高一物理相遇和追及問題(含詳解)

相遇和追及問題機動車的行駛安全問題：機動車行駛時，反應時間和反應距離是非常重要的安全因素。反應時間是指從發現情況到采取相應措施所需的時間，而反應距離則是在反應時間內機動車仍然以原來的速度勻速行駛的距離。剎車距離是從剎車開始到機動車完全停下來所需的距離。停車距離由反應距離和剎車距離共同決定，而安全距離則應大于一定情況下的停車距離。追及與相遇問題的概述：追及問題可以分為兩類情況：速度小者追速度大者和速度大者追速度小者。若后者能夠追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。若后者追不上前者，則當后者的速度與前者相等時，兩者相距最近。相遇問題常見于同向運動的兩物體的相遇問題，即追及問題，以及相向運動的物體，當各自移動的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時相遇。解題方法：在解決追及和相遇問題時，首先應注意畫出示意圖，標明數值和物理量。當被追趕的物體做勻減速運動時，還要注意該物體是否停止運動了。例題：為了保證機動車行駛安全，在高速公路上行駛的汽車之間應保持必要的距離。已知某高速公路的最高限速為120km/h。假設前方車輛突然停止運動，后面汽車的司機從發現情況到采取剎車措施經歷了0.50s的反應時間，剎車時汽車所受阻力是車重的0.40倍。為了避免發生追尾事故，在該高速公路上行駛的汽車之間至少應保留多大的距離？解析：將120km/h轉換為33.3m/s，然后應用勻減速運動的公式計算加速度大小為4m/s2。勻速階段的位移為16.7m，減速階段的位移為139m，因此兩車至少相距156m。在同一個速度-時間圖中，Ⅰ表示自行車的速度圖線，Ⅱ表示汽車的速度圖線。自行車的位移x等于圖線Ⅰ與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移x等于圖線Ⅱ與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差。當t=t時，矩形與三角形的面積之差最大，此時v汽=at=v自，t=v自/6=s/(2a/3)，ΔS=m=t*v自/2=2*6m/22=6m。設經過時間t汽車和自行車之間的距離Δx，則2Δx=x自-x汽=vt-at=6t-t^2/2，當t=2s時兩車之間的距離有最大值Δxm，且Δxm=6m?！军c評】(1)解決追及相遇問題時，要掌握“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關系式、速度關系式和位移關系式，另外要對解的討論進行充分分析。(2)分析追及、相遇類問題時，要注意關鍵字眼，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應一個臨界狀態，滿足相應的臨界條件。(3)解題思路和方法?！咀兪?】小轎車在十字路口等綠燈亮后，以1m/s的加速度啟動，恰在此時，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過，做同向勻速運動，問（1）小轎車追上大卡車時已通過多少路程？（2）兩車間的距離最大時為多少？【答案】(1)98m(2)24.5m【變式2】甲、乙兩車同時從同一地點出發，向同一方向運動，其中甲以10m/s的速度勻速行駛，乙以2m/s的加速度由靜止啟動，求：(1)經多長時間乙車追上甲車？此時甲、乙兩車速度有何關系？(2)追上前經多長時間兩者相距最遠？此時二者的速度有何關系？【答案】(1)10s速度相等(2)5s加速度相等甲車和乙車之間的距離在0~10秒內逐漸增加，在10~15秒內逐漸減小，直到20秒時再次相遇。因此，選項A、B、D是錯誤的。由于在5~15秒內甲車和乙車的速度相等，所以選項C是正確的。例4中，一輛小汽車以速度vA向東行駛，一位觀光游客從南向北橫穿馬路。司機在游客經過D處時緊急剎車，但仍然撞到了游客。警車以法定最高速度vM行駛在同一地段，胎磨損情況與肇事汽車相同。警車在肇事汽車的起始制動點A緊急剎車，經過14.0米后停下來。在事故現場測得AB=17.5米，BC=14.0米，BD=2.6米。問題是：（1）肇事汽車的初速度vA是多少？（2）游客橫穿馬路的速度是多少？（1）警車和肇事汽車都做勻減速運動，其加速度大小為a=μg，與車子的質量無關。因此，警車和肇事汽車做勻減速運動的加速度a的大小是相等的。對于警車，有vM=2as；對于肇事汽車，有vA=2as'。由AB+BC=17.5+14.0=31.5米，以及vM=21米/秒，可以得到vA=vM=21米/秒。（2）由于肇事汽車至出事點B的速度為vB=14.0米/秒，由vA和vB的速度之和除以2等于游客橫穿馬路的距離BD除以時間t1，可以得到游客橫穿馬路的速度v'≈1.53米/秒。在解決物體的運動問題時，需要先分析物體的運動過程，特別是當物體有多個運動階段時，必須明確問題所研究的是運動的哪一個階段。當問題涉及多個物體的運動時，應先分別獨立研究各個物體的運動，然后找出它們之間的聯系。1、在十字路口，汽車以0.5m/s2的加速度從停車線啟動做勻加速運動，恰好有一輛自行車以5m/s的速度勻速駛過停車線與汽車同方向行駛，求：①什么時候它們相距最遠？最遠距離是多少？②在什么地方汽車追上自行車？追到時汽車的速度是多大？解析：①設相遇時兩車距離為x，此時汽車行駛的時間為t，自行車行駛的時間為t+x/5。根據相遇時兩車距離的公式可得：x=0.5t2+2.5t兩車相距最遠時，它們的相對速度為0，即汽車的速度等于自行車的速度。因此，此時汽車的速度為5m/s，代入上述公式可得：t=5s，x=37.5m。所以它們相距最遠時的距離為37.5m。②當汽車追上自行車時，它們的距離為0，即0.5t2+2.5t=5t，解得t=5s。此時汽車行駛的距離為0.5×52=12.5m，因此汽車追上自行車的位置為停車線后12.5m的地方，汽車的速度為5+0.5×5=7.5m/s。綜上所述，答案為：①它們相距最遠的時間為5秒，最遠距離為37.5米。②汽車追上自行車的位置為停車線后12.5米的地方，汽車的速度為7.5米/秒。2、甲和乙在直跑道上練習4×100m接力。他們擁有相同的最大速度。乙需要跑25m才能達到最大速度，這個過程可以視為勻變速運動?，F在甲持棒以最大速度向乙奔來，乙在接力區等待時機全力奔跑。如果要求乙在接力區接棒時奔跑達到最大速度的80%，那么：（1）乙需要在接力區奔跑多少距離？（2）乙應該在距離甲多遠的地方起跑？3、甲和乙兩輛車同向行駛，相距為s。乙在前面做加速度為a1，初速度為0的勻加速運動。甲在后面做加速度為a2，初速度為v的勻加速運動。討論兩輛車在運動過程中相遇次數與加速度的關系。4、在水平直軌道上有兩列火車A和B相距s。A車在后面做初速度為v、加速度大小為2a的勻減速直線運動；而B車同時做初速度為0、加速度大小為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v應滿足的條件。5、甲和乙兩輛車在同一條平直公路上行駛。甲車以v1=10m/s的速度做勻速運動，經過車站A時關閉油門以a1=4m/s2的加速度勻減速前進。2秒后，乙車從車站A出發，以a2=1m/s2的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，與甲車同方向行駛。問乙車出發后經過多長時間追上甲車？6、高速公路給人們出行帶來了方便，但是因為在高速公路上行駛的車輛速度大，霧天往往出現多車追尾相撞的車禍。已知轎車在高速公路正常行駛速率為120km/h。轎車剎車產生的最大加速度為28m/s2。如果某天有霧，能見度（觀察者與能看見的最遠目標間的距離）約為37m，司機反應時間為0.6秒。為了安全行駛，轎車行駛的最大速度應該是多少？7、小球1從高處H自由落下，同時小球2從下方以速度v豎直上拋，兩球可以在空中相遇。在以下兩種情況下，討論v的取值范圍：（1）小球2上升過程中兩球在空中相遇；（2）小球2下降過程中兩球在空中相遇。8、如圖所示，AB、CO為互相垂直的丁字形公路，CB為一斜直小路，CB與CO成60°角，CO間距300m。一名逃犯騎著摩托車以45km/h的速度正沿AB公路逃竄。當逃犯途徑路口O處時，守候在C處的公安干警立即發現逃犯，開始追趕。求公安干警需要多長時間才能追上逃犯？警車以1.2m/s的加速度啟動，能夠達到的最大速度為120km/h?，F在有兩種情況需要考慮：一是公安干警沿COB路徑追捕逃犯，需要計算多長時間以及在何處能將逃犯截獲；二是公安干警抄CB近路到達B處時，逃犯又以原速率掉頭向相反方向逃竄，公安干警則繼續沿BA方向追趕，需要計算總共經過多長時間以及在何處能將逃犯截獲。不考慮摩托車和警車轉向的時間。對于第一種情況，假設兩車速度相等時相距最遠，設所用時間為t。根據速度和位移的關系式，有25m=(v自-v汽)t/2，又因為汽車的加速度為1.2m/s2，所以t=10s。此時兩車相距100m，且速度均為10m/s。對于第二種情況，假設汽車追上自行車所用時間為t。根據速度和位移的關系式，有x汽=v自*t，又因為汽車的加速度為1.2m/s2，所以t=20s。此時自行車已經走了200m，汽車速度為10m/s，距停車線的距離為100m。對于第三題，提供兩種解法。解法一（物理方法）：由于兩車同時同向運動，故有v甲=v+1.2t，v乙=1.2t。當警車的加速度比逃犯的速度大時，警車必然追上逃犯。當加速度相等時，警車只能追上逃犯一次。當逃犯的速度比加速度大時，警車永遠無法追上逃犯。解法二（數學方法）：設警車追上逃犯所需時間為t，那么有120t-0.6t2=100，解得t=16s。此時警車行駛的距離為120*16-0.6*162=1728m，逃犯行駛的距離為16*100=1600m，因此警車在距離起點1728m的地方追上了逃犯。文章中存在的格式錯誤已被修正。以下是修改后的文章：車輛相遇問題是初中物理中的一個經典問題。當兩輛車從相距一定距離的地方同時出發，且它們的速度不同，我們想知道它們是否會相遇，以及相遇幾次。下面我們介紹幾種解決這個問題的方法。方法一（圖像法）：當甲車和乙車同時出發時，它們的距離為s，速度分別為v甲和v乙，加速度分別為a1和a2。速度和加速度的大小關系會隨著運動時間的增大而發生變化。剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速度v，所以v甲v乙。隨著時間的推移，a1t和a2t相差越來越大，當a1ta2tv時，v甲v乙，接下來a1ta2tv，則有v甲v乙。若在v甲v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇；若在v甲v乙時，兩車剛好相遇，隨后由于v甲v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲v乙之前，甲車已超過乙車，即已相遇一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。方法二（數學方法）：設經過時間t兩車能夠相遇，由于，s甲＝vt1/2a1t2，s乙＝1/2a2t2，兩車相遇時有s甲s乙s，則(a1a2)t2vt2s0，所以ts/(a1a2)。（1）當a1a2時，t只有一個解，則相遇一次。（2）當a1a2時，s甲s乙vt1/2a2t21/2a1t2vts，所以ts/v，t只有一個解，則相遇一次。（3）當a1a2時，若v2(a1a2)s，t無解，即不相遇；若v2(a1a2)s，t只有一個解，即相遇一次；若v2(a1a2)s，t有兩個正解，即相遇兩次。方法三（位移公式和速度公式）：要使兩車不相撞，A車追上B車時其速度最多只能與B車速度相等。設A、B兩從相距s到A車追上B車時，A車的位移為xA，末速度為vA，所用時間為t；B車的位移為xB，末速度為vB，運動過程如圖所示?，F用四種方法求解。對A車有xAvt1/2(2a)t2，vav(2a)t。對B車有xB1/2at2，vBat。兩車有ssAsB，追上時，兩車剛好不相撞的條件是vAvB，由以上各式聯立解得v6as。故要使兩車不相撞，A車的初速度v應滿足的條件是，v6as。解法二（利用速度公式和速度-位移關系式求解）：假設甲車的速度為v，那么甲車追上乙車前的時間為t甲=v甲-v乙/a甲-2a乙，乙車的時間為t乙=v乙/a乙。由于兩車在追上時速度相等，所以可以得到v=6as。因此，要使兩車不相撞，甲車的初速度v應滿足v≤6as。解法三（利用判別式解）：根據運動學公式，兩車追上的時間t可以表示為一個關于t的一元二次方程，即3at^2-2vt+s=0。當判別式Δ=2v^2-4×3a×s<0時，t無實數解，即兩車不會相撞。根據題目中的數據，可以得到甲車的初速度v=10m/s-2×4m/s=2m/s，離甲車停止運動的時間t'=v/1=2s，停止時離車站A的距離x甲=m=12.5m。因此，乙車需要在5s內走完這段路程才能追上甲車。小改寫：解法二：假設甲車的速度為v，那么甲車追上乙車前的時間為t甲=v甲-v乙/（a甲-2a乙），乙車的時間為t乙=v乙/a乙。由于兩車在追上時速度相等，所以可以得到v=6as。因此，要使兩車不相撞，甲車的初速度v應滿足v≤6as。解法三：根據運動學公式，兩車追上的時間t可以表示為一個關于t的一元二次方程，即3at^2-2vt+s=0。當判別式Δ=2v^2-4×3a×s<0時，t無實數解，即兩車不會相撞。根據題目中的數據，可以得到甲車的初速度v=2m/s，離甲車停止運動的時間t'=2s，停止時離車站A的距離x甲=12.5m。因此，乙車需要在5s內走完這段路程才能追上甲車。解法二：圖像法兩車同時從車站A出發，且乙車速度大于甲車速度，因此乙車會追上甲車。乙車追上甲車的條件是它們在離開車站A后行駛的距離相等，也就是圖線和時間軸所圍成的面積相等。加速度可以用直線的斜率表示。從速度圖象中可以得到甲車和乙車的加速度分別為a1和a2。因此，乙車出發后經過5秒追上甲車。在這個問題中，轎車司機發現目標后需要反應一段時間才能開始剎車。假設轎車的最大速度為v，反應時間為t，加速度為a。在反應時間內，轎車行駛的距離為s1=vt。在剎車后至停下來的過程中，轎車行駛的距離為s2=v^2/2a。為了保證行駛安全，轎車行駛的總距離必須小于等于37米。代入數值可得，v≤20m/s=72km/h。當兩個小球相遇時，小球1下落的高度h1與小球2上升的高度h2的算術和等于一個常量H。小球1的高度可以表示為h1=g*t1^2/2，小球2的高度可以表示為h2=v*t2-g*t2^2/2。假設小球2的速度