高等數學主講人

宋從芝河北工業職業技術學院高等數學主講人宋從芝河北工業職業技術學院1

本講概要3.5函數的最大值和最小值閉區間上連續函數的最值某區間內有唯一極值點實際問題在開區間內有唯一駐點本講概要3.5函數的最大值和最小值2一.閉區間上連續函數的最值

存在性

設函數f(x)在[a,b]上連續

在閉區間上一定有最大值和最小值。一.閉區間上連續函數的最值存在性設函數f(x)3可能的最值點端點極值點駐點不可導點

(尖點)可能的最值點可能的最值點端點極值點駐點不可導點可能的最值點4（閉區間連續函數求最值）方法一的步驟:①求駐點和不可導點；②求區間內的端點、駐點和不可導點的函數值；③比較函數值的大小。（閉區間連續函數求最值）方法一的步驟:①求駐點和不可導點；②5例1求函數

在[-2,2]上的最大值與最小值。解函數

f(x)在[-2,2]上連續，在(-2,2)內可導比較函數值，則f(x)在[-2,2]上例1求函數在[-26練習求函數

在[-2,0]上的最大值與最小值。練習求函數在[-27

（函數在某區間內有唯一極值點x0）方法二:OO二.某區間內有唯一極值點當x0是極大值點時，就是該區間上的最大值點;當x0為極小值點時，即為該區間上的最小值點。

（函數在某區間內有唯一極值點x0）方法二:OO二.某區8例2

求函數的最大值。解函數的定義域為因為函數在定義域內有唯一的極大值點，則函數的極大值由極值的判定定理二知，就是函數的最大值。例2求函數的最大值。解函9①實際問題本身決定函數在開區間內確有最大值②在開區間內只有唯一駐點

則可以斷定駐點就是所要求的最大值點。（實際問題在開區間內有唯一駐點）方法三的步驟：

三.實際問題在開區間內有唯一駐點①實際問題本身決定函數在開區間內確有最大值（實際問題在開區間10

求函數的最值有三種方法：1.閉區間上連續函數的最值2.某區間內有唯一極值點3.實際問題在開區間內有唯一駐點閉區間閉區間、開區間開區間求函數的最值有三種方法：閉區間閉區間、開區間開區間11

在生產實踐和科學研究中，往往要求在一定條件下，“用料最省”、“耗時最少”、“成本最低”、“效率最高”等問題。這些問題，在數學上常常歸結為函數的最大值和最小值問題。在生產實踐和科學研究中，往往要求在一定條12(1)建立目標函數（確定定義域）；(2)選擇適當方法（3種）來求目標函數在定義域上的最值；求實際中最值的步驟：(3)求出最值或最值點。(1)建立目標函數（確定定義域）；(2)選擇適當方法（3種）13例3

用邊長為48cm的正方形鐵皮做成一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形。然后把四邊折起，就能焊成鐵盒。問在四角截去多大正方形，才能使所做的鐵盒容積最大？例3用邊長為48cm的正方形鐵皮做成一個無蓋的鐵盒時，在1448x48(a)x48-2x48-2x(b)圖形：48x48(a)48-2x48-2x(b)圖形：15問題歸結為：求x為何值時，函數V在區間內(0,24)取得最大值，鐵盒的容積為Vcm，解

令設截去的小正方形的邊長為xcm，據題意，則有駐點為x1=8，x2=24即，求最大值點。(舍)。問題歸結為：求x為何值時，函數V在區間內(0,24)16由題意知，鐵盒必然存在最大容積，則當x=8時，即當截去正方形邊長為8cm時，鐵盒的容積最大。且函數在(0,24)內有唯一的駐點

x=8。由題意知，鐵盒必然存在最大容積，則當x=8時，即當截去正方17例4鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距離A處為20km，AC垂直于AB。為了運輸需要，要在AB線上選定一點D向工廠修一條公路，已知鐵路上每公里的貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比為3:5，為了使貨物從供應站B運到工廠C的總運費最省，問D應選在何處？例4鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距離A處為218A20kmCDB100kmx100-x?ACDB100kmx100-x?19解設鐵路每公里的貨運的運費為3k，公路每公里的貨運的運費為5k（k為正常數）。設點D選在距A點xkm處，則設貨物從B點運到C點的總運費為y，則解設鐵路每公里的貨運的運費為3k，公路每公里的設點D選在距A20求x在[0,100]上取何值時，函數y的值最小,得在[0,100]的駐點x=15。求最小值點。求x在[0,100]上取何值時，函數y的值最小,得在[21使用閉區間上求最值的方法，即D應選在距A點15km處，此時總運費最省。比較函數值的大小：使用閉區間上求最值的方法，即D應選在距A點15km處，此時總22小結求最值的方法