§1映射與函數(shù)一.集合:集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集1.集合的概念元素a屬于集合M,記作元素a不屬于集合M,記作不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集

表示M中排除0的集

;表示M中排除0與負(fù)數(shù)的集

.表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集或2.集合的運(yùn)算以上集合的運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律交換律：結(jié)合律：分配律：對偶律：直積運(yùn)算特例:記為平面上的全體點(diǎn)集3.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.4.鄰域:二、映射1.映射的概念

某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合一個(gè)學(xué)生對應(yīng)一個(gè)學(xué)號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合一個(gè)學(xué)生對應(yīng)一個(gè)座位引例1.定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.例1.例2.

如圖所示,對應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射)X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)

f稱為X

上的泛函X(≠

)X

f稱為X

上的變換

R

f稱為定義在X

上的為函數(shù).映射又稱為算子.名稱.例如,2.逆映射與復(fù)合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習(xí)慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f

的逆映射.3.常量與變量:在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.4.絕對值:運(yùn)算性質(zhì):絕對值不等式:三、函數(shù)概念例圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n

邊形Or)因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．

(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)(4)取最值函數(shù)yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例1.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域例2解故三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x例如,偶函數(shù)雙曲余弦記奇函數(shù)yxox-x又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)例如,四、反函數(shù)DWDW

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念自變量，因變量，定義域，值域.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)思考題思考題解答設(shè)則故且練習(xí)題一證明證:

令則由消去得時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.設(shè)

2.設(shè)函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為練習(xí)題二練習(xí)題答案寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefoundationofsuccessliesingoodhabits50謝謝聆聽·學(xué)習(xí)就是為了達(dá)到