第一章 隨機事件及其概率第5講

伯努利概型第一章 隨機事件及其概率第5講 伯努利概型1一 試驗的獨立性利用事件的獨立性可以定義兩個或多個試驗的獨立性.定義 設有兩個試驗E1和E2，假如試驗E1的任一結果(事件)與試驗E2的任一結果(事件)都相互獨立，則稱試驗E1和E2相互獨立(independent).類似地可以定義n個試驗E1

,

E2

,…,

En的相互獨立性：如果試驗E1的任一結果，試驗E2的任一結果，…，試驗En的任一結果都是相互獨立的n個事件，

則稱試驗E1

,

E2

,…,

En相互獨立.一 試驗的獨立性利用事件的獨立性可以定義兩個或多個試驗的獨立2二 伯努利試驗(Bernoullitrials)

二 伯努利試驗(Bernoullitrials)

3

n重伯努利試驗

n重伯努利試驗4(

A,

A,

A),(

A,

A,

A),(

A,

A,

A),(

A,

A,

A),(

A,

A,

A),(

A,

A,

A).

由獨立性知P

(

)

pk

qn

k

.每個樣本點的概率可由上式得到，因而任何事件的概率都可計算出來.例如：三重伯努利試驗共有8個樣本點:p1q2p2

q1p1q2p2

q1p1q2p3

q0(

A,

A,

A),(

A,

A,

A),概率分別為p0

q3p2

q1(A,A,A),(A,A,A),(A,A,5定理

設在伯努利試驗中，事件發生的概率為p(0

p

1)，則在n重努利試驗中,事件A

恰好發生k次概率為P

(k

)

C

k

pk

qn

k， k

0,1,2,…,

nn n其中:q

1

p.n其中任何一個樣本點的概率都是pk

qn

k

.因而事件A

發生k次的概率為P(k

)

Ckpkqn

k， k

0,1,2,…,

nn n證明：顯然事件A

發生k次共包含C

k

個樣本點.(Binomialprobabilities)定理設在伯努利試驗中，事件發生的概率為p(0p6能證明這個公式嗎?二項式公式(binomialformula)

能證明這個公式嗎?二項式公式(binomialformul7伯努利概型課件8例

袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球

4次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.例袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球9解

每取一個球看作是做了一次試驗記取得白球為事件A，有放回地取4個球看作做了4重Bernoulli試驗,記第

i次取得白球為事件Ai感興趣的問題為:4次試驗中A

發生2次的概率解每取一個球看作是做了一次試驗記取得白球為事件A，有1010

101010kk

6k

6P

(

A)

C

0.8k

0.210

k

0.97.P (k

)=例

對某種藥物的療效進行考察，設這種藥物對某種疾病的有效率為p

0.8，現有10名患此種疾病的患者同時服用該藥，求至少有6名患者服藥有效的概率.解

: 這是貝努利概型，n

10，p

0.8，記A

至少有6名患者服藥有效10 101010kP(A)C 0.8k11伯努利概型課件12例

甲乙兩名運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4.比賽可采用三局兩勝制或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？2

0.62

C

1

0.6

0.4

0.6

0.648解

:

（1）若采用三局兩勝制，則下列兩種情況下甲獲勝A1

"2

:

0"

甲勝前兩局，A2

"2

:

1"

前兩局各勝一局，第三局甲勝.則 P1

(甲勝)

P

(

A1

?

A2

)

P

(

A1

)

P(

A2

)

P2(2)

P2(1)

0.6例甲乙兩名運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為013（2）若采用五局三勝制，則下列三種情況下甲獲勝B1

"3

:

0"

甲勝前三局，B2

"3

:

1"

前三局甲勝二局，第四局甲勝.B3

"3

:

2"

前四局甲乙各勝兩局,第五局甲勝則 P2

(甲勝)

P

(

B1

B2

B3

)

P

(

B1

)

P

(

B2

)

P

(

B3

)

P3

(3)

P3

(2)

0.6

P4

(2)

0.63 4

0.63

C

2

0.62

0.4

0.6

C

2

0.62

0.42

0.6

0.682結論：五局三勝