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文檔簡介

中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第1章函數(shù)與極限高等數(shù)學(xué)A1.6無窮小與無窮大1.6.1無窮小1.6.2無窮大1.6.3無窮小與無窮大的運(yùn)算1.6.4無窮小的比較1.6無窮小與無窮大

1.6.3無窮小與無窮大的運(yùn)算1.6.1無窮小無窮小與無窮大有限個無窮小的代數(shù)運(yùn)算

有界函數(shù)與無窮小的乘積有限個無窮小的乘積無窮大的簡單運(yùn)算無窮小的定義無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮大的定義無窮大與無窮小的關(guān)系習(xí)例1-121.6.2無窮大

1.6.4無窮小的比較無窮小階的定義等價無窮小及性質(zhì)定義1注意:(1)無窮小并不是一個很小的數(shù).(2)數(shù)“0”是無窮小量.(3)無窮小是一類特殊函數(shù),是在某一變化過程中極限為0的函數(shù),并且在一個過程中為無窮小的量在另一過程中可能不是無窮小量.1.無窮小的定義一、無窮小

定理1證明:

充分性:2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系僅證明的情況.必要性:定義2注意:(1)無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆.(3)無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.如：1.無窮大的定義二、無窮大

2.無窮大與無窮小的關(guān)系

定理2證明:

在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小.反之，如果為無窮小，且，則為無窮大.所以，即為當(dāng)時的無窮小.反之，如果為無窮小，且.對于，，當(dāng)時，有即所以,即為當(dāng)時的無窮大.定理2也可以敘述為：定理3(1)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.證明:三、無窮小與無窮大的運(yùn)算

注意:無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理4有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證明:推論1.在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3.有限個無窮小的乘積也是無窮小.證明:

定理5

對于自變量相同變化趨勢下的無窮大有如下性質(zhì):注意：兩個無窮大的和與差不一定是無窮大；無窮大與有界函數(shù)的乘積也不一定是無窮大

.（1）有限個無窮大的乘積是無窮大;（2）無窮大與有界量之和是無窮大.例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限四、無窮小的比較

1.無窮小階的定義

定義3定理6證明：2.等價無窮小的性質(zhì)定理7等價無窮小替換定理證明:

證明:

注意:(1)任何無窮小與其本身是等價無窮小.(2)等價無窮小代換只適用于乘積中;

對于代數(shù)和或復(fù)合函數(shù)中各無窮小不能分別替換.(3)熟記一些常用的等價無窮小因?yàn)樗杂校何濉o

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