三角函數的概念第五章5.2.1三角函數的概念學習目標三角函數（正弦、余弦、正切）的定義.2.會利用相似關系，由角α終邊上任意一點的坐標得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函數的定義.3.能根據定義理解正弦、余弦和正切函數在各個象限及坐標軸上的符號，會求一些特殊角的三角函數值.公式一，并會用公式一進行三角函數式的化簡或恒等式的證明.核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模新知學習教材引入&任意角的三角函數定義

【定義】根據研究函數的經驗，我們選擇在坐標系上研究這個

問題.如圖，以單位圓的圓心為原點，以射線OA為

軸的非負半軸，建立直角坐標系.則A(1，0)，P

射線OA從軸非負半軸開始，繞點O按逆時針方向

旋轉角α，終止位置為OP.

【探究】當時，點P的坐標是什么？當或時，點P的坐標又是什么？給

定一個角α，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標是唯一確定的嗎？

教材引入&任意角的三角函數定義【分析】利用勾股定理可以發現，當時，點P的坐標是；當或

時，點P的坐標分別是和，它們都是唯一確定的(如圖).

【結論】一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標，無

論是橫坐標還是縱坐標，都是唯一確定的.所以，點P的橫坐標和

縱坐標都是角α的函數.

教材引入&任意角的三角函數定義【定義】設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P

（1）把點P的縱坐標叫做α的正弦函數，記作sinα，即=sinα（2）把點P的橫坐標叫做α的余弦函數，記作cosα，即=cosα（3）把點P的縱坐標和橫坐標的比值叫做α的正切，記作tanα，即

=tanα().

可以看出，當時，α的終邊始終在y軸上，這時，即此時tanα無意義.除此之外，正切tanα與實數α是一一對應的，所以它們之間也是函數關系，我們稱為正切函數.

=tanα()我們把正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數.教材引入&任意角的三角函數定義【總結】三角函數可以看成是以實數α(α為弧度)為自變量，以

單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數.（1）正弦函數：（2）余弦函數：（3）正切函數：

角實數(角的弧度)三角函數值【注意】（1）在任意角的三角函數定義中，α是一個使函數有意義的實數（2）是自變量，離開自變量的sin,con,tan是沒有意義的（3）三角函數是比值，是一個實數，這個實數的大小和點P在終邊上的

位置無關，終邊確定了，三角函數就確定了.

【1】求的正弦、余弦和正切值.【解】在坐標系中作出∠AOB=，易知∠AOB的

終邊與單位圓的交點坐標為，所以

即時鞏固常見角的三角函數值

無

牢記常見的三角函數值，做題事半功倍！三角函數的定義域和函數值的符號

【1】求證：角θ為第三象限角的充要條件為【證明】首先證明充分性，即如果①②都成立，那么θ為第三象限角.

因為sinθ＜0成立，所以θ角的終邊位于第三或者第四象限，也可能和Y軸的負半軸重合；又因為cosθ＞0成立，所以θ角的終邊位于第一或者第三象限，綜合可知Θ為第三象限角.再證明必要性，因為θ是第三象限角，根據定義有sinθ＜0，cosθ＞0，所以必要性成立，即充要性成立.即時鞏固誘導公式一由三角函數的定義，我們知道：終邊相同的角的對應三角函數相同.

公式一：其中k∈Z【問題】公式一說明了角和三角函數值的什么關系？給我們什么啟發？【答】公式一說明了角和三角函數值的對應關系是多角對一值的關系：

即給定一個角，它的三角函數值只要存在，就是唯一的；

反過來，給定一個三角函數值，卻有無數個角與之對因.【啟發】做題時，把角同化為(0~2π)即(0°~360°)終邊相同的角，簡化計算.【1】已知角α、β的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊關于

軸對稱，

若角α的終邊上有一點的坐標為，則tanβ的值是多少？【解】易知sinα=，cosα=.

因為角α和角β的終邊關于y軸對稱，則它們的正弦值相等，即sinα=sinβ同時角α和角β的余弦值相反，即cosβ=-cosα

βα

所以sinβ=，cosβ=，所以tanβ=

即時鞏固【2】填表.

即時鞏固【3】選擇適當的條件填空①sinθ＞0②sinθ＜0③cosθ＞0④cosθ＜0⑤tanθ＞0⑥tanθ＜0(1)角θ為第一象限角的充要條件是_________________________________(2)角θ為第一象限角的充要條件是_________________________________(3)角θ為第一象限角的充要條件是_________________________________(4)角θ為第一象限角的充要條件是_________________________________①③或①⑤或③⑤或①③⑤①④或①⑥或④⑥或①④⑥②④或②⑤或④⑤或②④⑤②③或②⑥或③⑥或②③⑥即時鞏固隨堂小測√3.(2021·寧波期末)若角α的終邊經過點P(－1，－1)，則A.tanα＝1 B.sinα＝－1√4.若α是第二象限角，則點P(sinα，cosα)在

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴點P在第四象限，故選D.5.已知角α的終邊上有一點P(24k,7k)，k≠0，求sinα，cosα，tanα的值.解

①當k>0時，令x＝24k，y＝7k，②當k<0時，令x＝24k，y＝7k，則有r＝－25