2022-2023學(xué)年湖南省永州市龔家坪鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為：有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第三天走了（

）A.192里 B.48里 C.24里 D.96里參考答案：B【分析】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可得首項(xiàng)，由此可得第三天走的步數(shù)。【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得：，解得：，，故答案選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，求出數(shù)列的首項(xiàng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。2.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)空間幾何體的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則此球的體積與表面積之比為（

）

A．31

B．13

C．41

D．32參考答案：B由三視圖知幾何體是一個(gè)正四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形，高為，球心在高的延長(zhǎng)線(xiàn)上，球心到底面的距離為，所以，所以，故此幾何體外接球的半徑為1球的體積，表面積為，所以球的體積與表面積之比為，故選B．點(diǎn)睛：本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，由三視圖可以看出，幾何體是正四棱錐，求出高，設(shè)出球心，通過(guò)勾股定理求出球的半徑，再求球的體積、表面積，即可求出球的體積與表面積之比.

3.函數(shù)y=+1（x≥1）的反函數(shù)是（

）A．y=x2－2x+2（x＜1

B．y=x2－2x+2（x≥1C．y=x2－2x（x＜1

D．y=x2－2x（x≥1參考答案：答案：B4.是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且點(diǎn)在圓上，那么過(guò)點(diǎn)和的直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（

）相離

相切

相交

隨的變化而變化參考答案：A5.設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則(

)A. B.C. D.參考答案：A【分析】由可得對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合奇偶性可知周期為；可將所求式子通過(guò)周期化為，結(jié)合解析式可求得函數(shù)值.【詳解】由得：關(guān)于對(duì)稱(chēng)又為上的奇函數(shù)

是以為周期的周期函數(shù)且故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性求解函數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性和對(duì)稱(chēng)軸得到函數(shù)的周期，并求得基礎(chǔ)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值.6.已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，則m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，則m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故選：C7.tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+參考答案：D因?yàn)榛?jiǎn)可得

8.1．函數(shù)的定義域是()A．(3，＋∞)

B．[3，＋∞)C．(4，＋∞)

D．[4，＋∞)參考答案：D.y＝的定義域滿(mǎn)足解這個(gè)不等式得x≥4.9.長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB=90°，則側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值為(

)A．a(chǎn)B．2aC．3aD．4a參考答案：B考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算．專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離．分析：設(shè)側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為x，A1E=t，則AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+a2=0，由此利用根的判別式能求出側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值．解答： 解：設(shè)側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為x，A1E=t，則AE=x﹣t，∵長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，整理，得：t2﹣xt+a2=0，∵在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，解得x≥2a．∴側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值為2a．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意根的判別式的合理運(yùn)用．10.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的縮短為原來(lái)的一半(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知曲線(xiàn)與曲線(xiàn)：，則曲線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)

；若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：，.試題分析：由題意得，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，故過(guò)定點(diǎn)，顯然直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，，∴問(wèn)題等價(jià)于直線(xiàn)與圓相交，且不過(guò)點(diǎn)，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故填：，.考點(diǎn)：1.直線(xiàn)方程；2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.12.在底面是邊長(zhǎng)為的正方形的四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線(xiàn)PB與AD所成角的正切值為2，若四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球半徑為r，外接球的半徑為R，則________．參考答案：【分析】設(shè)，為，的中點(diǎn)，先求出四棱錐內(nèi)切球的半徑，再求出外接球的半徑，即得解.【詳解】如圖，，為，的中點(diǎn)，由題意，為正四棱錐，底邊長(zhǎng)為2，，即為與所成角，可得斜高為2，為正三角形，正四棱錐的內(nèi)切球半徑即為的內(nèi)切圓半徑，所以可得，設(shè)為外接球球心，在中，，解得，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與球的內(nèi)切和外接問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知函數(shù)，若f（a）=3，則a＝＿＿＿＿·參考答案：-314.某程序框圖（即算法流程圖）如右圖所示，其輸出的結(jié)果是

．參考答案：127略15.若橢圓和雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)、，是兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，則的值是

參考答案：m-a略16.如圖是200輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)某一雷達(dá)地區(qū)運(yùn)行時(shí)速的頻率直方圖，則時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)約為_(kāi)_______________輛。

參考答案：答案：5617.某程序框圖如右圖所示，若,則該程序運(yùn)行后，輸出的值為

;參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)做//將的位置（），使得.(1)求證：.

（2）試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由．參考答案：（1）在中，又平面PEB.又平面PEB,………………5分（2）解法一：過(guò)P作PQBE于點(diǎn)Q，垂足為Q；過(guò)Q作QHFC，垂足為H。則即為所求二面角的平面角。……………8分設(shè)PE=x，則EQ=，PQ=，………………10分QH=，…………………12分故，……………………13分，即二面角P-FC-B的平面角的余弦值為定值……14分解法二：在平面PEB內(nèi)，經(jīng)P點(diǎn)作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,EFPD.PD面BCEF.在面PEB內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BH//PD,則BH面BCFE.以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.………………6分設(shè)PE=x（0＜x＜4）又[/]在中，………………………8分從而

設(shè)是平面PCF的一個(gè)法向量，由得取得是平面PFC的一個(gè)法向量.…………………11分又平面BCF的一個(gè)法向量為………………12分設(shè)二面角的平面角為，則ks5u因此當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為定值[ht……………14分19.濟(jì)南高新區(qū)引進(jìn)一高科技企業(yè)，投入資金720萬(wàn)元建設(shè)基本設(shè)施，第一年各種運(yùn)營(yíng)費(fèi)用120萬(wàn)元，以后每年增加40萬(wàn)元；每年企業(yè)銷(xiāo)售收入500萬(wàn)元，設(shè)表示前年的純收入.（=前年的總收入-前年的總支出-投資額）(Ⅰ）從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？(Ⅱ）若干年后，該企業(yè)為開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，有兩種處理方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以480萬(wàn)元出售該企業(yè)；②純利潤(rùn)最大時(shí)，以160萬(wàn)元出售該企業(yè)；問(wèn)哪種方案最合算？參考答案：由題意知每年的運(yùn)營(yíng)費(fèi)用是以120為首項(xiàng)，40為公差的等差數(shù)列.設(shè)純利潤(rùn)與年數(shù)的關(guān)系為，設(shè).

(Ⅰ）獲取純利潤(rùn)就是要求，故有，解得.又，知從第三年開(kāi)始獲取純利潤(rùn).

(Ⅱ）①年平均利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故此方案獲利（萬(wàn)元），此時(shí).

②，當(dāng)時(shí)，.故此方案共獲利1280+160=1440（萬(wàn)元）.

比較兩種方案，在同等數(shù)額獲利的基礎(chǔ)上,第①種方案只需6年，第②種方案需要10年，故選擇第①種方案.

20.（本題15分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）設(shè)邊的中點(diǎn)為，，求的面積．參考答案：（Ⅰ）由，得，

又，代入得，由，得，

，

得，

（Ⅱ），

，，則

21.(本小題滿(mǎn)分12分）在如圖所示的幾何體中，平面，∥，是的中點(diǎn)，，，．（1）證明平面；（2）求二面角的余弦值的大小；

參考答案：解法一（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)、．因?yàn)椤危危浴危忠驗(yàn)椋裕运倪呅问瞧叫兴倪呅危危衷诘妊校堑闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫妫矫妫裕云矫妫忠驗(yàn)椤危云矫妫?/p>

……………分（2）因?yàn)槠矫妫矫妫云矫嫫矫妫^(guò)點(diǎn)作于，則平面，所以．過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)，則平面，所以．所以是二面角的平面角．……………分在中，．因?yàn)椋允堑冗吶切危郑?/p>

，．在中，．所以二面角的余弦值是．……………分解法二

（1）因?yàn)槠矫妫危云矫妫室詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，，．

……分

所以，，．因?yàn)椋裕云矫妫?/p>

……分（2）由（Ⅰ）知，，，．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由

得即．取，則．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由

得即．取，，則．…分∵二面角為銳二面角，設(shè)二面角的大小為，則．