第六章氣體動理論1概況一點擊此處輸入相關文本內容點擊此處輸入相關文本內容整體概述概況三點擊此處輸入相關文本內容點擊此處輸入相關文本內容概況二點擊此處輸入相關文本內容點擊此處輸入相關文本內容26－1物質的微觀模型統計規律性

物質結構的微觀模型：1、宏觀物體是由大量微觀粒子—分子（或原子）組成的，分子之間有空隙；2、分子在不停地作無規則的運動，其劇烈程度與溫度有關；3、分子之間存在相互作用力。這些觀點就是氣體動理論的基本出發點。統計物理學的任務就是從上述物質分子運動論的基本觀點出發，研究和說明宏觀物體的各種現象和性質。3一、分子的線度與間隙在標準狀態下，氣體分子間的距離約為分子直徑的10倍，于是每個分子所占有的體積約為分子本身的體積的1000倍。因而氣體分子可看成是大小可以忽略不計的質點。氣體分子的間距很大，因而很容易壓縮；液體和固體分子間也有空隙，如：50升水＋50升酒精＝97升溶液；在2萬個大氣壓下，液體也會從鋼管壁上滲出等等。二、分子熱運動分子熱運動的基本特征是分子的永恒運動和頻繁的相互碰撞。分子熱運動具有混亂性和無序性。分子無規則運動的劇烈程度與溫度有關。4三、分子力分子之間同時存在吸引力和排斥力。實驗證明當分子間距較大時，存在的引力很小，隨著間距的減小，引力逐漸加強，當r＝r0時，分子力為零，稱r0為平衡位置。r＜r0分子力表現在排斥力，r＞r0分子力表現在吸引力，當r＞10r0時，分子力可以忽略不計。分子間彼此趨近到分子的直徑d時，分子將在強大的斥力作用下被排斥開，類似小球間“彈性碰撞”過程。d的平均值稱為分子有效直徑，數量級約為10-10m。5四、統計規律統計規律，是指大量偶然事件整體所遵循的規律。雖然每個事件都是偶然、無規律的，但總體上卻存在著確定的規律性。伽爾頓板是說明統計規律的演示實驗。....................................................................................................................................單個小球下落時與哪些鐵釘碰撞，最后落入哪個狹槽完全是無法預測的偶然事件(隨機事件)。大量小球總體上的分布有確定的規律性:落入中央狹槽的小球較多，而落入兩端狹槽的小球較少。重復幾次同樣實驗，得到的結果都近似相同。6描述單個分子運動情況的物理量，稱為微觀量。例如分子的坐標、速度、動量、能量等，都是微觀量。由于大量氣體分子間頻繁的碰撞，許多微觀量都是隨機量，個別分子的運動規律是無法把握的。但在平衡態下用于描述系統整體性質的各宏觀物理量（P、T等）均有確定、穩定的值，這說明由大量分子所組成的系統要遵從確定的統計規律。本章將要研究的理想氣體的壓強公式和溫度公式、能量均分定律、麥克斯韋速率分布律等都是統計規律。從個別分子的力學規律入手，通過對大量分子求算術平均，建立微觀量的統計平均值與宏觀量的聯系，從而揭示出宏觀量的微觀實質，這種方法稱為統計方法。

76－2理想氣體的壓強公式溫度的微觀實質

一、理想氣體分子的微觀模型和統計假設1．理想氣體分子的微觀模型（1）由于氣體分子間距較大，分子的大小可以忽略不計，即可把分子視為質點。（2）氣體分子間的相互作用力很弱，可忽略不計。即認為除碰撞的瞬間外，分子之間以及分子與容器壁之間都沒有相互作用力。（3）分子之間以及分子與器壁之間的碰撞可視為完全彈性碰撞。82．統計假設（1）容器中各處的分子數密度相同。（2）分子沿任一方向的運動不比其他方向的運動占優勢，即分子向各個方向運動的幾率均等。在任一時刻，朝著直角坐標系的x、－x、y、－y、z和－z軸各個方向運動的分子數應相等，并且都等于總分子數的1/6。（3）分子速度在各個方向上的分量的各種統計平均值相等。如：9二、理想氣體壓強公式容器內的氣體施加在器壁上的壓強，從微觀看是大量氣體分子不斷與器壁碰撞的結果。每個分子每次碰撞都給器壁一微小的沖量，大量分子不斷碰撞，表現為一個恒定、均勻、持續的壓力。設貯有理想氣體的容器的容積為V，氣體分子的質量為m，分子總數為N，則單位體積內的分子數為n=N/V。為了便于討論，將分子分成若干個“等速組”，即每組內分子具有大小相等、方向相同的速度vi。將單位體積內速度分別為v1、v2…vi…的分子數表示為n1、n2

…ni…于是有

10如圖，在器壁上任取一小塊面積dS，設某一分子以速度vi與dS相碰，碰撞是完全彈性的，所以Y、Z兩個方向的速度分量viy變為－vix。所以，碰撞一次，分子的動量變化為分子施于面元dS的沖量為2mvix。在速度為vi的分子中，dt時間內能夠與dS相碰的分子只是位于以dS為底、vixdt為高、vi為軸的斜柱體內的那部分。分子數可表示為nivixdtdS。因此，速度為vi的“等速組”分子施于dS的總沖量為11對于所有可能的速度，全部分子施于dS的總沖量為式中限制了vix>0，這是因為vix<0的分子是不可能與dS相碰的。只要除以2即可去掉vix>0的限制。于是有壓強P為理想氣體壓強公式的簡易推導12引入氣體分子平均平動動能：則又有三、溫度的微觀本質1．溫度公式由理想氣體狀態方程得13比較上兩式可得它從微觀意義上給出了溫度的實質，即溫度表明了物體內部分子無規則熱運動的劇烈程度。

2．氣體分子的方均根速率由上式得14例1

一容器內貯有氣體,溫度是27C,(1)壓強為1.013105Pa時,在1m3中有多少個分子;(2)在高真空時壓強為1.3310-5Pa,在1m3中有多少個分子?解:按公式p=nkT,可知(1)(2)15解:例2

求氮氣分子的平均平動動能和方均根速率,設(1)在溫度t=1000C時,(2)在溫度t=0C時;(3)在溫度t=-150C.166-3氣體分子速率分布定律玻耳茲曼分布

一個分子在某一時刻的速度完全是隨機的，但是這并不是說氣體分子的運動速度就無規律可循。實驗表明，在一定條件下，大量分子的整體的速度分布服從統計規律。一、速率分布函數與平均速率氣體分子速率允許取值范圍為：0→∞，為討論分子速率分布，選一速率小區間vv+dv，此小區間內的分子數為dN，總分子數為N，則dN/N表示這一速率小區間內的分子數占總分子數的比率，也可認為是一個分子其速率正好處在上述速率小區間內的概率。17隨著速率小區間的不同，相應的比率dN/N是不同的。一方面它與速率v有關，可用函數f(v)表示；另一方面，它與區間的寬度dv成正比。于是有改寫成稱為氣體分子的速率分布函數。它表示速率v附近單位速率間隔內的分子數占總分子數的比率或者是一個分子其速率正好處在v附近單位速率間隔內的概率。18積分可以求出速率范圍在v1－v2內分子數占總分子數的比率為歸一化條件平均值19二、麥克斯韋速率分布早在1859年，英國物理學家麥克斯韋利用平衡態理想氣體分子在三個方向上作獨立運動的假設導出了麥克斯韋速率分布，其表達式如下：其中T是氣體的熱力學溫度，m是每個分子的質量，k為玻爾茲曼常量.20關于麥克斯韋分布說明幾點：（1）麥克斯韋分布適用于平衡態的氣體。（2）在平衡狀態下氣體分子密度n及氣體溫度都有確定數值，故其速率分布也是確定的，它僅是分子質量及氣體溫度的函數，其分布曲線隨分子質量或溫度的變化趨勢示于圖。同一溫度下不同氣體的速率分布N2分子在不同溫度下的速率分布21三、氣體分子的三種速率1．最概然速率與曲線最大值對應的速率vp稱為最概然速率。它表示一個分子速率取vp的概率最大。

從極值條件可得222．平均速率3．方均根速率因此有23以上三種速率都與熱力學溫度的平方根成正比與或成反比。在數值上，方均根速率最大，最概然速率最小。這三種速率在不同的問題中有不同的用途：在計算分子的平均平動動能時，用到方均根速率；在討論分子速率分布時，要用最概然速率；而在討論分子碰撞時，將用到平均速率。三種速率之比：24例3設想有N個氣體分子，其速率分布函數為試求:(1)常數A；(2)最可幾速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之間的分子數；(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子的平均速率。解：(1)氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件25(2)最可幾速率由決定，即平均速率方均速率方均根速率為26(3)速率介于0~v0/3之間的分子數為：(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子的平均速率為：速率介于0~v0/3之間的分子數占總分子數的百分比：27例4求0℃，1大氣壓下，1.0厘米3氮氣中速率在500米/秒到501米/秒之間的分子數。解：先求0C，1大氣壓下氧氣的分子數密度因所考慮的速率間隔v=1米/秒，可認為其很小，以致在這速率區間內的分子數可直接寫為28取v=500米/秒，得出29例5討論氣體分子的x分布，其中x=v/vp解：由于氣體分子速率v是隨機量，所以x也是隨機量，它的取值范圍也是0→∞。為討論氣體分子的x分布，設總分子數為N，在小區間xx+dx內的分子數為dN，相應的分子數比率dN/N，一方面它與x有關，可用函數f(x)表示，另一方面它與區間的寬度成dx正比。于是有:或其中函數就是要討論的氣體分子的x分布函數30它也滿足歸一化條件：任一與x有關的隨機函數一g(x)的平均值為：還可以認為：并由麥克斯韋速率分布式求出函數f(x)的表達式31四、玻耳茲曼分布律、粒子數隨高度的變化玻耳茲曼得出分子數密度隨勢能p的分布規律，稱為玻耳茲曼分布律：其中n是空間中某處單位體積內的分子個數，而n0是勢能p=0處單位體積內的分子個數。當粒子處于重力場中時，重力勢能代入上式得出粒子數密度隨高度而變化為32其中n0是地面處（Z＝0）的粒子數密度。下圖給出了粒子數密度n隨高度而變化的示意圖。33等溫大氣壓強公式在式兩邊同乘以kT，得:等溫大氣壓強公式高度公式346－4能量均分定理理想氣體的內能

一、自由度在物理學中，決定一個物體的位置所需要的獨立坐標數，稱為物體的自由度數。如，在三維空間中自由運動的質點，必須用X、Y、Z三個坐標來表示其位置，因而自由度為3；在水面上航行的小船，只需2個坐標就可表示其位置，自由度為2；沿鐵軌前進的火車的自由度僅為1。可把剛體的運動分解為質心的平動和繞通過質心的軸的轉動，這樣剛體的位置可決定如下:1、三個獨立坐標X、Y、Z決定質心的位置。352、兩個獨立坐標、,決定轉軸的方位；因為三個方位角、、中只有兩個是獨立的。3、一個獨立坐標決定剛體相對于某一起始位置轉過的角度。因此，自由運動的剛體共有六個自由度:三個平動的，三個轉動的。如果剛體的運動受到某種限制，其自由度數就會減少。比如，繞定軸轉動的剛體只有一個自由度。36分子運動的自由度單原子分子:3個平動自由度雙原子分子(剛性):3個平動，2個轉動自由度（非剛性）：3個平動，2個轉動，1個振動自由度多原子分子（剛性）:3個平動，3個轉動自由度(非剛性)：3個平動，3個轉動，3N-6個振動自由度37CO2氣體分子的自由度CO2氣體分子是線型對稱分子O－C－O。它共有3×3=9個自由度.其中3個平動自由度;線型分子也只有2個轉動自由度,余下4個只能是振動自由度。二、能量按自由度均分定理由前知一個分子的平均平動動能為而平衡態下38因而分子的每一個平動自由度的平均動能都為按照統計力學的基本原理，可將上述結論推廣到分子的轉動和振動，因為無論是平動、轉動還是振動，都沒有哪一個自由度是特別優越的，或者說跟任何一個自由度相對應的運動出現的機會都是均等的。可由此推出一個普遍的定理——能量按自由度均分定理:在溫度為T的平衡態下，氣體分子的每一個自由度都具有相同的平均動能，其大小都等于

39如果某種物質分子有t個平動自由度、r個轉動自由度、s個振動自由度，則分子的平均總動能為由振動學知道，簡諧振動在一個周期內的平均動能和平均勢能相等。分子內原子的微振動可近似看成是簡諧振動，所以對于每一個振動自由度，分子還具有kT/2的平均勢能。因此分子的平均總能量為40三、理想氣體的內能理想氣體，因不考慮分子間的相互作用，其內能只是所有分子的各種形式的動能和分子內部原子間的振動勢能的總和。所以1摩爾理想氣體的內能為對于摩爾質量為M的m千克理想氣體，其內能則為

41由此看出，一定質量的理想氣體的內能完全由氣體的溫度決定，而與氣體的體積和壓強無關，只是溫度的單值函數。由實驗得知，在溫度不是太高（攝氏1000C以下）時，氣體分子的振動自由度似乎“被凍結”，因而通常都將氣體分子看成是剛性的（s=0）。于是對1摩爾單原子分子、雙原子分子和多原子分子，其內能分別為：42例6標準狀態下的22.4升氧氣和11.2升氦氣相混合。求：(1)氦原子的平均能量是多少?(2)氧分子的平均能量是多少?(3)氦氣所具有的內能占系統總內能的百分比是多少?解：(1)氦原子的自由度為3，其平均能量為(2)氧分子自由度為5,其平均能量為43(3)氦氣和氧氣的內能分別為氦氣所具有的內能E1占系統總內能E的百分比為446－5氣體分子的平均自由程

一．分子間的碰撞在標準狀態下，1cm3體積中有2.69×1019個空氣分子。這樣大的分子密度致使氣體分子每通過一段很短的路程就發生相互碰撞，改變速度的大小和方向，所以分子所走的路徑十分曲折。在研究分子碰撞時，一般把分子看成剛性球，把兩分子間的相互碰撞視為剛性球的彈性碰撞。兩個分子質心間最小距離的平均值就作為剛性球的直徑，稱為分子的有效直徑，用d表示。45二、分子的平均碰撞頻率一個分子在單位時間內與其他分子碰撞的平均次數，稱為分子的平均碰撞頻率。設某一個分子A以平均相對速率運動而其他分子都靜止不動。分子A的質心運動軌跡是一折線。顯然，只有中心與A分子的中心之間距離小于或等于分子有效直徑d的那些分子才可能與A分子相碰。46以分子A質心的運動軌跡為軸線，以分子的直徑d為半徑作一曲折圓柱體。這樣，凡是球心在圓柱體內的分子都要與A相碰。圓柱體的截面積叫做分子的碰撞截面。在時間t內，A分子通過的路程為相應圓柱體的體積為以n表示分子數密度，則在此圓柱體的總分子數（即A分子與其他分子的碰撞次數）為所以，碰撞頻率為：47可以證明平均速率與平均相對速率的關系為因而得三．分子的平均自由程一個分子在連續兩次碰撞間走過的路程叫自由程。自由程的統計平均值叫分子的平均自由程：48例7計算空氣分子在標準狀況下的平均自由程和平均碰撞頻率?？諝夥肿拥挠行е睆絛=3.5×10-10m，平均摩爾質量M=2.9×10-2kg/mol解：平均速率49平均碰撞頻率由此可知，標準狀態下，一秒鐘內一個空氣分子平均要與其它分子碰撞約為65億次。50*6－6氣體內的遷移現象

若氣體內各部分的物理性質（如密度、流速或溫度）不均勻，則由于氣體分子不斷地相互碰撞和相互摻和，導致質量、動量和能量的定向遷移，以逐步減小原有的不均勻性；經過一段時間后氣體內各部分的物理性質趨于均勻一致，而由非平衡態趨向平衡態。這種現象稱為氣體內的遷移現象（或輸運過程）。氣體內的遷移現象有三種，即內摩擦現象（又稱粘滯現象）、熱傳導現象和擴散現象。