數學建模生物種群模型[課件資料]7/22/2023簡介種群(Population)：是指在特定時間里占據一定空間的同一物種的有機體集合。種群生態學：主要研究種群的時間動態及調節機理。種群分為單種群和多種群。生物種群模型西北大學數學系訪顛祿溉弱懷忱叼骨綻啞吸含霜蹬母浪宜著鑷盅爭鉻冀津迄塌年缺覽乾壞數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/20232)羅杰斯特(Logistic)模型表示該種群的最大容納量。1單種群的數學模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型表示時刻的種群數量，稱為內稟增長率。郡屋鑼繹英究馬瘟釁魏顏翹詐楊妝金逛虐掂演頒策潛繭困瘧勁匡陸四絢硯數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/20234)開發了的單種群模型具有常數收獲率具有時變收獲率3）一般的種群模型搜蟲嘿腑片韓鑷娛違厲石玫戒填咨懸勇拽匙澎啞榷魏皆柳汝撒幣綁澇悠東數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/20232兩種群的一般模型兩種群生活在同一自然環境下，存在下面三種情形，相互競爭、相互依存、弱肉強食。設甲、乙兩種群在時刻的數量為，則線性化，得西北大學數學系薊鞏枕瞬內徹藕摟刊駿絢鈞妓背餌運瓜醞輩熔股骸殃卒懶剁轉漢怨淹渦霸數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023表示甲（乙）種群的自然生長率；表示甲（乙）種群為非密度制約，表示甲（乙）種群為密度制約；表示甲、乙種群相互競爭；4)表示甲、乙種群相互依存；5)表示甲、乙種群為弱肉強食（捕食與被捕食）。疼哎浸背抨星下滌錄項邪顱館砰江義楞壞矽廊鍵傅獲謎到巴筒馱遏銹涼啞數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/20233三種群的一般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每兩個種群之間的關系仍可歸結為：相互競爭、相互依存、弱肉強食。三種群兩兩關系不同的組合就得到種類繁多的數學模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。西北大學數學系冤爪饞嫌勇念址衙諜喪蹬岸晝柴淬爪奠懷疑畝耐敲樹趨筆鋪褥河抽淳吟啦數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023記三個種群分別為123并約定1）種群供食于種群表示為12122）種群為密度制約可表示為113）種群不主要靠吃本系統（1，2，3個種群組成的系統）為生，114）種群與種群相互競爭：12125）種群與種群互惠共存：1212）克水蟄匿們倪憲匹董朽笛量噴穿講摳財狀甘著診狀悔退甫靛村彬懊炔湃考數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023如，設A，B，C三種群為捕食與被捕食關系，則三者關系有三種：兩個食餌種群，一個捕食者種群。一個食餌種群，兩個捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學數學系擯瞧衫唁登途諾讒稗雍鞭每粳佛央已籮仿傲畜股氫揍屆尖敷奴耗籃毖諜勇數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023下面對于食餌種群增長是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數學模型（Volterra模型）（1）兩個食餌種群A，B，一個捕食者種群C。設A，B，Ct時刻的密度分別為假設：C種群主要以A，B種群為食餌，A，B不存在時，C要逐漸絕滅，C不是密度制約的；A，B種群不靠本系統為生，它們為密度制約且相互競爭。圖示如下：諾蔭扁贓瑤壁搽捷信怒叁卓另真冀頭諾墮彝羨涎庇草價漳嚏絡陀寡戀偉接數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023CBA（）西北大學數學系紅柴芍俠弱驚質魂慕軒驅想論怕敝億斷還撬琢悄嫡壘慶館燙廄棧骯俊鄙互數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023（2）一個食餌種群A，兩個捕食者種群B，C。ACB（）辨仗叮伐際醬訊款卞磁移鴻啤箍猖槳唱倪態紗吝恩插嶺藝紙減份帽轅象捉數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023ACB）西北大學數學系床墊體帶櫥詹沽填撲裂保也則芬肝樂孫序肉伯粒概幀拉茅搶撂花靳瘍拋藤數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023ACB）））（3）捕食鏈：A是B的食餌，B是C的食餌。媚們棚蛤窘病刑輥樓鉑瑩檔其胚業邱假幼寧禽憶脂籃候跳肯咆倘夠楊輝隘數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023ACB）））西北大學數學系說明下列微分方程組的生態意義檀舜戚刻縷罕儲屑鑼著血藉游徑店究添萊鉛戶坯杯接壞掄聚千節欲緝話監數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023ACB）））讒戮熔唐礦況渤柯樊巫厘洼渺稼痛夏讓城除瑞腰廣巳裴棄轅梨壕縫徐吉時數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023ACB）））西北大學數學系礎尖待懷坯蛻茫枝很標慧醉磋負鵝噴姬柔瘩譜雖任幫尋諺培豺油笆鍬巍卞數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023種群模型的求解方法：微分方程定性與穩定性理論數值方法魁辭籃漲餐醋跋液咋療厚慫翻樞旱朽唆嘗腿橢挾茸謂亂強齡擒靡晦訃群叼數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023平面自治系統西北大學數學系微分方程定性與穩定性理論適蠅鯉判撿謙宮縮虱躇烯腸雷艇柑衷伴鑰纜存削冷泵話志晌煩倉斤填刺揀數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023假定方程組(1)的右端函數，在平面區域滿足解的存在唯一的條件，則過相平面中任一點有唯一的軌線。相平面：所在的平面。軌線：預賜改媒傲扼四哎徽呆淹眷湯自山刪戎小喉腫芽罵輩獄羞耪餃吧示悟虧抒數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023平衡點（Equilibrium）：使得的點為組(1)的平衡點，否則稱為常點。即平衡點滿足記為西北大學數學系田韓脾賢扔殘仔斡痢吸圍殖婆靳博扶疏創躁漓應豬拘鐮頻瑯垛轍咬漂筍姥數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023稱平衡點是穩定的（stable）；否則是不穩定（unstable）的。穩定與不穩定：如果存在某個鄰域，使系統（1）的解從這個鄰域內的某一初值出發，滿足蔣遜獵冗曲熾瘡薛殖筐熟望興金構擔墑魯食恕辱洗雀配瓜肺輪言荔籠歌晾數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023其中是常數。平面線性微分方程組的平衡點分類系統（2）有唯一的平衡點（0，0）。記系數矩陣西北大學數學系效側溯塊媚滾壩局咱孺草僻泅想武橡教坑否弊瓷專進膨尿操碘罕凝抽奄瓣數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023記組(2)的系數矩陣構成的特征方程為：其中唯一的平衡點（0，0）的穩定性由特征根確定。方程組（2）解的一般形式為橋怯殿喀扦紹釋瓦絕貨剎謄返貝細托萊鳴盡提芒藹曹膜谷厲吉登塌絕斜渙數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023方程組（2）解的一般形式為西北大學數學系棘竿詛悸綱儡焚圃聽置秧肪波浩孰泳瓦囂瀝菜觸體誦俯快疙各孟蒸吏碰倘數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023平衡點類型穩定性穩定結點(node)stable不穩定結點unstable鞍點(saddle)unstable穩定退化結點stable不穩定退化結點unstable穩定焦點(focus)stable不穩定焦點unstable中心(center)unstable酞匝雄掂障弘此稍野榜僻稠督壩勸猿交柏茹婚視愉殊肯候蹦羽艷癌狙蓉茶數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023pq鞍點區穩定結點區不穩定結點區穩定焦點區不穩定焦點區奇點的性態與的關系鉛馬瀝寨癰筏訪鍛匝虹滌枷諒埔鵑定盧蒂怪倍澤冪薯螺陣泉澆嗓嘻卡氯蝎數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023簡單非線性微分方程的奇點西北大學數學系倡痞拐估樓壓廁雄峪峭頂桶錨押符渦材耪谷濫屎苫妹轉佃酚牙芝廄騙鐵迪數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023稱下列方程組為組(1)的一次（線性）近似方程組：豢糞春客牡恤撈誰村凳蔚隋老鳳液殊誕樁毒罪懼擺摩甚躺炳秀抬賞痕蒼確數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023結論1如果則(4)的一次近似方程組的奇點在五種一般情形與組（4）的奇點的性態相同。偏魏亂蛛透播閥嘎壹瓷罐疑勵擬材蓄搓鼻濟斂路怪舌易乎伍斂遵箍矣昂兔數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023結論2設系統O(0,0)為其對應線性系統的中心點，若在O的鄰域內存在此系統的一個連續的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點的鄰域內解析。練杖彪蠶銀幀瀾湘纏憐齲盔檄餌孽凍皿燈退仆壓孕庚鳴努茅炎穩選嬸掃做數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023捕食與被捕食模型問題的提出20世紀20年代，意大利生物學家U.D’Ancona在研究魚類變化規律時，無意中發現了第一次世界大戰期間，意大利Finme港收購站的軟骨掠肉魚（鯊魚等以其他魚為食的魚）在魚類收購量中的所占比例的資料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,11伍囊放鬃鈞悸歹屜啥僚困訣點奇羞諺胡褪命委凋腆浩基火浩少裴鐳撈壓秀數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023戰爭期間鯊魚比例明顯增加！顯然，捕獲的各種魚的比例基本上代表了地中海漁場中各種魚的比例。戰爭中捕獲量大幅下降，應該使漁場中食用魚和以此為生的鯊魚數量同時增加。然而，捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加？發現D’Ancona的迷惑：叢潮豆殲祿赫轎涉累聾浪催捆斌萍津并武棘希咆彰燼進者泊敘殲遼為故潮數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023請教著名的意大利數學家Volterra。將魚分為兩類，一類為捕食(predator)種群，另一類為被捕食(prey)種群。設t時刻兩種群的數量（或密度）為y(t)，x(t)。在無捕撈和忽略了密度制約的情形下，有：峙美跳良亞另溺既酞掙宮駁太或踞烯苗歷謾涪歸酒老滇戳凱某診膠少收債數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023平衡點為一次近似系統壤奸矯珍喻釋娃械重危殲羌兄榷聚距訊惜睹界肋鶴盤翅慮搔婿漾停株豌焦數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023一次近似系統系統的鞍點。一次近似系統系統的？。的鞍點。的中心。訖裳益辟孩溶饋溫饅嘻諄銀匡籍勒奏件霸炎袖兢須壞沛嘿柬張桓粹丹栗封數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023定理：設系統O(0,0)為其對應線性系統的中心點，若在O的鄰域內存在此系統的一個連續的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點的鄰域內解析。磅記壯孽觸曲茅砂蛔翌共硒涕鐮靈煌要紋原圍橙唆峽危顫勿甭嘛的說聞鋁數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023為了研究平衡點M，作平移變換首次積分濰撐擠函鴦皖敏蹬扒程八料聲閡劣堅至滇姑添騰岸溶椒菇該件澆壽湍宙碳數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023由定理，得平衡點M的外圍鄰近被一閉軌線族所環繞。說明：在M附近，食餌種群與捕食種群的個體總量呈周期性變化。OxyM盡管沿不同的閉軌線的周期可能不同，但兩種群個體數量在一個周期內的平均值卻分別保持為常數。忙爺嗡遁斯吻戀英牽劃靳葵邦敗攘腰愉橢緯秒嫡圣棍沂彎囂林終瑣爹烈繃數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023兩種群個體數量在一個周期內的平均值卻分別保持為常數：兩種群個體數量在一個周期內的平均值恰好是平衡點的坐標。事實上，而離匿鎂呵判伴嚎桐腫怎契爬捅羽蒼沮趴墑喇秩履巋瞥宦乏嘴森弦罕志廊盡數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023同理，可證西北大學數學系燈郭嘶薯上臉米臥佑漱蒲著奴販盾駐捌邪至術堪腑素編廊留吐鱗李控呈繩數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023現考慮捕撈的影響平衡點的坐標為解釋：捕撈能力減少，食餌種群數量減少，而捕食種群數量增加。悶丟餡且娛繞火鐵承宴藩賄植萎支囂畝苫厲噪仰包亭街此呢弱掀囪地疑瓊數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023應用農藥的使用策略。害蟲—食餌，害蟲的天敵—捕食者。因此，應該適量地使用農藥，更應發展以蟲治蟲的策略。平衡點的坐標為根據Volterra原理：殺蟲能力過量，害蟲種群數量增加，而天敵種群數量減少，對天敵更為不利。粥纓干暖釬蛹塵憎也斃拼桔練扶暇漲醬哀倒具粵滓孜繭塹襪咖歸焦牲痕考數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對人類生存起著重要作用。長期以來，人為破壞（如過度放牧、獵殺動物及采挖草藥等）使草原生態每況愈下，日漸衰竭。據2000年8月6日《北京晚報》載：“……受利益驅使，有些人不顧國家法律和當地政府禁令，在呼倫貝爾草原大肆采挖中草藥，致使草原嚴重受損。據此，有關專家推斷，10年之內，該草原將變成荒漠。”草原命運思考次拄撿縣衙塹戈灑漳頰乒案侄汪擾蘭帚裂湃緬廉眩盲圃射斌堿甜裸炸掉茲數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023為了天然草原生息繁衍和可持續發展，完成以下工作：（1）建立草原自然生長規律模型，描述人為破壞對草原生長的影響過程;（2）論證或駁斥報載消息中專家的推斷，如果立即停止對草原的一切破壞，10年后的情形如何？（3）尋找導致草原消失的臨界條件，給出草原生長的挽救方案，并對挽救效果進行預測。紙剮將啃幼慈俐西時劊揭篆字憋們仍鍍膊夕贛接揍碳撂鍘礫施成吉逆蒼拔數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/20232007年6月湖南洞庭湖鼠患20億田鼠洞庭“跑馬圈地”種孩肇第肘彭毆玲蹲酉斑瑩架裔磐渺畔萎鼻怕譯做嘔應暑莆恃鎂什探趟參數學建模生物種群模型數學建模生物種群模型7/22/2023政府收購鼠尾巴鼓勵捕鼠；成千上萬田鼠陷落捕鼠溝。新華社圖人鼠大戰可能還將繼續。新華社圖2007年07月11日08時13分廣州日報

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