第3課時二倍角的正弦、余弦、正切公式第五章2021內容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡1.能通過兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理)2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的結構形式,并能利用公式進行簡單的化簡、求值.(數學運算)課前篇自主預習[激趣誘思]大雁是人們熟知的鳥類之一,在遷徙時總是幾十只、數百只,甚至上千只匯集在一起,互相緊接著列隊而飛,古人稱之為“雁陣”.“雁陣”由有經驗的“頭雁”帶領,加速飛行時,隊伍排成“人”字形,一旦減速,隊伍又由“人”字形換成“一”字形.當飛在前面的“頭雁”的翅膀在空中劃過時,翅膀尖上就會產生一股微弱的上升氣流,排在它后面的就可以依次利用這股氣流,從而節省了體力.研究表明,大雁排成的“人”字隊形的每邊與前進方向的夾角約為55°,那么“人”字隊形的夾角就是這個角的兩倍,大約為110°.問題:這兩個角的三角函數之間有什么關系?[知識點撥]知識點:二倍角的正弦、余弦、正切公式

名師點析

1.二倍角的“廣義理解”:二倍角是相對的,如4α是2α的二倍,α是

的二倍等.“倍”是描述兩個數量之間的關系的,這里蘊含著換元思想.2.對于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α時,要保證分母1-tan2α≠0且tan

α有意義,故不能用二倍角公式求tan

2α,此時可以利用誘導公式直接求tan

2α.3.一般情況下,sin

2α≠2sin

α,cos

2α≠2cos

α,tan

2α≠2tan

α.4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我們要熟悉這組公式的逆用,如sin

3αcos

3α=sin

6α.微練習1微練習2微練習3微拓展二倍角公式的變換(1)因式分解變換.cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)·(cosα-sinα).(2)配方變換.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升冪縮角變換.1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降冪擴角變換.課堂篇探究學習探究一利用二倍角公式解決給角求值問題例1求下列各式的值:反思感悟

對于給角求值問題,一般有兩類:(1)直接正用或逆用二倍角公式,結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知角進行轉化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.變式訓練1求下列各式的值:探究二利用二倍角公式解決條件求值問題反思感悟

解決條件求值問題的方法給值求值問題,注意尋找已知式與未知式之間的聯系,有兩個觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡,使關系明朗化;(2)尋找角之間的關系,看是否適合相關公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關系.答案

A探究三利用二倍角公式解決化簡與證明問題反思感悟

1.對于三角函數式的化簡,要注意以下兩點:(1)三角函數式的化簡有四個方向,即分別從“角”“函數名”“冪”“形”著手分析,消除差異.(2)三角函數式的化簡,主要有以下幾類:①對三角的和式,基本思路是降冪、消項和逆用公式;②對三角的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式,最終變成整式或數值;③對二次根式,則需要運用倍角公式的變形形式.在具體過程中體現的則是化歸的思想,是一個“化異為同”的過程,涉及切弦互化,即“函數名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復角”“復角化復角”等具體手段.2.對于無條件的恒等式證明,常采用的方法有化繁為簡和左右歸一,關鍵是分析等式兩邊三角函數式的特點、角度和函數關系,找出差異,尋找突破口;有條件的等式證明,常先觀察條件及式中左右兩邊三角函數式的區別與聯系,靈活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升冪公式”,其變形是“降冪公式”,在證明中應靈活選擇.

素養形成兩組拓展公式及應用1.三倍角公式(1)sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α.(2)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos