(1)求tanZCOF的值及反比例函數表達式.

(2)在x軸上是否存在一點使的值最大？若存在，求出點M；若不存在，

說明理由.

(3)在線段OA上存在這樣的點P,使得△PFG是等腰三角形，請直接寫出OP的長.

20.(2022?山東濟南?統考模擬預測)已知，矩形OCB4在平面直角坐標系中的位置如圖

所示，點C在x軸的正半軸上，點A在軸的正半軸上，已知點8的坐標為(4,2),反比例

函數y="的圖象經過的中點。，且與BC交于點E,設直線DE的解析式為y=nvc+n,

X

連接。。，OE.

(1)求反比例函數>=公的表達式和點E的坐標；

X

(2)點M為y軸正半軸上一點，若的面積等于；QDE的面積，求點M的坐標；

(3)點P為x軸上一點，點。為反比例函數y=&圖象上一點，是否存在點尸、。使得以

X

點尸，Q,D,E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，

請說明理由.

備用圖

21.(2022?廣東佛山?校考三模)如圖1,在平面直角坐標系中，點C在x軸負半軸

19L

上，四邊形為菱形，反比例函數y=——(x>0)經過點反比例函數y=>

XX

(k>0,x<0)經過點8,且交BC邊于點。，連接AD.

(1)求直線BC的表達式.

⑵求tan/DAB的值.

(3)如圖2,尸是y軸負半軸上的一個動點，過點尸作y軸的垂線，交反比例函數>=--

X

(x>0)于點N.在點尸運動過程中，直線A3上是否存在點E,使以8,D,E,N為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

22.(2022?江蘇連云港?統考二模)如圖，已知一次函數丁=5+〃(。工0)的圖象與反比

k

例函數y=：(Z>0)的圖象交于點A(3,m)、3(”,-3)且與x軸相交于點。，過/點作

軸，垂足為C,其中心八40。的面積等于3.

(1)求出一次函數的表達式；

(2)直接寫出不等式依+〃>4的解集；

X

(3)點尸是一次函數>=以+〃圖象上的動點，若CP把,ABC分成面積比等于2:3的兩

部分，求點P的坐標.

>77

23.(2022?廣西河池?統考二模)如圖，一次函數片乙+》的圖象與反比例函數y=—的

x

圖象相交于4-1,〃),8(2,-1)兩點，與y軸相交于點C.

(1)寫出一次函數與反比例函數的解析式；

(2)過點8作x軸的平行線，交y軸于點連接ND,求的面積.

(3)直接寫出不等式組‘<也+匕的解集.

X

24.(2023?山東濟南?統考一模)如圖1,一次函數y=-2x+4的圖象交x軸于點A,交

y軸于點B,與反比例函數y=：*>0)的圖象交點

(1)求反比例函數的解析式；

(2)在雙曲線y=((x>0)上是否存在一點。，滿足SocongsAOB，若存在，請求出點

x2"

O坐標；若不存在，請說明理由.

⑶如圖2,過點B作交反比例函數丁一提（》＞0）的圖象于點"，點N為反比

例函數丁一（口〉。）的圖象上一點，么BM=NBAN,請直接寫出點N的坐標.

參考答案

4FFEF4

1.(1)T)點尸在AD上取不同位置，工廠的值不變，-=-(2)PD=2(3)672

【分析】(1)過G作G/LAD丁7,過E作證明出△GP/SAER/即

可得解；過G作G/LAO于/,過E作E/LAB于J,證明出△/GPs△17￡；/"即有

EF_EJS_4

PG-G/-6-3：

(2)根據PGJLEF,△PFG是等腰直角三角形時，即有PG=P/，根據相〃8,

pppA441PA

有二="，結合(1)中的結論即可求得PE=-PF,即有==3,

PEPD333PD

即可求出尸￡>；

(3)以5為原點,8C為x軸,為y軸建立直角坐標系，連接GE,設P點坐標為(〃1,6)、

G點坐標為(〃,0),利用待定系數法求出直線尸E的解析式，進而求出廠點坐標，根據勾股定

EF4FF216,9

理求出￡尸、PG?、EC、尸￡,再根據(?)中己得笠=?,即有鼻="，即匐2=9所2,

PG3PG2916

在必.PGE中，GE2=PG1+PE2,在mGEC中，GC2=GE'-EC\即

1Q

GC2=GE2-EC2=PG2+PE2-EC2，則有GC?=36+(——^y+(/M-8)2,設8-w?=t,即/>0,

m-8

1OIo

則GC?=(?+/)：根據蘭+.2a=一〃y20,得至IJ更+/22加=6也，即有

GC2=(—+Z)2>(6V2)2,則GC的最小值可求.

t

(1)解：過G作于/,過E作E/_LAB于J,如圖所示：

在矩形A8CO中，EJ=BC=S,GI=AB=6,

8=43=6,點E是C。的中點，

DE=CE=-DC=3,

2

8c=8,PD=3,

AP=AD-PD=8-3=5,

在RtPOE中，?D90?,PD=DE=3,則NPED=N石尸￡)=45。，

ZAPF=NEPD=45。,

□PG1EF,

ZAPG=45°,

在?△PAH中，ZBAD=90°,ZAPG=45°,

則NA//尸=NB”G=45。，

NGIP=NEJF=90。,NFE/=NGP/=45。,

△GP/s△防/,

EFEJ84

PG-GZ"6-3)

4

故答案為：—；

□點尸在A。上取不同位置，蕓的值不變，M=

rG〃CJ3

過G作G/L4。于/,過E作E/_LA8r/,如圖所示:

在矩形A8CO中，EJ=BC=8,GI=AB=6,

EJ//ADf

/FEJ=/DPE,

PG1EF,

ZDPE+〃PG=W,

Z/GP+Z/PG=90°,

ADPE=4GP,

\JUIGP=UFEJf

△JGPsAJEF,

EFEJ84

~PG~~GI~6~3,

點尸在AD上取不同位置，空的值不變，空=g;

rGrGJ

(2)解：PG1EF,

PGF是直角三角形,

當是等腰直角三角形時，PG=PF,

AB//CD,

PFPA

~PE~~PD'

在(1)中有E笠F=4?，

r(jr3

44

EF=-PG=-PF,

33

41

PE=EF-PE=-PF-PF=-PF,

33

PA二PFPF3

~PD~~PE~T^~，

3

PA=3PD,

[JPA+PD=AD=BC=8f

PA+PD=3PD+PD=AD=8,

PD=2；

(3)以8為原點，3C為x軸，43為y軸建立直角坐標系，連接GE,如圖,

則有8點坐標為(0,0)、C點坐標為(8,0)、E點坐標為(8,3),

設尸點坐標為0,6)、G點坐標為(〃,0),

戶點坐標為(嗎6)、E點坐標為(8,3),

設直線PE的解析式為y=kx+b,

[mk+b=6/2-8

則有：皿…，解得：”，

8攵+。=37c24

ib=3------

m-8

則直線PE的解析式為y=3x+3-心24三，

m-b—X

24

尸石與V軸的交點戶的坐標為(0,3-----),

772-8

24

E點坐標為(8,3),尸的坐標為(0,3-----),

加一8

夕92424

EF2=(8—0產+(3—3+----)29=827+(----)29,

zn-8帆-8

尸點坐標為(叫6)、G點坐標為5,0),

PG2—(m—n)2+(6—0)2=(m—n)2+62,

在(1)中已得E總F=4?，

rGJ

EF2.16

7G1-V

PG2=—EF2,

16

PG2=(m-n)2+61=—EF2=—[82+(烏-用=36+(-^-)2

1616zn-8m-8

P點坐標為(m,6)、E點坐標為(8,3),

PE2=(m-8f+(6-3)2=(%_8/+32,

E點坐標為(8,3)、C點坐標為(8,0),

EC?=(8-8f+(3-0)2=32,

QEFDPG,

在RtPGE中，GE2=PG2+PE2,

又在R/GEC中，GC2=GEZ-EC2，

GC2=GE2-EC'=PG2+PE2-EC2，

即：GC2=36+(3->+(〃?-8>+32-32=36+(4-y+(機一8)2,

ZH-8/n-8

□尸點在射線D4上，

/w<8,

則設8-〃?=t,即r>0,

GC12=36+(e-)2+(m-8)2=36+(―)2+12,

"7-8t

GC2=36+(—)2+/=(竺+/>,

tt

1o

—1—25/l8=

r+糜=6&,

GC2=(—+r)2>(6>/2)2,

t

則GC?的最小值為(6尤)2,

即GC的最小值為：6夜.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、平行線的性質、待定系數

法求解一次函數解析式、勾股定理以及構建直角坐標系等知識，構建直角坐標系求得

GC2=(―+Z)2>(6五f是解答本題的關鍵.

t

I775

2.(l)y=--x2+x+4(2)(2,4)(3)(5,--)或(-3,或(3,-)

【分析】(1)先利用一次函數的性質求出8、C的坐標，然后把8、C的坐標代入到拋

物線解析式中求解即可；

(2)要求E到直線8c的最大距離，即要求8CE面積的最大值，由此轉換成求「8CE

的面積最大值時點E的坐標即可：

(3)分8C為對角線和邊兩種情況利用平行四邊形對角線中點坐標相同進行求解即可.

(1)解：直線y=-x+4與x軸交于點C,與y軸交于點8,

點C的坐標為(4,0),點8的坐標為(0,4),

[16Q+4+C=0

[c=4

1

a=——

,2,

c=4

拋物線解析式為y=-1犬+x+4；

(2)解：如圖所示，過點E作E廠X軸于尸，交直線8C于G,設點￡的坐標為(〃?，

-；M+W+4),則點G的坐標為Cm,-w+4),

EG=-—nr+m+4+tn-4=--m2+2m,

22

S&BEC=S^BEG+S“EG

=；￡6(%-人)

+2mj

=-(^-2)2+4,

當〃?=2時，8EC的面枳有最大值，

設點E到8c的距離為〃，

SMEC=5BC.h,

□8C是定值，

□當匚8EC面積最大時，〃有最大值，

當點E到直線8c的距離最大時，點E的坐標為（2,4）；

（3）解：設點P的橫坐標為（〃，~n2+n+4）,

如圖1所示，當BC為以B、C、尸、。組成的平行四邊形BCP0的邊時,

拋物線解析式為丫=-；/+》+4,

__L_

拋物線對稱軸為直線2x1-1）=1，

-Y^=LY~（平行四邊形對角線中點坐標相同），

□〃=5,

7

點P的坐標為（5,

C、P、。組成的平行四邊形8C0尸的邊時,

〃+41+0

=

2-----2

〃=?3,

7

:點P的坐標為(-3,--)；

如圖3所示，當BC為以B、C、P、。組成的平行四邊形3尸C。的對角線時,

1+〃4+0

2,

匚歷=3,

「點P的坐標為(3,I)；

綜上所述，點尸的坐標為(5,--)或(-3,-])或(3,|)

【點撥】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與坐標軸的交點問題，平行四邊形的

性質，正確作出輔助線和畫圖圖形是解題的關鍵.

3.(1)0,363).(2)M(3,0),,.(3)60-6?COC6.

【分析】(1)如圖，連接0a交AM于。，過O'作的八OC于M由對折可得：

AO=AO是6,OM=OM,?OAM30??證明？OAOii6O?,V04O是等邊三角形，可

得？O^N30?,再利用三角函數可得答案；

(2)利用平行線的性質證明OM=Wf=CM=3,從而可得答案：如圖，連接。8,交

AM于。，交力O'于P,過。作QO〃OA交AO'于3,過。EJ_OC于E,再分別求解

20,O￡P的坐標，利用函數解析式與三角形的面積公式可得答案；

(3)如圖，由對折可得AO=A。則O'在以A為圓心，4。為半徑的08上運動，與。，8

不重合，連接/C,交0B于。，當。，。,重合時，C。'取得最小值，從而可得答案.

(1)解：如圖，連接0tx交AM于。，過O'作由八OC于N,

由對折可得：AO=AO'^6,OM=OM；2OAM30??

\OO誄AM,OQ=OQ,

\?OAOii60?,VQ4O是等邊三角形,

\00C=A0=6,

Q?AOM90?,

\?OMQ90?30?60?,

QAMA(900,

\?0乾)N30?,

\ON=6QW=3"

\0,3?3).

(2)QAM//O^C,

\?AMOOWCOjiAMO=?MCPC,而?AMO?AMO《

\2Moite?MCO,

\MO^MC,

\OM=O^M=CM=3,

\M(3,0).

如圖，連接。仇交AM于Q,交47于P,過。作。3〃。4,交47于。，過

OfE

=2=tanZOrCE=—

CE

設CE=x,則ME=3-x,O的=2x,

\32=(3-X)2+(2X)2,

解得：X=|,(不符合題意的根舍去)

,1224

\O^E=2x=—,OE=6-x=—,

55

'。鬻方，而4(0,6),

2412

設AO,為＞=代+6,則彳％+6=不，

3

解得：k1.

3

AO'為y=_-x+6,

4

同理可得：4W為y=-2x+6,OB為y=x,

ty--2x+6(x=2,、

'卜，解得：c，即。(2,2),

D=x[y=2、'

所以/=2,為=-J?26=g,即成g,

42秒2

同理可得：P料，

\SvA2P=蹙2?震。啜

△AO/M與AOB重疊部分的面積為：

SvAMOC-SVAQP=J倉*6-~=~'

(3)如圖，由對折可得AO=AO0

O'在以A為圓心，4。為半徑的OB上運動，與。,8不重合,

連接4C，交08于Q，

當Q,OC重合時，C。'取得最小值,

此時AC=V62+62=60,AQ=AO=6,

\COC=6夜-6,

所以C。’的取值范圍為：6&-6?COC6.

【點撥】本題考查的是正方形的性質，等邊三角形的判定與性質，軸對稱的性質，一次

函數的幾何應用，圓的基本性質，銳角三角函數的應用，熟練的利用一次函數的性質解決幾

何圖形面積問題，利用圓的基本性質求解線段長度的最小值是解本題的關鍵.

4.(l)Z)F=2n,￡>E=2n+4(2)6

【分析】(1)先證明AB=AC,AF=A￡>,再利用。點的橫坐標為〃，可得。尸的長度，再

求解拋物線的對稱軸，可得。E的長度；

/4/t4/

(2)設￡)(〃/)，而C(4,0),求解。。為：y=^—x----AB為:y=-——x+-——,

EC為：)，=?一FO為:y=--x,再求解G篇4J,,,Hjjpy,可得

〃+8〃+8n秒33秒22

「Hi

HF=OH,再利用三角形的面積比可得亍=不從而可得答案.

FG2

(1)解：點力在卜軸正半軸上，點B坐標為(~4,0),點C坐標為(4,0),OA1BC,

AB=AC,

QDF//BC,

、AFAD

\-----=------,

ABAC

...AF=AD,

QXD=n,

\DF=〃?(?〃)=2〃,

QB(-4,0),0(0,0),

???拋物線的對稱軸為：x=-2,

\=(-2)=〃+2,

\DE=2/7+4.

(2)解：設￡>(〃/),而。(4,0),

設。C為：y=kx+b,

ik=——

\nk-^b=t\n-4

，解得:

；4攵+。=0Y.

\b=-----

in-4

4r

，

."C為：片裝7x---n----47

t4t

同理：AB為：y=------x+------

4-n4-〃

Q￡(-n-4,r),C(4,0),

t4f

同理EC為：尸病》+氤,

Q，?〃/),

同理可得：FO為:y=--x,

n

J.t4ti-4-2n

xy=--x+-----\x=

14-7?4-n3

i解得:

i4tiIt

---------x+iy=

〃+8-〃+81T

33

nt

同理可得：H

22

是8的中點，即即二。”,

QDF〃BC,

\絲="=17C0HWEFH、貝iJC"=E",

HFEH

\'vcoH=l,EF=CO=4,

SvEFH第H

'SVEFH=Svc〃o=;倉山g二t，

\SYEFG二;?EF&YF先)=3倉也=寧，

\S'FGH=J不二＞

\G"J1

22'

FG-I

3

GH1

【點撥】本題考查的是坐標與圖形，等腰三角形的判定與性質，利用待定系數法求解一

次函數的解析式，一次函數的交點坐標問題，二次函數的對稱軸的性質，相似三角形的判定

與性質，掌握二次函數與等腰三角形的性質是解本題的關鍵.

5.(l)y=-x2-2x+8(2)(-2,8)；72-1

【分析】（1）由y=2x+8求A（Y,O）,8（0,8）,將/、8代入y=-/+6x+c即可求解;

(2)設設點尸的坐標為(f，"-2r+8),點M的坐標為“2+8),由9〃》軸，尸M〃y

PMMN1

軸，可得△PMV?2X084,——=——，當MN=-AB時，9=4即可求解；

OBAB2

過點。作軸，延長PM交工軸于點E,則P石〃CD,當點。是MN的中點時，

可得尸C=NC=MC,由尸N〃x軸，PM〃y軸，得=CN=?CA，/CP=盤CO，設點尸的坐標

CPCOCMCB

為(「*-21+8),則/>￡=—/—2f+8，OE=-t,由轉=空=2,即可求解；

(I)解：將x=0代入y=2x+8得，尸8,

將片0代入得0=2x+8,解得：x=-4,

所以A(T,0),8(0,8),

A(<0),8(0,8)在拋物線>=一/+"+。上，

f-16-4b+c=0.[b=-2

，解得

|c=8c=88

拋物線的解析式y=-/-2x+8

(2)「設點P的坐標為卜，一產-2r+8),

.PM-y軸，且點”在直線y=2x+8上,

，點M的坐標為“2+8)

PM=-t2-2/+8—2，一8二—「一4/

A(-4,0),8(0,8),

:.OA=4103=8,

PNx軸，PM〃y軸，

:.ZPNM=ZOAB,/PMN=/OBA,

:.APMN^/\OBA,

,PM_MN

當時，PM=4

2

/.-r2-4r=4,解得r=-2

???點P的坐標為(-2,8)

過點C作。。軸，延長PM交X軸于點E,則注:〃8.

當點。是的中點時，可得PC=NC=MC

.PN無軸，PM〃y軸，

,CNCACPCO

'~CP~'cdf~CM~~CB

.?.AC=BC=OC

???點C是45的中點

：.DO=2,CD=4

設點尸的坐標為(。一產-2,+8),則PE=-t2-2/4-8,OE=-t

PE//CD,

□□。。。□□。尸及

PECD0

,'OE~'OD~'

即f、2r+8=2,

-t

t=-2,^2

,PC=E￡=2^-2=^_1

OCDO2

【點撥】本題主要考查二次函數與一次函數綜合應用、三角形的相似，掌握相關知識并

靈活應用是解題的關鍵.

1)4

6.⑴直線4的函數表達式為y=-]X+2(2)s4^=4(3),4-2或心了⑷0。的最

小值為石

【分析】(1)根據對稱點的性質可以得到4的坐標，再通過點/'和點。的坐標就可以

計算得出直線的函數表達式；

(2)根據6的函數表達式計算出點B的縱坐標，得到0B的長度，根據點/的坐標可

以計算出A/OS的高，根據三角形的面積公式計算出最終的答案;

（3）根據直線的//、的函數表達式，用含〃的表達式得出加、N的坐標，再根據線段

不小于5的判斷條件得到關于n的不等式，最后計算出n的范圍；

（4）根據旋轉的性質，得出一PQEA。'"，設點。的坐標為（九〃），再根據〃的函數

表達式和全等三角形的性質，得到。'的坐標，再根據勾股定理得到O。'的一元二次方程，

最后通過配方法計算出最小值.

解：（1）匚點4（-4,°）和點C與b）在直線"：尸x上，

4

。=-4,/?=—,

3

點A的坐標為（-4,-4）,點C的坐標為弓,

DA關于x軸對稱的點為4,

口4的坐標為（-4,4）,

設直線/2為

點?（-4,4）和點在直線/2上，

4=-4k+b

解方程組得％=h=2,

2

直線〃的函數表達式為y=-gx+2,

故答案為：y—x+2.

過點“做垂直于50,交直線60與點兒

設8點為（0,m）,且8點在直線小y=-gx+2匕

m=2,

80=2,

口AHA.BH,

AH=4,

S“M=；B°XA〃=；X2X4=4,

故答案為:4.

設點M的坐標為(a,。)，點N的坐標為(c,d),

。垂直于x軸，

a=c=n,

□點用在//點上，點N在/2上,

b=n,d=—幾+2,

2

點A1的坐標為（〃，〃），點N的坐標為+2

當〃>0時，MN="（-g"+2）,

〃一（一;〃+2）之5,

?+2|>5,

、14

n>—

3

MN=（f+2〉〃

當〃<0時,

-77>5

n<-2,

〃工一2或〃N一,

3

14

故答案為：n<-2^n>—.

過點。做QE垂直于x軸，交1軸于點￡過點CF垂直于無軸，交x軸于點/

設點。的坐標為（"?，〃），

得〃=-L%+2,

2

乙QPE+ZPQE=90°,AQPE+/FPQ'=90°,

NPQE=NFPQ',

PQ=PQ,4QEP=4PFQ,

口”QEgQ'PF,

QE=PF,PE=FQ,

得QE=-gnz+2,OE=m,

PE=OE-OP.OP=1,

PE=ni-\PF=-■-m+2,

92，

OF=OP+PF,

OF=---/rz+2+1=——-+3,

22

OF。'為直角三角形，

OQ-=OF2+FQ-=（一；”?+3）+（/M-1）2,

OQ'2=等_5〃?+10=5e-1）+525,

。。’的最小是否.

故答案為行.

【點撥】本題考查直角坐標系、求一次函數的解析式、解直角三角形、全等三角形的判

定與性質、解一元一次不等式、二次函數的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握直相關知識

的聯系與運用.

7.(1)點M在直線y=4x+l上，理由見分析(2)x<0或x>5(3)0<匕時，yx>y2,b=\

4