§5子空間的交與和直和服從真理，就能征服一切事物§5子空間的交與和直和§5子空間的交與和直和服從真理，就能征服一切事物§5子空間的交與和直和主要內容子空間的定義子空間的交與和6子空間的直和⊙團B目錄下頁返回結束子空間的定義定義7數域P上線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間)如果W對于V中所定義的加法和數量乘法兩種運算也構成數域P上的線性空間一、材料力學課程的基本概況《材料力學》是力學課程中的重要組成部分，也是農業院校工科專業中一門必不可少的專業基礎課，學好這門課程對工科類各專業的學生來說具有重要的意義[1-4]。目前，我國農業高等院校中的工科專業，都開設《材料力學》課程，并且作為一門必修課課程。近些年以來，隨著國家對高等教育的改革與發展的深入，高等教育課程設置和學時分配都發生了很大的變化，《材料力學》課程也在其中。制度和學時的改變，這就要求教師在教學過程中要不斷地探索新的教學方法，及時總結教學經驗，既能適應教學改革的需要，又能保質保量地完成教學任務。二、材料力學教學中存在的問題目前，材料力學教學中存在一些問題，具體表現在以下三個方面：（一）學時減少近些年來，隨著我國高校教學體制和教學模式的改革，教學學時發生了大幅度地壓縮。據調查，我國農業院校工科專業的《材料力學》學時逐漸被壓縮、減少：在上個世紀八十年代，材料力學教學學時一般均在90學時或100學時以上；到上個世紀九十年代，材料力學教學學時為70多學時或80多學時左右；到二十一世紀以后，材料力學學時基本在60學時左右，如果扣除實驗課所占學時，實際教學學時只有50多學時，與此相對應的教學內容變化卻不大，因此課堂教學的形勢十分嚴峻。（二）教學方法落后傳統的教學方法強調老師在教學中的決定作用，最本質的特點是以灌輸為主，貫穿到整個教學環節，每次課程都是老師講，學生聽，完全是“填鴨式”的教育形式。在整個的教學過程中，學生沒有多少選擇和發揮的余地，學生總是處于被動的地位，限制了學生的主動性，難于發揮學生的積極作用，也不利于學生能力的發展。（三）教材陳舊，內容繁雜在教學過程中，經常有學生反映材料力學內容復雜，難點較多，理論內容抽象且難以理解，找不到學習的要領和重點，材料力學的公式推導過程比較繁瑣，內容較難掌握，容易產生畏懼心理，從而失去信心。這些問題如果解決不好，必將會影響到教與學的效果。三、教學方法的改進如何在較少的學時中，把材料力學課程的精華傳授給學生，使學生能夠充分理解和掌握，并有一定的自學能力，就達到了教學的理想效果。經過近些年的教學實踐，針對材料力學課程的內容和特點進行了總結與歸納，在教學方法上進行了研究，探索出了主線式教學、工程實例教學和互動式教學模式，經過對幾屆學生的實踐，教學效果良好。（一）主線式教學1.基本變形的主線《材料力學》中的四個基本變形：軸向拉伸與壓縮、扭轉、剪切和彎曲，在這四個基本變形中都存在這樣一條主線：變形―外力―內力―應力―強度―變形―剛度。2.基本變形的特點對于基本變形，首先要掌握其受力特點，根據受力特點來判斷構件發生何種變形，這對以后學習組合變形尤為重要。如：軸向拉壓的受力特點是所有外力（或合力）都與構件的軸線相重合，而扭轉的受力特點所有外力都與構件的軸線異面垂直，關鍵掌握是重合與垂直；軸向拉壓的變形特點是任意兩個平面沿軸線發生了相對平移，而扭轉的變形特點任意兩個平面垂直于軸線發生了相對轉動，關鍵掌握是平移與轉動。3.基本變形的內力內力是基本變形最為重要的內容，具有承上啟下的作用：桿件所受到的外力可以利用理論力學的知識來求解，接下來的內力就是材料力學的主要內容了，內力會求解了，那么后面的應力和變形也就好解決了。內力所涉及的主要內容如表1所示。4.應力和變形將應力和變形的公式一一列出以后，如表2，就會發現有很多的相同或相似之處。應力公式和強度條件中，分子都是內力，分母都是與截面幾何性質有關的物理量。強度條件和剛度條件都是所求的最大值小于等于許用值。5.小結以上歸納了主線中的主要內容，其實還有很多的內容可以進行歸納總結，如：最大應力=最大內力/截面幾何性質的物理量，變形量=內力×桿件長度/剛度等等，只要認真總結，就會發現規律，便于學習和記憶。對于講授每個基本變形時，都可以用生活中身邊的實例來引導和啟發學生，如軸向拉伸與壓縮、扭轉、剪切和彎曲分別為拔河、開車方向盤下的軸、剪刀和教學樓內的橫梁，從生活中的實例再抽象到材料力學中的模型，便于學生理解和掌握。（二）實例教學法在《材料力學》教學中，有許多與之有關的趣話和事例。在講完基本理論后，適時聯系這些生動貼切的生活和工程實例，可以激發學生對所學基本理論的學習興趣，提高學習效果。以下簡要列舉四個教材中沒有提到的生活和工程實例。實例1體檢時抽血化驗，雖然只有5ml血液，但能夠代表全身血液的性狀（均勻性假設）。實例2劈柴時，順紋劈易斷，橫紋劈不易斷（各向異性）。實例3現在許多食品都用塑料袋包裝，在這些塑料袋的封口做成鋸齒狀，或在其邊上會有一個很小的三角形缺口，在缺口和鋸齒狀處撕塑料袋時，由于應力集中產生很大的應力，因此稍一用力就可以把塑料袋撕開。否則要打開塑料袋，則多半要借助于剪刀了（應力集中）。實例4世界上著名“泰坦尼克”海難，最近，美國的一個專家小組又有了新的發現：在船殼受到冰山擠壓時，殼體鋼板間的鉚釘承受了極大的剪切應力，船上鉚釘的材料力學性能試驗數據是在室溫下做的，而這些鉚釘由于內在質量的原因，它在零度以下的破壞應力要遠低于室溫下的破壞應力.因此，鉚釘承受的高剪切應力造成船體裂縫，最后沉入大西洋底（剪切和擠壓）。（三）互動式教學在教學中，對于每一個基本變形都涉及了大量的內力計算和內力圖繪制，可以采用互動式教學。在課上，可以在黑板上出一些典型的習題，讓學生來黑板上做題，做完后再讓其他同學考慮是否正確，如有錯誤指出錯在哪里，加深學生的記憶和理解，最后由老師點評，指出同學容易出錯的共性問題，這樣會使學生受益匪淺。課上授課的結束并不意味著互動教學的結束，課后的教學安排是對上一次課的總結和延續，也是對下一次課的提高與發展。通過作業進行互動是最常用的方式，利用網絡可以設立公共信箱，是進行知識、經驗和精神交流的重要陣地。因此留給學生自己的聯系電話、電子信箱、QQ號，便于課后交流，進一步加深彼此的了解，既促進知識的理解，又加強師生感情的交流，讓學習變成輕松愉快的事。四、結束語《材料力學》是一門邏輯性較強的課課程，需要學生理解的知識很多。采用主線式教學、工程實例教學和互動式教學能收到事半功倍的效果。這些方法的運用可以在啟發學生聯想，提高創造、創新能力等方面效果?@著，可圓滿完成教學大綱的要求。筆者曾在轄區內的初中學校針對英語教師做過調研：如果課時時間不夠，你最先會舍去教材的哪一部分？90%以上的教師都回答他們會最先舍去口語練習部分。很明顯，在目前的教育環境下，由于大多數的考試都只采用筆試的方式，所以，教師根本不重視平時的口語教學。一、創設有趣的口語交際情境情境的創設是至關重要的，恰到好處的情境創設能讓學生身臨其境，激發他們用英語表達的沖動與欲望。首先，教師要克服不自信的因素，課堂上大膽地用英語組織教學，讓學生沉浸在英語課堂中。其次，利用周圍環境或道具創設情境。例如，在學習人教版七年級上冊“Howmucharethesesocks”時，教師讓每個學生準備兩件物品，貼上標簽，組內一人扮演營業員，其他同學扮演顧客，在模擬的情境中進行購物。在這一情境中，學生通過練習，學會了詢問物品的價格“Howmuchis/are…”的句型，而且還學會了一些生活中常見的商品名稱，讓學生感到用英語交流的趣味性。二、選擇恰當的口語教學內容在實際的英語教學中，教師都會把英語教科書作為教學內容的主要來源，這一點無可厚非。但我們應該看到，教科書并不是無所不包，完美無缺的。在實際的英語口語教學過程中，教師除了以教科書為主要的教學內容外，還應該結合學生的實際情況，靈活選擇口語教學內容，讓英語的教學更豐富、更多樣、更符合學生的實際。例如，在學習人教版八年級上冊“Howdoyoumakeabananamilkshake”時，筆者曾建議教師大膽放棄教材內容，選擇了另外一個話題：Howdoyoumakeapaperfootball？原因是農村的學生根本不知道奶昔是什么，用什么做成的，更沒有條件現場做奶昔。改變教材內容后，教師先播放一段學生在課桌上玩紙足球的視頻，詢問學生紙足球是什么做的，是否知道怎么做紙足球。然后教師一步一步地教學生做紙足球，一邊說步驟，一邊示范動作，學生也一邊說步驟，一邊動手做紙足球。在確保學生能說出做紙足球的步驟后，教師又設計了更多貼近學生生活的話題來進一步練習，比如：Howdoyoucutawatermelon？Howdoyourideabike？Howdoyoucleantheblackboard？對于這樣的話題，每個學生都有話可說，學生自然樂意交流。三、搭建合理的口語練習支架“支架（scaffold）”原指建筑行業使用的腳手架，是建筑樓房時施予的暫時性支持，當樓房建好后，這種支架就拆掉了。支架也可以用來形象地描述一種教學方式：學生被看做是一座建筑，學生的學是在不斷地、積極地建構自身的過程；而教師的教則是在搭建一個必要的腳手架，支持學生不斷地建構自己，不斷建造新的能力。教師可以依據學生的實際需要和能力，不斷地調整干預，通過教師的示范和適當的提示，降低任務難度，逐步幫助學生穿越最近發展區，達到一個新的高度。根據這一理論，筆者指導教師在教授人教版九年級“Iusedtobeafraidofdark”部分時，不要讓學生直接操練對話，而是通過搭建腳手架的方式，讓學生逐漸達到一個新高度。起初操練時給學生一個模板，如，A：Didyouusetobe…？B：Yes，Idid./No，Ididn’t.Iusedtobe…，運用這個模板操練過幾遍后，可以拆去部分支架，如：A：…useto…？B：Yes，Idid./No，Ididn’t.I…，學生繼續操練兩、三遍，之后，教師拆掉所有支架，在沒有任何提示的情況下繼續操練兩、三遍，最后幾乎所有學生都學會了用這個句型來詢問和回答?！?子空間的交與和直和主要內容子空間的定義子空間的交與和6子空間的直和⊙團B目錄下頁返回結束子空間的定義定義7數域P上線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間)如果W對于V中所定義的加法和數量乘法兩種運算也構成數域P上的線性空間二、非空子集構成子空間的條件設W是V的子集合.因為v是線性空間.所以對于原有的運算,W中的向量滿足線性空間定義中的八條規則中的規則1),2),5),6),7,8)是顯然的.為了使W自身構成一線性空間,主要的條件是要求W對于V中原來運算的封閉性,以及規則3)與4)成立即1.W對數量乘法運算封閉,即若a∈W,k∈P,則ka∈W2.W對加法運算封閉,即若a∈W,β∈W,則a+B∈W3.0∈W4.若a∈W,則-a∈W不難看出3,4兩個條件是多余的,它們已經包含在條件1中,作為k=0與-1這兩個特殊情形因此,我們得到定理2如果線性空間v的非空子集合W對于V的數量乘法和加法兩種運算是封閉的,那么W就是一個子空間即:設W是線性空間V的一個非空子集.如果1)(W對加法封閉)設a,B∈W,則a+B∈W;2)(W對數量乘積封閉)設a∈W,∈P,則ka∈W則W是V的一個子空間首頁上頁下頁返回結束4定理2可改寫成線性空間v的一個非空子集W作成V的子空間臺Va,B∈W,k,∈P,都有ka+lB∈W既然線性子空間本身也是一個線性空間,上面我們引入的概念,如維數、基、坐標等,當然也可以應用到線性子空間上因為在線性子空間中不可能比在整個空間中有更多數目的線性無關的向量所以,任何一個線性子空間的維數不能超過整個空間的維數例1在線性空間中,由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間,它叫做零子空間例2線性空間V本身也是V的一個子空間在線性空間中,零子空間和線性空間本身這兩個子空間有時候叫做平凡子空間,而其它的線性子空間叫做非平凡子空間例3在全體實函數組成的空間中,所有的實系數多項式組成一個子空間例4P[xl是線性空間Px1的子空間例5在線性空間P中,齊次線性方程組1-i+a,x,+∴+a,x.=0a,x,+anx、+…+ax=0ILax1+a,x2+…+axn=0的全部解向量組成一個子空間,這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間.解空間的基就是方程組的基礎解系,它的維數等于n-r,其中r為系數矩陣的秩例6數域P上全體m級對稱矩陣所成之集