,.不等式的概念和基本性質重點：不等式的基本性質難點：不等式基本性質的應用主要內容：１．不等式的基本性質（１）a>b b<a（２）a>b,b>c a>c（３）a+b<c a<c-ba>b a+c>b+c（４）a>b２．不等式的運算性質（１）加法法則：a>b,c>d a+c>b+d（２）減法法則：a>b,c>d a-d>b-c（３）乘法法則：a>b>0,c>d>0 ac>bd>0精品文檔放心下載（４）除法法則：a>b>0,c>d>0 > >0（５）乘方法則：a>b>0,an>bn>0(n∈N,n≥2)感謝閱讀（６）開方法則：a>b>0, > >0 (n∈N,n≥2)謝謝閱讀３．基本不等式,.（１）a∈R,a2≥0 （當且僅當a=0時取等號）謝謝閱讀（２）a,b∈R,a2+b2≥2ab （當且僅當a=b時取等號）感謝閱讀（３）a,b∈R+, ≥ （當且僅當a=b時取等號）精品文檔放心下載（４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc （當且僅當a=b=c時取等號）感謝閱讀（５）a,b,c∈R+, ≥ （當且僅當a=b=c時取等號）感謝閱讀（６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|４．不等式的概念和性質是進行不等式的變換，證明不等式和解不等式的依據，應正確理解和運用不等式的謝謝閱讀性質，弄清每條性質的條件與結論，注意條件與結論之間的關系。基本不等式可以在解題時直接應用。精品文檔放心下載例１．對于實數a,b,c判斷以下命題的真假（１）若a>b,則ac<bc; （２）若ac2>bc2,則a>b;感謝閱讀（３）若a<b<0,則a2>ab>b2; （４）若a<b<0,則|a|>|b|;精品文檔放心下載（５）若a>b, > ,則a>0,b<0．解：（１）因為c的符號不定，所以無法判定ac和bc的大小，故原命題為假命題。感謝閱讀（２）因為ac2>bc2,所以c≠0,從而c2>0，故原命題為真命題。精品文檔放心下載（３）因為 所以a2>ab ①又 所以ab>b2 ②綜合①②得a2>ab>b2故原命題為真命題．（４）兩個負實數，絕對值大的反而小．故原命題為真命題．感謝閱讀,.（５）因為 所以所以 從而ab<0又因a>b 所以a>0,b<0．故原命題為真命題．例２．已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5,求f(3)的范圍．精品文檔放心下載解：由題意可知： ∴∴f(3)=9a-c= f(2)- f(1) ∴運算可知 -1≤f(3)≤20謝謝閱讀錯解：依題設有 ① 消元，得 ②∵f(3)=9a-c ∴-7≤f(3)≤26錯因：根源在于不等式組①與不等式組②并不等價，不等式組②擴大了不等式組①的解的范圍，同向不等式謝謝閱讀在多次相加時要謹慎，一定要檢查其同解性．例３．設a,b是不相等的正數：A= ,G= ,H= ,Q= ,試比較Ａ、Ｇ、Ｈ、謝謝閱讀Ｑ的大小．解：由于a,b為不相等的正數．所以：G-H= - = -,.= == >0從而 H<GA-G= - = = >0從而G<AQ-A= － = －＞ － ＝０從而A<Q綜上所述，當a,b為不相等的正實數時，H<G<A<Q．評述：本題直接比較G、H；A、G；Ｑ、Ａ的原因謝謝閱讀在于由特殊值可對四者排序，令a=1,b=3則A=2,G= ,H= ,Q= ，這為我們解題指明了方向．精品文檔放心下載例４．設a,b∈N+s（１）求證： 在 與 之間；（２）問 與 哪一個更接近 ？精品文檔放心下載證明：（１）由于( － )( － )=－ (＊)∵ a≠b所以（＊）式的值小于０從而 在 與 之間,.解（２）由于|- |= | a-b|| |= | a-b|∵ ＞ ＞∵ | a-b|> | a-b|故而 更接近例５．船在流水中在甲地和乙地間來回駛一次平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？謝謝閱讀解：設甲、乙兩地的距離為Ｓ，船在靜水中的速度為u，水流速度為v（u>v>0）則船在甲、乙兩地行駛的精品文檔放心下載時間t為：t= + = 平均速度= =∵-u= -u= = <0 ∴<u從而船在流水中來回一次的平均速度小于船在靜水中的速度．感謝閱讀練習１．若a,b,c為實數，判斷下列命題的真假（１）若a>b,則ac2>bc2；（２）若a<b<0，則 < ；感謝閱讀（３）若a<b<0，則 > ；（４）若a<b<0，則 <1；（５）若c>a>b>0，則 ＞ ．感謝閱讀２．設x,y∈R，判定下列兩題中，命題甲與命題乙的充分必要條件．精品文檔放心下載（１）命題甲 命題乙 （２）命題甲 命題乙,.３．a∈R，試比較3(1+a2+a4)與(1+a+a2)2的大小．謝謝閱讀４．a>1,m>n>0，比較am+ 和an+ 的大小．精品文檔放心下載５．已知函數y=f(x),x∈R滿足（１）對x∈R，都有f(x)≥2；（２）對x1∈R，x2∈R,都有f(x1+x2)≤f(x1)f(x2)感謝閱讀求證：對任意實數x1,x2，都有：lgf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2)精品文檔放心下載參考答案１．解（１）∵c2≥0，當c=0時ac2=bc2=0故原命題為假命題精品文檔放心下載（２）舉特例-2<-1<0但- >-1故原命題為假命題精品文檔放心下載（３）由于a<b<0

所以

所以

∴故原命題為假命題（４）∵a<b<0 ∴|a|>|b|>0 ∴ ＜１ ∴ ＜１故原命題為真命題．精品文檔放心下載（５）∵c>a>b>0 ∴ ∴c-b>c-a>0∴ ＞ ＞0謝謝閱讀又∵a>b>0∴ ＞ 故原命題為真命題．２．解（１）當x>0,y>0時，很明顯x+y>0,xy>0精品文檔放心下載當xy>0時，x,y同號；又x+y>0，可知x,y同正，即x>0,y>0．精品文檔放心下載因此：命題甲是命題乙的充要條件．,.（２）∵x>2>0，y>2>0∴x+y>4,xy>4精品文檔放心下載但是：反例如下：x=5,y=1,這時x+y=6>4,xy=5>4,但x>2,y<2感謝閱讀因此：命題甲是命題乙的充分但不必要條件．３．解：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2=3+3a2+3a4-(1+a2+a4+2a+2a3+2a2)=2a4-2a3-2a+2感謝閱讀=2(a-1)2(a2+a+1)≥0 ∴3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2謝謝閱讀４．解：∵(am+ )-(an+ )=(am-an)+( )=感謝閱讀a>1,m>n>0可知am>an,am+n>1精品文檔放心下載∴(am+ )-(an+ )>0即：am+ >an+感謝閱讀５．證明：設x1∈R，x2∈R．∵f(x1)f(x2)-[f(x1)+f(x2)]＝f(x1)[ -1]+f(x2)[ -1]感謝閱讀∵對任意x∈Rf(x)≥2∴ -1≥0 -1≥0∴f(x1)f(x2)≥f(x1)+f(x2)謝謝閱讀再由條件（２）f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)∴對任意實數x1∈R x2∈R有：精品文檔放心下載f(x1+x2)≤f(x1)·f(x2)∴lgf(x1+x2)≤lgf(x1)f(x2)=lgf(x1)+lgf(x2)感謝閱讀從而對任意實數x1∈R，x2∈R有：lgf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2)謝謝閱讀不等式綜合能力測試,.一、選擇題：1．設I=R，集合M={x|lg(x+1)≤0},則等于（）A、(-∞,-1)∪(0,+∞)B、(-∞,0]C、(-∞,-1)∪[0,+∞)D、(-∞,0)2．若函數y=lg[1+(1+log2x)]的值域為R+，則其定義域為（）A、R+B、(1,+∞)C、(,+∞)D、(,1)3．使方程cos2x+sinx=a有實數解的a的取值范圍是（）A、(-∞,B、[-1,]C、[0,]D、[-2,]4．已知函數：(1)y=x+(x≠0),(2)y=cosx+(0<x<),(3)y=(x+8x+)(x>0),(4)y=(1+cotx)(+2tgx)(0<x<).這四個函數中以4為最小值的個數為（）A、0B、1C、2D、35．如果a>b>c，則有（）A、|a|>|b|>|c|B、|a|<|b|<|c|C、|a-c|>|c-b|D、|a+b|>|b+c|6．不等式≥x+1的解集是（）A、{x|-1≤x≤1}B、{x|0≤x≤1}C、{x|x≤-1}D、{x|-1≤x≤0)二、填空題7．已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1,則 的最小值是____________.精品文檔放心下載8．loga(1+a)與loga(1+ )(a>0且a≠1)的大小關系是____________.謝謝閱讀9．設x>0,則函數y= +x2,當x=_______時，有最小值__________.感謝閱讀,.10．不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是______________.感謝閱讀11．函數y= +arcsin(2x-3)的定義域為___________.謝謝閱讀12．不等式 x> |2- |的解集是___________.謝謝閱讀三、解答題13．解不等式 <0.14．如果0<a<1,0<b<1,0<c<1,試證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于 .精品文檔放心下載15．解不等式 + >0.16．已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求證：| |<1.謝謝閱讀17．若xy=100,x≥ ,y≥ ,求lg(ylgx)的最大值和最小值.感謝閱讀18．輪船航行的費用分為兩部分，第一部分是輪船的折舊費或其它服務費用，每小時480元；第二部分為燃料費，它與速度的立方成正比.并且當速度為10公里/小時時，燃料費為每小時30元.問航行速度為多少時，才能使航行每公里的費用最小？并求出這個最小值，此時每小時的費用總和多少？感謝閱讀答案：1.A2.D3.D4.A5.C6.D7.98.loga(1+a)>loga(1+)9.10.{x|-4<x<2} 11.[1, ] 12.{x|x< }謝謝閱讀13.由 或解得原不等式的解集為｛x|x<0或1<x<2或2<x<3或x>4｝.精品文檔放心下載,.14．假設(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同大于，∴abc(1-a)(1-b)(1-c)>()3.....(1)又a(1-a)≤()2=,即a(1-a)≤,同理b(1-b)≤,c(1-c)≤,∴abc(1-a)(1-b)(1-c)≤()3.......(2)(1)與(2)矛盾，所以結論成立.15．設x=tan(-90<<90),則=sin,=cos2,原不等式化為sin+cos2>0,即2sin2-sin-1<0,∴-<sin<1.-<<,∴x=tan>-.故原不等式的解集是(-,+).16．||<1<1a2+b2+c2+a2b2c2<1+a2b2+b2c2+c2a2(1-a2)(1-b2)(1-c2)>0,即原不等式成立.17．設M=lg(ylgx)=lgx·lgy,∵x≥,y≥,∴lgx>0,lgy>0∴M≤()2=()2=1,x=y=10時等號成立，又xy=100,∴lgx+lgy=2