激趣誘思知識點撥同學們,你現在所在的班級是一個由若干名同學組成的集合,我們不妨記為S,如果把班內所有男生組成的集合記為A,把班內所有女生組成的集合記為B,集合A,B與集合S有怎樣的關系?集合A中的元素一定是集合S中的元素嗎?反過來呢?激趣誘思知識點撥一、子集1.Venn圖為了直觀地表示集合間的關系,常用平面上封閉曲線的內部表示集合,稱為Venn圖.名師點析1.表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.2.用Venn圖表示集合的優點是直觀地表示集合之間的關系;缺點是集合元素的公共特征不明顯.激趣誘思知識點撥2.子集

任何一個

A?B(或B?A)空集

A?C激趣誘思知識點撥微思考在子集的定義中,能否認為“集合A是由集合B中的部分元素組成的集合”?提示:不能.若A?B,則A有以下三種情況:①A=?;②A=B;③A是由B中的部分元素組成的集合.激趣誘思知識點撥微練習(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},則(

)A.P∈QB.P?QC.Q?PD.Q∈P(2)已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B?A,則實數m=

.

解析:由B?A,知m2∈A,且m2≠3,又m2≠-1,所以m2=2m-1,解得m=1,經驗證符合集合元素的互異性.答案:(1)

C(2)1激趣誘思知識點撥二、集合相等

名師點析1.因為A?B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因為B?A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是說,集合A與B相等,則集合A與B的元素是完全相同的.2.證明或判斷兩個集合相等,只需證A?B與B?A同時成立即可.A=B激趣誘思知識點撥微練習已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,則m的值為

.解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.當m=-1時不滿足集合中元素的互異性,舍去.故m=0.答案:

0激趣誘思知識點撥三、真子集

A?BA≠B

A?C激趣誘思知識點撥名師點析1.集合A是集合B的真子集,需要滿足兩個條件:①A?B;②存在元素x,滿足x∈B且x?A.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之則不成立.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集沒有真子集,一個集合的真子集個數比它的子集個數少1.激趣誘思知識點撥微練習若集合P={x|x<1},集合Q={x|x<0},則集合P與集合Q的關系是(

)A.P?QB.Q?PC.P=QD.不確定答案:B

解析:x<0?x<1,反之不成立.所以Q?P.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測寫出給定集合的子集例1(1)寫出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填寫下表,并回答問題:由此猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數是多少?探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1個、2個、3個、4個元素這五種情況分別寫出子集.(2)由特殊到一般,歸納得出.解:(1)不含任何元素的子集為?;含有一個元素的子集為{a},{b},{c},su1if6f;含有兩個元素的子集為{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三個元素的子集為{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d}.含有四個元素的子集為{a,b,c,d}.其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(2)由此猜想:含n個元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數是2n.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟

1.分類討論是寫出所有子集的有效方法,一般按集合中元素個數的多少來劃分,遵循由少到多的原則,做到不重不漏.2.若集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集,有2n-1個真子集,有2n-1個非空子集,有2n-2個非空真子集,該結論可在選擇題或填空題中直接使用.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練1若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則滿足條件的集合A的個數為(

)答案:B

解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測集合之間關系的判斷例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},則A與B的關系是(

)A.A?B B.A=B

C.B?A D.A?B反思感悟

判斷兩個集合之間的關系,一般是依據子集等相關定義分析.對于兩個連續數集,則可將集合用數軸表示出來,數形結合判斷,需注意端點值的取舍.答案:A

解析:由題意知,B={x|x≥1},將A,B表示在數軸上,如圖所示.由數軸可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一個元素不屬于集合A,所以A?B.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測延伸探究例2中將集合B改為{x|x+3>4},則集合A與B是什么關系?答案:集合A與B之間不具有包含關系.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測A?B

反思感悟

將集合中元素的特征性質進行等價變形,從而發現各性質之間的關系,最后得到集合之間的關系.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測A.A=B?C B.A?B=CC.A?B?C D.B?C?A答案:B

∵a∈Z時,6a+1表示被6除余1的數;b∈Z時,3b-2表示被3除余1的數;c∈Z時,3c+1表示被3除余1的數;所以A?B=C.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測集合相等關系的應用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求實數x,y的值.分析根據A=B列出關于x,y的方程組進行求解.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟

集合相等則元素相同,但要注意集合中元素的互異性,防止錯解.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測由集合間的關系求參數的范圍例5已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在包含關系;(2)若B?A,求實數a的取值范圍.分析(1)由a=-1,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間的關系,判斷其是否存在包含關系;(2)根據集合B是否為空集進行分類討論;然后把兩集合在數軸上標出,根據子集關系確定端點值之間的大小關系,進而列出參數a所滿足的條件.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測解:(1)若a=-1,則B={x|-5<x<-3}.如圖在數軸上標出集合A,B.由圖可知,B?A.(2)由已知B?A.①當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然B?A.②當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知B?A,如圖在數軸上表示出兩個集合,又因為a<1,所以實數a的取值范圍為-1≤a<1.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟

由集合間的關系求參數的范圍問題中的兩點注意事項(1)解此類問題通常借助數軸,利用數軸分析法,將各個集合在數軸上表示出來,以形定數,同時還要注意驗證端點值,做到準確無誤,一般含“=”用實心點表示,不含“=”用空心點表示.(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的問題,一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論,其中A=?的情況容易被忽略,應引起重視.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測延伸探究(1)例5(2)中,是否存在實數a,使得A?B?若存在,求出實數a的取值范圍;若不存在,請說明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且B?A,求實數a的取值范圍.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測解:(1)不存在.因為A={x|-5<x<2},所以若A?B,則B一定不是空集.(2)①當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知B?A,如圖在數軸上表示出兩個集合,由圖可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-3.又因為a<1,所以a≤-3.綜上,實數a的取值范圍為a≥1或a≤-3.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測分類討論思想與數形結合思想在解決集合含參問題中的應用對于兩個集合A與B,已知A或B中含有待確定的參數,若A?B或A=B,則集合B與集合A具有“包含關系”,解決這類問題時常采用分類討論和數形結合的方法.(1)分類討論是指:①A?B在未指明集合A非空時,應分A=?和A≠?兩種情況來討論;②因為集合中的元素是無序的,由A?B或A=B得到兩集合中的元素對應相等的情況可能有多種,因此需要分類討論.(2)數形結合是指對A≠?這種情況,在確定參數時,需要借助數軸來完成,將兩個集合在數軸上畫出來,分清實心點與空心點,確定兩個集合之間的包含關系,列不等式(組)確定參數.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測特別提醒

此類問題易錯點有三個:(1)忽略A=?的情況,沒有分類討論;(2)在數軸上畫兩個集合時,沒有分清實心點與空心點;(3)沒有弄清包含關系,以致沒有正確地列出不等式或不等式組.(3)解決集合中含參問題時,最后結果要注意驗證.驗證是指:①分類討論求得的參數的值,還需要代入原集合中看是否滿足集合元素的互異性;②所求參數能否取到端點值需要單獨驗證.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測典例已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},是否存在實數a,使得A?B?若存在,求出實數a的取值范圍;若不存在,請說明理由.分析對參數a進行討論,寫出集合A,B,借助數軸,求出a的取值范圍.解:∵B={x|-1<x<1},①當a=0時,A=?,顯然A?B.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.集合{x,y}的子集個數是(

)A.1 B.2 答案:D

解析:(方法一)集合{x,y}的子集有?,{x},{y},{x,y},共有4個.(方法二)集合