————第一章————時域離散信號與系統理論分析根底本章1.1節“學習要點”和1.2節“例題”局部的內容對應教材第一、二章內容。為了便于歸納總結，我們將《數字信號處理〔其次版》教材中第一章和其次章的內容概念，以便在分析和解決問題時，能全面考慮各種有效的途徑，選擇最好的解決方案。學習要點時域離散信號——序列〔以下簡稱序列序列。例如，在時域離散線性時不變系統的時域描述中，系統的單位脈沖響應hn就是系統對單位脈沖響應n的響應輸出序列。把握n的時域和頻域特征，對分析爭論系統的時域特性描述函數hn和頻域特性描述函數Hej和Hz是必不行少的。序列的概念在數字信號處理中，一般用xn表示時域離散信號〔序列xn可看作對模擬信號a

nT，也可以看作一組有序的數據集合。要點xn1.1nxn無定義，但不能理解為零。當xnxa

nT時，這一點簡潔理解。當n整xa

nTxa

t在tnTTnT~n1Txa

xnynxn2nnyn無定義〔無精準的值。常用序列常用序列有六種：①單位脈沖序列nRN

n，③指數序列anun，④正弦序列cosn、sinn，⑤復指數序列ejn，⑥周期序列。由于前三種序列格外簡進展小結。正弦序列和復指數序列正弦序列指cosn和sinn。復指數序列指ejncosnjsinn，其實部和虛部為正弦序列。為數字域頻率，單位為弧度，表示兩個相鄰n之間正弦序列的相位、復指數序列的xncosn看作對連續正弦信axncosnxa

則T，數字頻率與模擬角頻率rad/s，所以的單位應為ra〔采樣間隔T以秒為單位，表示在一個采樣間隔T上正弦波相位的變化量。要點正弦序列cosn與模擬正弦信號cost的唯一不同點為n且無量綱，而t為連續時間變量，以秒為單位。由此不同點引起正弦序列隨的變化規律與連續正弦函數隨的變化規律有很大差異，這一點造成數字濾波器頻域特性與模擬濾波器的頻域特性也有很大差異〔見濾波器設計。〔1〕ejnej2mncosncos2mn，但是，ejtej2mt，cos變化呈以字頻域考慮問題時，取數字頻率的主值區：,或0,2，前者用于時域離散信號與系統的傅里葉分析中，而后者適用于離散傅里葉變換DFT。當0時，con變化最慢〔不變化；當時，con變化最快。所0四周稱為數字低頻，而將xa

tcost越大，cost變化越快，其緣由是tn由以上兩點可以推知，數字濾波器〔時域離散系統〕Hej以2為周期。周期序列xnxnmN，mNN>0xnN，記為~ n。N周期序列的定義只有一點與模擬周期函數定義不同，即周期序列的自變量n和周期N只能取整數。正是這一區分，使得某些模擬周期信號，離散化后就不肯定是周期序列。ej0t肯定是周期函數，周期T

，而ejn是否是周期序列，取決于數字頻0 0率的取值。為了說明這個問題，我們假設ejnN為周期，導出ejn為周期序列的條件。由以上假設及周期序列的定義可知，ejn應滿足ejnejnkN，k和NN>0所以必需滿足ωkN2m，m當k=1時，ωN2m。所以，只有當Nm2為有理數時，N和m才是整數解，ejn才是周期序列。此時只要將2化為最簡分數〔分子分母化為整數，則分子就是N。序列的傅里葉變換〔FT〕序列傅里葉變換定義以下兩式： Xej FTxn

n

xnejn

(1.1、1.2)

IFTXej

12

Xejejnn

(1.3)周期序列的傅里葉變換周期序列不滿足〔1.3〕式，但為了將傅里葉變換分析法用于周期信號，引入奇異函數n，可定義周期序列的傅里葉變換。~設x n表示以N為周期的周期序列，則其傅里葉變換為~NXejT

n

k (1.4)k~N~

N

Nn

N 其中，n為單位沖激函數，式為

k稱為~ n的離散傅里葉級數〔DFS〕系數，計算公N N~X k ~~NN

nej2knN (1.5)NN (1.5)N

k也是以N~N~

n不滿足(1.3式，因此按(1.1)式不能直接計算出T~N ~

N

。所以，對周期序列進展傅里葉變換時，應先按式(1.5)

k(1.4式得到XejT~N ~

N 序列的傅里葉變換具有唯一性和周期性〔2為周期〕序列的傅里葉變換的唯一性和周期性可表示如下：

Xej x

n,Xej Xej傅里葉變換的根本性質1.11.1序列傅里葉變換的根本性質序序列傅里葉變換 XejynYj xnxnynxnynnxnx*0nejXjaXejbej,a,為常數XeXej XejYej21 XejYejRexnjdXej d xnjImxnXjeXejoex noRe jImXejxn21n2 2Xej dN1~n0Nn21N1~NNk2k0Z(ZT)Z變換定義ZXzZTxnef

xnzn n

(1.10、1.11)xn

zef

1

c

zndzcXz的收斂域上，并包含原點的逆時針閉合圍線。明顯，假設不知XzcIZTxnZ變換的收斂域的重要性。

ZXz

xnrnXz存在的充分條件為

n

n

(1.12)XzIZTxn的收斂域定義為滿足(1.12)rXz的zXzXzxn有關。xnZXzxn。Z雙邊序列的Z變換收斂域為一環域，Xz

xnzn,R

zR因果序列的Z變換收斂域為某圓外，Xz

xnzn,R

zZ

逆Z變換的計算方法有冪級數法〔長除法留數發進展介紹。留數計算公式：Fzz的正次冪有理分式，設zFz的一個mFz可表示為0Fz

處無極點zzm 01dzm10

zz0

(1.15)m=1

0

z

zz0

0

zz0

(1.16)階級點。Z為了便于查閱，將Z變換的主要性質與定理列在下表中，表中zR

ZT

,Ry

xzRy序號名稱性質與定理內容備注1.2序號名稱性質與定理內容備注11線性ZTaxnbynaXzbyz,RzRx y,RR minR ,Rx y2時域移位ZTXnnzn0Xz,RxzR有變化3乘指數序列 Xa1z,aR zaR0xxx4nZTnxn zdXzdz,R zRx x5初值定理x6終值定理limxnlimz1Xzn x1xn為因果序列Xz的極點除一個可位于單位圓內7時域卷積定理RZ的定義公式：XzZTxnef

xnznXej FTxn Xej FTxn

xnejn簡潔得到二者的關系為x(t的周期是a

XejXz1T 0.05sa fxa

(t)

n

cos(fnTtnT)n

cos(40nT)(tnT)〔3〕x(n)的數字頻率為

w0.8,

25w 2周期N=5。x(n)cos(0.8n，畫出其波形如12解圖所示。2xn的傅里葉變換Xej是xn的Z變換在z傅里葉變換時ZXz的收斂域包含單位圓時，xn才存在傅里葉變換。時域離散線形時不變系統的描述與分析系統模型時域離散系統可以用1.2表示T[·]表示系統對輸入信號的處理變換函數，這種變換函數可以是非線性時不變、線性時變或非線性時變的。對于線性時不變系統，T[·]應滿足以下約束條件：〔1〕T[·]具有線性特性，即滿足齊次性和可加性，其數學描述如下：假設1則

1

n, 2

2

n

naynby

n1 2ab〔2〕T[·]具有時不變性假設

1 2 1 2則0

0系統對輸入信號的處理特性不隨時間變化。時域離散線性時不變系統的描述時域離散線性時不變系統可以在時域或頻域描述。時域描述：入信號聯系起來〔ynhnxn，所以可用hn表示系統對輸入信號的處理功能。②差分方程：

yn

bxnkk

kk0 k1ak和b均為常數〔不隨n。k頻域描述：①系統函數

YzXz (1.18)②頻率響應函數

Yej

Hej ZThn

jHzHej

在數字濾波器設計中有很重要的作用〔見第五、六、七章Hz和 Hej

MbzkkHz

k011k1

azkk

(1.19) Hej

Mk0

bejkk

(1.20)

1Nk1

aejkk X

完全由系數a和bk k

確定，而與輸入和輸出信號無關。在第五章中會看到，系統的一種實現網絡構造直接由a和bk k

確定。系統頻率響應函數的特點 ①Xej

一般為復函數，所以常表示為 Hej Hejej

(1.21)Hej——幅頻特性函數，表示系統對輸入序列ejn的增益。——相頻特性函數，表示系統對ejn的相角的轉變量。假設hn為實序列，則 Hej He

，即Hej為偶函數； ②Hej

2為周期。這一特點與模擬濾波器大相徑庭，所以要特別留意。③低通濾波器的通帶以2k為中心，高通濾波器則以2k1為通帶中心。2k1四周，cosn變化很快，可稱為高頻正弦序列。時域離散線性時不變系統的輸入輸出關系時域：ynxnhnxmhnm (1.22)m或ynNaynkMbxnk, a,

為常數k k k kk0頻域： YzXz Yej XejHej (1.24)I/O關系，不能用于非線性和時變系統，由于這些關系公式只有對線性時不變系統才能推導出。序列卷積的計算方法：此內容在教材做了較具體的介紹，這里不再重復。時域離散線性時不變系統的穩定性及因果性推斷〔1〕時域：穩定條件：

脈沖響應hn為因果序列，即當n0hn0。因果穩定條件：

因果條件

hn,

穩定條件〔2〕z

nHz的全部極點全部在單位圓內。域因果穩定條件用得較多。

的極、零點與系統幅頻特性函數

Hz eHz Hz可表示為有理分式形式M

M Hz

bzkkk0

AzNM

zck

(1.25)Nk0

azkk

N

dk其中，ck

Hz的零點，dk

HzNM時，Hz在原點有NMNMHz在原點有MN階極點。 1 2.8ej4z110.8ej4z1

10

1z1

Hz的零點c

0，c

1，極點d1所示。

0.8ej Hz 1.3(a)1.3(b)4。 的零點和極點位置如圖Hej4。 的零點和極點位置如圖

曲線截止特性不好，通帶中心0處衰減較大。為了改善通帶平穩性，再加一個極點d3

0.5，為了使截止特性變陡些，參加零點c3

ej2j，2cej24

j

，這時

Hz

1z1

1jz11jz1 jj

j 10.8e4z110.8e 4z110.5z1 H

zHej

曲線如1.3(c)和(d)所示。 H

zHej

的奉獻，可得出如下結論：位于原點的零點和極點不影響Hej1，不隨變化。

，只影響

。由于位于原點的零點矢量e單位圓四周的零點ccek k

k

對應的零點矢量的模ck

B在argck

時為最HjHj在

頻點形成波谷。而且，ck

越靠近單位Hej

的零點。 dk

dejargdkk

在argdk

Hej

的波峰，且極點愈靠近單位圓，波峰越鋒利〔選擇性越好。但極點不能位于單位圓上，否則系統不穩定。模擬信號的采樣與恢復 設x a

是最高頻率成分為fc

的模擬信號，其抱負采樣信號用x a

表示，則

x t x a a

x a

tnT其中，Tfs

1為采樣頻率，t為單位沖激函數。T

Xa

jFTx a

，如圖1.4(a)所示，則抱負采樣信號x t的頻譜函數為a a

1

2 X ja

FTxa

tT

X ja

Tk (1.22(a))n

周期為s

2。當T

c

〔fs

2fc

〕1.4(b) 所示。這時，可用低通濾波器由x a

無失真恢復x a

；當s

c

時，產生頻率混疊失 a真，如圖1.4(c)所示。這時，不能由x a

恢復x t。a

a a

當f 2fs

1.4(c)X

j中，TX

j中超過a

的局部折疊回來的值，所以，將s2 T

稱為折疊頻率。綜上所述，可得出著名的時域采樣定理：設模擬信號的最高頻率成分為，即ca a c則只有當采樣頻率s

c

xa

t 樣信號x a圖

通過1.5所示抱負低通濾波器G

j，無失真恢復出x t。a 抱負采樣信號x a

與采樣序列x a

的頻譜關系X jXa

FT

xa

jtdtx te a

xnTtnTejtdtann

xnTejnTa

xnTea

TnXej

wT

XejTX

ja

Xej

之間僅有的差異是尺度變換T。第三章所講的〔DFT〕X

DFTX

ej的X

ja

的特性。教材第一章習題解答用單位脈沖序列(n及其加權和表示1圖所示的序列。解：x(n)(n4)2(n2)(n1)2(n)(n1)2(n2)4(n3)0.5(n4)2(n6)2n5,4n12.x(n)6,0n40,其它x(n)序列的波形，標上各序列的值；試用延遲單位脈沖序列及其加權和表示x(n)序列；x1x

(n)2x(n2)x1(n)2x(n2)x

(n波形；(n波形；2x

(n2x(2nx

2(n波形。3 3解：〔1〕x(n)的波形如2解圖〔一〕所示。〔2〕x(n)3(n4)(n3)(n2)3(n1)6(n)6(n1)6(n2)6(n3)6(n4)x1

(n的波形是x(n)22，畫出圖形如2解圖〔二〕所示。x(n的波形是x(n)22，畫出圖形如2解圖〔三〕所示。2x3

(nx(-n)2x3

(n波形如2解圖〔四〕所示。3.推斷下面的序列是否是周期的，假設是周期的，確定其周期。〔1〕x(n)Acos(3n)，A是常數；7 8x(n)ej(1n)〔2〕解：

83,2

。14，這是有理數，因此是周期序列，周期是T=14；7 w 3w1216，這是無理數，因此是非周期序列。8 w設系統分別用下面的差分方程描述，x(n)與y(n)否是線性非時變的。〔1〕y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)；y(n)x(nn0

)，n0

為整常數；〔5〕y(n)x2(n)；〔7〕y(n)nm0

x(m)。解：〔1〕x(nn0

，輸出為y”(n)x(nn0

)2x(nn0

1)3x(nn0

2)y(nn0

)x(nn0

)2x(nn0

1)3x(nn0

2)y”(n)故該系統是時不變系統。y(n)T[ax(n)bx

(n)]1ax(n)bx

2(n)2(ax(n1)bx

(n1))3(ax(n2)bx

(n2))1 2 1 2 1 2T[ax(n)]ax(n)2ax(n1)3ax(n2)1 1 1 1T[bx2

(n)]bx2

(n)2bx2

(n1)3bx2

(n2)故該系統是線性系統。

T[ax1

(n)bx2

(n)]aT[x1

(n)]bT[x2

(n)]〔3〕這是一個延時器，延時器是一個線性時不變系統，下面予以證明。x(nn1

)y(n)x(nn1

n，由于0y(nn)x(nnn)y”(n)1 1 0故延時器是一個時不變系統。又由于T[ax(n)bx

(n)]ax(nn)bx(nn)aT[x(n)]bT[x

(n)]1 2故延時器是線性系統。

1 0 2 0 1 2〔5〕 y(n)x2(n)x(nn0

y(n)x2(nn0

)，由于故系統是時不變系統。又由于

y(nn0

)x2(nn0

)y”(n)T[ax1

(n)bx2

(n)](ax1

(n)bx2

(n))2aT[x(n)]bT[x

(n)]1 2ax2(n)bx2(n)因此系統是非線性系統。7〕 y(n)nm0

1 2x(m)x(nn0

)，輸出為y”(n)nm0

x(mn，由于00故該系統是時變系統。又由于

y(nn)0

m0

x(m)y”(n)T[ax1

(n)bx2

(n)]nm0

(ax1

bx2

(m))aT[x1

(n)]bT[x2

(n)]故系統是線性系統。給定下述系統的差分方程，試推斷系統是否是因果穩定系統，并說明理由。〔1〕y(n)

1N1x(nk)；Nk003〕y(n)n0

x(k)；knn0〔5〕y(nex(n)。解：〔1〕只要N1，該系統就是因果系統，由于輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關。x(n)My(n)M，因此系統是穩定系統。03〕假設x(n)M，y(n)n0knn0

x(k)2n0

1M，因此系統是穩定的。系統是非因果的，由于輸出還和x(n)的將來值有關.〔5〕系統是因果系統，由于系統的輸出不取決于 x(n)的將來值。假設x(n)M，則y(n)ex(n)ex(n)

eM，因此系統是穩定的。設線性時不變系統的單位脈沖響應h(n)x(n)7y(n的波形。解：解法〔1〕:承受圖解法

y(n)x(n)h(n)m0

x(m)h(nm)圖解法的過程如7解圖所示。解法〔2〕:承受解析法。依據7圖寫出x(n)和h(n)的表達式:x(n)(n2)(n1)2(n3)h(n)2(n)(n1)1(n2)2x(n)*(n)x(n)由于 x(n)*A(nk)Ax(nk)y(n)x(n)*[2(n)(n1)1(n2)]2所以 12x(n)x(n1) x(n2)2x(n)的表達式代入上式，得到y(n)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2)4.5(n3)2(n4)(n5)設線性時不變系統的單位取樣響應h(n)x(n)y(n。〔1〕h(n)R4

,x(n)R5

(n)；〔2〕h(n)2R4

(n),x(n)(n)(n2)；〔3〕h(n)0.5nu(n),xn

R(n。5解：〔1〕 y(n)x(n)*h(n)

m

R(m)R(nm)4 5先確定求和域，由R4

(mR5

(nm確定對于m的非零區間如下：0m3,n4mn依據非零區間，將n分成四種狀況求解：①n0,y(n)0②0n3,y(n)nm0

1n1③4n7,y(n)7ny(n)0最終結果為

3mn4

18n0, y(n)n1, 0n3n, 4n7y(n)的波形如8解圖〔一〕所示。〔2〕y(n)2R4

(n)*[(n)(n2)]2R4

2R4

(n2)2[(n)(n1)(n4)(n5)]y(n)的波形如8解圖〔二〕所示.〔3〕y(n)x(n)*h(n) R5m

(m)0.5nmu(nm)0.5n

R5m

(m)0.5mu(nm)y(n)m的非零區間為0m4,mn。①n0,y(n)0②0n4,y(n)0.5n

nm0

0.5m

10.5n1 10.51

(10.5n1)0.5n

20.5n③5n,y(n)0.5n

4m0

0.5m

10.55 0.5n310.5n10.51最終寫成統一表達式：

y(n)(20.5n)R5

(n)310.5nu(n5)設系統由下面差分方程描述：1 1y(n)

y(n1)x(n) x(n1)；2 2設系統是因果的，利用遞推法求系統的單位取樣響應。解：x(n)(n)h(n)1h(n1)(n)1(n1)2 2n0,h(0)

1h(1)(0)1(1)12 2n1,h(1)

1h(0)(1)1(0)12 21 1n2,h(2) h(1)2 21n3,h(3) h(2)(1)21歸納起來，結果為xa

2 21h(n)( )n1u(n1)(n)21(tcos(2ftf20Hz,2xa(t的周期。用采樣間隔T0.02sxa(t進展采樣，試寫出采樣信號xa(t的表達式。畫出對應xa(t)的時域離散信號(序列) x(n)的波形，并求出x(n)的周期。————第五章————數字濾波網絡5.1 學習要點本章主要介紹數字濾波器的系統函數Hz與其網絡構造流圖之間的相互轉換方法，二者之間的轉換關系用Masson公式描述。由于信號流圖的根本概念及Masson公式已在信號與系統分析課程中講過，所以下面歸納IIRFIR系統的各種網絡構造及其特點。IIR系統的根本網絡構造直接型構造Hz化為標準形式(5.1)式：Hz

M

bzkk

(5.1)1N

azkk則可依據Masson公式直接畫出Hz的直接II圖5.1〔取N=M=3二階直接II型網絡構造最有用，它是級聯型和并聯型網絡構造的根本網絡單元。優點：可直接由標準形式(5.1或差分方程yn

aynk

bxnk畫出網絡構造流圖，簡潔直觀。缺點：對于高階系統：調整零、極點困難；對系數量化效應敏感度高；

k kk0乘法運算量化誤差在系統輸出端的噪聲功率最大。級聯型構造將(5.1)式描述的系統函數Hz分解成多個二階子系統函數的乘積形式z (5.2)1 2 mHz

0i

z12i

, i1,2,,m (5.3)i 11i

z12i

z2畫出的級聯型方框圖如5.2所示。圖中每一個子系統均為二階直接型構造，依據Hz的具體表達式確定Hi

的系數,0i

,,2i

和 后，可畫出H2i

z的網絡構造流圖如5.3所示。優點：系統構造組成敏捷；調整零、極點簡潔，由于每一級二階子系統Hi對共軛極點；對系數量化效應敏感度低。缺點：存在計算誤差積存；

z獨立地確定一對共軛零點和一乘法運算量化誤差在輸出端的噪聲功率大于并聯型構造。并聯型構造將(5.1)式寫成：HzN

ci1pz1ii1 i將上式中的復共軛對極點對應的兩項合并為一個二階項：Hz r r0i 1i

Hz就可以寫成：

i 11i

z12i

z2Hzmi1

Hz (5.4)i由(5.4)Hz的并聯構造方框圖如圖5.4所示，圖中每個并聯子系統Hi階直接II型網絡構造流圖，如5.5所示。

端的噪聲功率小。缺點：調整零點不便利，當Hz有多階極點時，局部分式開放較麻煩。FIR系統網絡構造FIRFIR系統具有簡化形式。下面分別給出FIRHz的四種表達式及其相應的四種網絡構造形式。直接型構造hnNFIR系統的系統函數為Hz

Nn0

n (5.5)MassonHz的直接型構造流圖如5.6所示。級聯構造Hz分解成二階因子的乘積N N N

Hz

0k

z12k

z2 (5.6)22

取整。依據(5.6)式畫出級聯構造如5.7所示。FIR第七章將證明線性相位FIR系統的單位脈沖響應hn應滿足hnhN1n這時，(5.5)式可以寫成如下形式：N為奇數時， 11

N1

Hz 2

hn zN1n

h z2

(5.7)N為偶數時，

n0

N

2 Hz

2 n0

znzN1n (5.8)(5.7)式和(5.8)式對應的線性相位FIR系統構造分別如5.8和5.9所示。圖中的正負號由hnhnhN1n+hnhN1n時，取“”號。頻率采樣構造FIR系統的頻率采樣構造是依據其系統函數Hzz域內插表達形式所畫出的一種網絡構造。依據頻域采樣理論有Hzz域內插公式Hz1zNN

Nk0

Hk1Wkz1Nc

1zN,Hk

z

N

。這時，Hz

1HzN1HN c k0

z由上式可見，Hz的網絡構造為FIR子系統Hcz和IIR子系統N1Hkz級聯而成，k0而N1Hz為N個一階IIR子網絡Hz圖5.10所示。k kk0圖5.10所示的根本形式，修正型構造就簡潔得到。穩定性問題。由于系數量化誤差使零極點不能對消時，系統就會不穩定。所以實際中將梳狀濾波器Hc

k

zr11得修正的頻率采樣構造系統函數為Hz1rNzNN其中，r為修正半徑，其值與系統字長有關。

Nk0

(5.9)1 rWkr1N圖5.10或(5.9)式畫的修正的頻率采樣構造圖中存在大量的復數運算。復數運算比實數運算簡單，特別是用硬件實現簡單。對常用的實序列hn，可以完全解決該問題。FIR系統四種網絡構造的比較FIR系統的直接型構造簡潔直觀，乘法運算較少，但調整零點較難；級聯型構造每級獨立掌握一對共軛零點，所以適用于需要掌握傳輸零點的場合，其缺點是乘法器比直接型多；FIR系統構造的乘法運算比直接型少，當N為偶數時，乘法運算削減一半，當NNN1個；頻率采樣構造可以直接由采樣值Hk控2HkHk對應的并聯二階網絡可省去，從而使構造大大簡化。所以，頻率采樣構造適用于窄帶濾波器。固然，對集成化的構造而言，適合任何濾波特性。5.2 教材第五章習題解答設系統用下面的差分方程描述：3 1 1y(n)

y(n1) y(n2)x(n) x(n1)，4 8 3試畫出系統的直接型、級聯型和并聯型構造。解：311y(n) y(n1) y(n2)x(n) x(n1)311將上式進展Z變換

4 8 33 1 Y(z) Y(z)z1 Y(z)z2X(z) X(z)z13 1 4 8 3113z13z113z13z11481

z2依據系統函數H(z)，依據Masson公式，畫出直接型構造如1解圖〔一〕所示。H(z的分母進展因式分解H(z)

1 z11313 11 z1 z214 811 z1 31 11依據上式可以有兩種級聯型構造：113z1 1

(1 z1)(1 z1)2 4(a) H(z) 1 1(1 z1) (1 z1)2 4題1解圖〔二〕所示1H(z)

1 z11311 1(1 z1) (1 z1)2 4題1解圖〔二H(z進展局部分式開放

11 z111 H(z) 3 (1 z1)(1 z1)1 2 4z1H(z) 3 A Bz (z1)(z1) z1 z12 4 2 4z1A 3(z1)(z1)2 4z1B 3

(z1)2 z(z1)

1103217(z1)(z1)2 4

4 z 3410 71H(z) 3 31z z1 z2 410 7 10 7z z1 1 1 H(z) 3 3 3 31 1 1 z z 1 z1 1 z12 4 2 4依據上式畫出并聯型構造如1解圖〔三〕所示。設數字濾波器的差分方程為y(n)(ab)y(n1)aby(n2)x(n2)(ab)x(n1)abx(n)，試畫出該濾波器的直接型、級聯型和并聯型構造。解：將差分方程進展Z變換，得到Y(z)(ab)Y(z)z1abY(z)z2X(z)z2(ab)X(z)z1abX(z)Y(z) ab(ab)z1z2H(z) X(z) 1(ab)z1abz2依據Massion公式直接畫出直接型構造如2解圖〔一〕所示。H(z)的分子和分母進展因式分解：(az1)(bz1)H(z) H(1az1)(1bz1)

H2

(z)依據上式可以有兩種級聯型構造：H1

(z)

z1a1az1H(z)2

z1b1bz1題2解圖〔二〕

z1a(b) H1

(z)

1bz1H(z)2

z1b1az1題2解圖〔二。設系統的系統函數為H(z)

4(1z1)(11.414z1z2)(10.5z1)(10.9z10.18z2)，試畫出各種可能的級聯型構造。解：由于系統函數的分子和分母各有兩個因式，可以有兩種級聯型構造。H(z)H1

(z)H2

(z)〔1〕

4(z)

1z1，1H(z)2

10.5z111.414z1z210.9z10.81z2畫出級聯型構造如3解圖〔a〕所示●。11.414z1z2〔2〕 H1

(z) ,10.5z1H(z)

41z12 10.9z10.81z2畫出級聯型構造如3解圖〔b〕所示。圖中畫出了四個系統，試用各子系統的單位脈沖響應分別表示各總系統的單位脈沖響應，并求其總系統函數。d解：(d) h(n)h(n)[h(n)h(n)h(n)]h

(n)1 2 3 4 5h(n)h(n)h(n)h(n)h(n)h

(n)1 2 1 3 4 5H(z)H(z)H(z)H(z)H(z)H(z)H(z)1 2 1 3 4 5寫出圖中流圖的系統函數及差分方程。圖d解：(d) H(z)

rsinz11rcosz1rcosz1r2sin2z2r2cos2z2rsinz112rcosz1r2z2y(n)2rcosy(n1)r2y(n2)rsinx(n1)寫出圖中流圖的系統函數。f解：1 2 z12 2 z11 (f) H(z) 4 2 1 3 1 31 z1 z2 1 z1 z24 8 4 88．FIR濾波器的單位脈沖響應為h(n)(n(n1)(n4)，試用頻率采樣結N=5式。解：頻率采樣構造的公式為H(z)(1zN)

1N1 H(k)N 1Wkz1式中，N=5

N1

k0 N4H(k)DFT[h(n)]

n0

N

[(n)(n1)(n4)]WknNn0551ej2kej8k,k0,1,2,3,455它的頻率采樣構造如8解圖所示。————其次章————教材其次章習題解答X(ejw和Y(ejwx(n)y(n的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：〔1〕x(nn)；0〔2〕x(n)；〔3〕x(n)y(n)；〔4〕x(2n)。解：〔1〕FT[x(nn0

n

x(nn)ejwn0n”

nn0

nn”n，則0FT[x(nn00000

x(n”)ejw(n”

)ejwn

X(ejw)n〔2〕FT[x*(n)]

n

jwnx*(n)e n

x(n)ejwn]*X*(ejw)3〕FT[x(n)]n

x(n)ejwnn”

n，則FT[x(n)]

jwn”x(n”)e X(ejw)〔4〕 FT[x(n)*y(n)]X(ejw)Y(ejw)證明： x(n)*y(n)

m

x(m)y(nm)FT[x(n)*y(n)]

[

x(m)y(nm)]ejwnk=n-m，則

nmFT[x(n)*y(n)]

[

x(m)y(k)]ejwkejwnkmk

y(k)ejwk

m

x(m)ejwn1,ww

jw)X(ejw) 000,ww0X(ejwx(n)。1 w

sinwn解： x(n)

0w0

ejwndw n0線性時不變系統的頻率響應(傳輸函數)H(ejw)H(ejw)ej(w),假設單位脈沖響應h(n)0為實序列，試證明輸入x(n)Acos(wn)的穩態響應為0y(n)AH(ejw)cos[w0解：

n(w0

。x(n)ejw0n，系統單位脈沖相應為h(n)，系統輸出為y(n)h(n)*x(n)

m

h(m)ejw0(nm)ejw0n

m

h(m)ejw0mH(ejw0)e

jw0n相位打算于網絡傳輸函數，利用該性質解此題。1x(n)Acos(w

n)

A[ejwnejejwnej]000 2001y(n)

jw

)ejejwnH(ejw)]2 0 0 0 01 nH(ejw

)ej(w

)ejejwnH(ejw

)ej(w)]2 0 0

0 0 0上式中H(ejw)是w的偶函數，相位函數是w的奇函數，H(ejw)H(ejw),(w)(w)1y(n)

jejwnej(w

)ejejwnej(w)]2 0 0 0 0 001,n0,10

)cos(w0

n(w))04.x(n)0,其它

x(n)4x(n)x(n)和x(n)x(n)X(k和傅里葉變換。解：x(n)x(n)的波形如4解圖所示。X(k)DFS[x(n)]3n0

x(n)ej2kn

1n0

1ejk2,24k(ejk4

ejk)2cos(

k)ejk4X(k4為周期，或者1 jkn

41ejk

4ej1e2

42k(ej1k2

42ej1k)2

j1k

sin1k,2,X(k)

e n0

1ejk

ej1k(ej1k

e ej1k)

sin1k2 4 4 4 4X(k4為周期X(ejw)FT[x(n)]24

X(k(wk)4k X(k(wk)2 2kk

cos(4

k)ejk(wk)4245.x(n)FTX(ejwX(ejw，完成以下運算：〔1〕X(ej0)；〔2〕〔5〕解：

X(ejw)dw；X(ejw)2dw〔1〕X(ej0)

7n3

x(n)6〔2〕

X(ejw)dwx(0)〔5〕

X(ejw)2 n2

x(n)2

試求如下序列的傅里葉變換:

(n)1(n1)(n)1(n1)；2 2 2x3

(n)anu(n),0a1解：〔2〕

X(ejw) x(n)e

1 ejw1 ejw1 2n1

2 2 21 (ejwejw)1cosw2〔3〕 X3設:

(ejw)

n

anu(n)ejwnn0

anejwn

11aejwx(n是實偶函數，x(n)x(n)的傅里葉變換性質。解：令X(ejw

n

x(n)ejwn〔1〕x(n)X(ejw)兩邊取共軛，得到

n

x(n)ejwnX*(ejw)X(ejwX*(ejw)

n

x(n)ejwn

n

x(n)ej(w)nX(ejw)上式說明x(n)X(ejw具有共軛對稱性質。X(ejw)

n

x(n)ejwn

n

x(n)[coswnjsinwn]x(n)是偶函數，x(n)sinwn是奇函數，那么X(ejw

n

x(n)coswn

n

x(n)sinwn0X(ejw是實函數，且是w的偶函數。總結以上x(n)X(ejw是實、偶函數。〔2〕x(n)是實、奇函數。上面已推出，由于x(n)X(ejw具有共軛對稱性質，即X(ejw)X*(ejw)X(ejw)

n

x(n)ejwn

n

x(n)[coswnjsinwn]x(n)x(n)coswn是奇函數，那么

n

x(n)coswn0因此X(ejwjn

x(n)sinwnX(ejw是純虛數，且是w的奇函數。10.假設序列h(n)是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式: HR求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejw。

(ejw)1cosw1 解1 H(ejw)1cosw1 ejw ejwR 2 221,n12

FT[he

(n)]n

h(n)ejwneh(n)1,n0e 1 ,n12 0,n0 1,n0h(n)h(n),n01,n1 2e ee

h(nn0 0,其它n h(n)ejwn1ejw2ejw/2cosw2n設系統的單位取樣響應h(n)anu(n),0a1x(n)(n)2(n2)，完成下面各題：y(n)；x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解：〔1〕〔2〕

y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)]anu(n)2an2u(n2)X(ejw)

n

[(n)2(n2)]ejwn12ej2wH(ejw)

n

anu(n)ejwn

n0

anejwn

11aejwY(ejw)H(ejw)X(ejw)

12ej2w1aejwxa

(t)2cos(2f

t)f0

100Hzfs

400Hzxa

進展采x(tx(n)，試完成下面各題：axa

(t)Xa

(j)；xa(tx(n)的表達式；xa(t)x(n)序列的傅里葉變換。解：〔1〕

X(j)a

xt)ejtdt2cos(a

t)ejtdt0

(ejtejt)ejtdt0 0上式中指數函數的傅里葉變換不存在，引入奇異函數函數，它的傅里葉變換可以表示成：X(j)2[( )()])a 0 0〔2〕

t)

xttnT) 2cos(nT(tnT)an

a 0nx(n)2cos(nT), n0 2f0 0

200rad,T

f〔3〕

a

1T

sX(jjk)a s2T

0

ks

)(0

k)]s式中s

2fs

800rad/s

n

x(n)ejwn

n

2cos(nT)ejwn0

n

2cos(wn)ejwn0 [ejwnejwnejwn

[(ww2k)(ww

2k)]0 0n

0 0kw0

T0.5rad0的傅里葉變換表達式。求以下序列的Z變換及收斂域：〔2〕2nu(n1)；〔3〕2nu(n)；〔6〕2n[u(n)u(n10)]解：〔2〕 ZT[2nu(n)]〔3〕

n

2nu(n)znn0

2nzn

1121z1

,z12ZT[2nu(n1)]

n

2nu(n1)zn

n1

2nznn1

2nzn 2z

1 ,z112z 121z1 2〔6〕 ZT[2nu(n)u(n n0

2nzn:

1210z10121z13 2

,0zX(z) 1 1 z1 12z12X(z)的各種可能的序列的表達式。解：有兩個極點，由于收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種狀況：三種收斂域對應三種不同的原序列。z0.5時，x(n)

1 2j

X(Z)zn1dzc57z1 5z7F(z)X(z)zn1

zn1

zn(10.5z1)(12z1) (z0.5)(z2)n0，由于c內無極點，x(n)=0；n1，C內有極點0，但z=0是一個n階極點，改為求圓外極點留數，圓外極點有z0.5,z1

2，那么x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2] (5z7)zn(z0.5)(z2)1

(z0.5)

z0.5

(5z7)zn(z0.5)(z2)

(z2)

z2[3( )n22n]u(n1)22時，當收斂域0.52時，n0，C0.5；

F(z)

(5z7)zn(z0.5)(z2)1x(n)Res[F(z),0.5]3( )n2n0，C0.5，00n階極點，改成求c外極點留數，c外極點只有一2，x(n)Res[F(z),2]22nu(n1)1最終得到x(n)3( )nu(n)22nu(n1)2當收斂域2z時，n0，C0.5，2；

F(z)

(5z7)zn(z0.5)(z2)1x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]3( )n22n2n<0，由收斂域推斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0。或者這樣分析，C0.5，2，00nc外極點留數，c外無極點，所以x(n)=0。最終得到1x(n)[3( )n22n]u(n)12x(n)anu(n),0a1，分別求：x(nZ變換；nx(nZ變換；anu(n)z變換。解：X(z)ZT[anu(n)]

n

anu(n)zn

1 ,za1az1ZT[nx(n)]zd

X(z)

az1

,zadz (1az1)23〕ZT[anu(n)]n0

anznn0

anzn

,za111az13z1X(z) ，分別求：25z12z2收斂域0.5z2對應的原序列x(n)；z2x(n。解：x(n)

1 2j

X(z)zn1dzc3z1 3znF(z)X(z)zn1

zn125z12z2

2(z0.5)(z2)〔1〕當收斂域0.5z2時，n0，c內有極點0.5，x(n)Res[F(z),0.5]0.5n2n,n0,c0.5,0,0是一個n階極點,改求c外極點留數,c2,x(n)Res[F(z),2]2n,最終得到〔2〔當收斂域z2時，n0,c0.5,2,

x(n)2nu(n)2nu(n1)2nx(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]3zn0.5n (z2)2(z0.5)(z2)0.5n2n

z2n0,c0.5,2,0,0n階極點,改成求c外極點留數,c外沒有極點,x(n0,最終得到x(n)(0.5n2n)u(n)25.網絡的輸入和單位脈沖響應分別為x(n)anu(n),h(n)bnu(n),0a1,0b1，試：y(n)；用ZTy(n。解：y(n)y(n)h(n)x(n)

m

bmu(m)anmu(nm)，n0,y(n)最終得到

nm0

anmbm

an

nm0

ambm

an

1an1bn1an1bn11a1b aban1bn1

，n0，y(n)0y(n) u(n)ab用ZTy(n)

X(z)

1 ,H(z) 11az1 1bz1Y(z)X(z)H(z)1az1

1bz1y(n)

1 2j

Y(z)zn1dzcF(z)Y(z)zn1

n1 zn11az1 1bz1 (za)(zb)n0,c內有極點aban1 bn1 an1bn1y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),b] ab ba abn0,y(n)0，最終得到an1bn1y(n) u(n)ab28.假設序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式：1acoswH (ejw) ,a1R 1a22acosw求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejw。解：1acosw 10.5a(ejwejw)H (ejw) R 1a22acosw 1a2a(ejwejw)10.5a(zz1) 10.5a(ejwejw)H (z) R 1a2a(zz1) (1az1)(1az)求上式IZT，得到序列h(n)的共軛對稱序列he

(n)。h(n)e

1 2j

H (z)zn1dzc RF(z)HR

(z)zn1

0.5az2z0.5a zn1a(za)(za1)由于h(n)he

(naza1。n1時，c內有極點a,0.5az2z0.5a 1h(n)Res[F(z),a] zn1(za) anen=0時，c內有極點a,0，

a(za)(za1)0.5az2z0.5a

za 2F(z)HR

(z)zn1

z1a(za)(za1)所以又由于

h(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]1eh(n)he e所以

(n)1,n0h(n)0.5an,n0e0.5an,n0h(n),n0

1,n0 e h(n)2h0,e

(n),n0an,n0anu(n)0 0,n0 n H(ejw)n0

anejwn

11aejw————第三章————離散傅里葉變換DFT學習要點DFT的定義、DFTZ變換(ZT)、傅里葉變換(FT)DFT的物理意義DFTxn為有限長序列，長度為MxnNnM點離散傅立葉變換為

N1 XkDFTxn

n0

nWkn, k0,1,,N1 (3.1)NXkN點離散傅立葉逆變換為xn

1NNk0

N

kn, (3.2)其中，WN

ej2

成為DFT變換區間長度。N，由定義可見，DFT使有限長時域離散序列與有限長頻域離散序列建立對應關系。N，DFTZT、FT設XejFTxn, XzZTxn, XkDFTxnN點則

Xej

2kN

，k0,1,,N1 (3.3)XkXz

2zejNk

,k0,1,,N1 (3.4)即序列xn的N點DFT的物理意義使對xn的頻譜Xej在,上的N點等間隔采樣，采樣間隔為2N。即對序列頻譜的離散化。依據上述根本內容，我們可以看出，對同一序列xn:DFTN不同，變換結果Xk不同。當NXk與xn是一一對應的。當NXkXej曲線。這一概念在用DFT進展譜分析使很重要。Xk表示2Nkxn是一模擬信號的采樣，采k樣間隔為TT2fT，則kfk

的關系為k N

k2fT k即 f k (3.5)k NT1即對于模擬頻率而言，N點DFT意味著頻域采樣間隔為 Hz。所以用DFT進展譜NT分析時，稱F1NT為頻率區分率。而NT表示時域采樣的區間長度，明顯為了提高頻率區分率，就必需使記錄時間TpDFT的隱含周期性

足夠大。DFT的隱含周期可以從三種不同的角度得出： Xk

Xej

Xej

是以2為周期的周期函數，

Xej

的主值區

N點等間隔采樣。明顯，當自變量k超出DFT變換區間時，必定得到,之外區間上Xej的采樣，且以N為周期重復消滅，得到 Xk X k 。NN N N N1

N1 XkmN

n0

nWkmNnN

n0

nWknXkNXk隱含周期性，周期為N。N

的DFS系數

DFT的隱含周期性。設xn的周期延拓序列~nxnN

，則

nDFS系數為N~

N1

j2kn

N1 Xk

x ne Nn0

n0

nWknN明顯，當k0,1, ,N1時，~~即 Xk

N

(3.6)

~~~~

N

(3.7)xn的xn~N~

k的主值序列，即(3.6)k的取另外，

k表示~ n的頻譜特性，所以取主值序列xn~ nRn和~N N N~Xk

N

kXk的一種物理解釋：實質上，XxN

的頻譜特性。DFT的主要性質DFT的定義給出了一個有限長時域序列xnN點DFTDFTDFTDFT的一些根本性質解決一些問題將更便利，更明白。學習DFT的性質時，應與傅里葉變換的性質比照學習，要搞清兩者的主要區分。我們列的移動范圍無任何限制。DFT是對有限長序列定義的一種變換DFT變換區間為0nN1。這一點與傅立葉變換截然不同，由于n0及nN區間在DFT變換區間以外，所以爭論nN2點作為對稱點。為了區分于無限長xep

nxop

n〔或圓周共軛對稱序列和共軛反對稱序列。其定義為

x nxep

0nN1 (3.9)x nxop op

0nN1 (3.10)xnxep

nxop

1 x n xnep 2

x

(3.11) 1 x n xnop 2

x

(3.12)xnNxep

op

nxn的共軛對稱重量和共軛反對稱重量。對應于傅立葉變換中的時移性質和線性卷積定理，DFT有循環移位性質和循環卷積定理。對一些簡潔的性質，以表格形式列出〔表3.，后面主要對DFT納。3.1DFT序號序號序列離散傅里葉變換k備注12yn ax nbx nYk aX k bX kXkDFTxn121211X k DFTx n2 234mR N NNxnxnWkmXkNXkmR N N時域循環移位性質頻域循環移位性質51N1m02X kX kX k DFTx n11x mx1n mR n122X k DFTx nN N2267xnxNnXNkXk注：表中全部序列長度，DFT變換區間長度均為N。對一般的N長序列xnDFT的根本內容。設 k0,1, ,N1假設

xnxr

njxi

n, xr

xi

且 XkXep

op

k則 X ep r

n (3.13(a))X (3.13(b)) ，為op ，為Xep

2

X

Nk

X op

2

Nk

，為

xnxep

nxop

n且 Xj則 epop

(3.13(c))(3.13(d))以上四個公式(3.13(a),(b),(c),(d))給出DFT的共軛對稱性的根本內容，對于一些特別性質的信號，均可由上面四個公式得到其DFT的對稱性，依據這些對稱性，可提高信號處理的速度。DFT的共軛對稱性。只有把握了前述根本對稱性內容，則實信號DFT的對稱性很簡潔得出。xnxnxn，所以依據(3.13(a))Xk只有r共軛對稱重量，即xn實偶對稱，即

k (3.13(e))xNn(3.13(f))xn實奇對稱,即xnxNn,XkXNkXNk (3.13(g))由以上結論可知，只要xn是實序列，則其離散傅里葉變換Xk必定共軛對稱。所以XkN2Xk值可由對稱性求得。XkN1xnWkn, k, ,N1N 2n0k0,1,,N12這樣可以節約一半運算量。頻域采樣的周期延拓函數，延拓周期為2T。〔得到證明。下面證明頻域采樣的特性與時域采樣對偶，即頻域采樣，時域周期延拓，這一特性正好與“時域采樣，頻域周期延拓”相對偶。設XeFTxn,XzZTxn，現對Xej進展等間隔采樣得到~樣間隔為2 Nrad。

XejkN

2zejNk

, k為整數 ~

~

~ Xej

以2為周期，所以Xk

N為周期，可將Xk

看做一個周期序列x n的NDFS系數，由(3.8)式得

~ nN

l

xnlN即頻域以2N為間隔采樣，對應于時域序列周期延拓，延拓周期為N。由此結論可得到頻域采樣定理為:xnM，

Xej

kN

, k0,1,,N1

Xej

N點等間隔采樣。則只有當NM時，才能由Xk恢復Xej

，且

l

NDFT的應用DFTDFT，實際上都是承受DFT的快速算法〔FFT〕DFT和IDFT。信號經過一線性非移變系統進展處理，實質上就是計算輸入信號xn與系統單位脈沖響應hn的線性卷積。所謂的快遞卷積就是依據DFTDFTxn與hn的卷積變成XkHkIDFTDFTIDFT均承受快速算法，從而使卷積運算速度大大提高。教材第三章習題解答計算以下諸序列的NDFT,在變換區間0nN1內,序列定義為〔2〕x(n)(n)；x(n)Rm

(n),0mN；2〔6〕x(n)cos(N

nm),0mN；〔8〕x(n)sin(w0

n)RN

(n)；〔10〕x(n)nRN

(n)。解：〔2〕X(k)

Nn0

N

Nn0

(n)1,k0,1,,N1〔4〕X(k)

N

N

1Wkm N e1Wk

jk(m1)N

sin(Nsin(

mk)m)

,k0,1,,N1n0 NNN1N1ej2(mk)N2n0

1N1ej2(mk)nN2Nn0 2 2 11ejN(mk)N1ejN(mk)N2 2 2 1ejN(mk) 1ejN(mk)1km且kNmN , 0kN1,k或kNmN1

N11 j2

j2mn j2kn〔6〕X(k)

cos mnWkn (eN e N )e NN N 2n0 n0e〔8〕解法1 直接計算e

1 x(n)sin(w8

n)RN

(n)2j

0

ejwnR0N0

(n)N1

1N1 j2knX(k)8

n0

x(n)WknN

2jn0

jwne00e0

ejwne N1N1

02 0

1

1ejwN 1ejwN 0 0N

ej〔w

N〕n 0 0 2j

2j1ej(w2k)

2 1ej(w k)n0

0 N

0 N 解法2 由DFT的共軛對稱性求解由于x(n)ejw0nR7

0

n)jsin(w0

n)RN

(n)x(n)sin(w8 0所以

n)RN

(n)Imx7

(n)DFTjx8即

(n)DFTjImx7

(k)701 8

(k)j70 2

X(k)X(Nk)7 7002 2 002 2 01 1ejwN 0

1ejwN

)

1 1ejw0N

1ejwN )2j

2 2j(w k) j(w (Nk)

2j

j(w k) j(w k)1e 0

1e 0

1e 0

1e 0 N 1所得結果一樣。此題驗證了共軛對稱性。〔10〕1X(k)

Nn0

nWknN

上式直接計算較難，可依據循環移位性質來求解X(k)。由于 x(n)nRN

(n)所以 x(n)x((n1))N等式兩邊進展DFT得到

R (n)N(n)RN

(n)X(k)X(k)WkN

NN(k)故 X(k)N[(k)1], k1,2,N11WkNk0時，可直接計算得出X〔0〕X)N1nWN

N1n

N(N1)2n0 n0這樣，X〔k〕可寫成如下形式：N(N1),k0 22k0時，

X(k) NN11WkNX(k)N1nN(N)2k0時，X(k)0WkN

2W2kN

N

n0(N1)W(N1)kNWknX(k)0W2k2W3k

3W4k(N2)W(N1)k

(N1)N N NN1

N NN1X(k)WknX(k)N所以，

n1

WknN